목차
- 고전역학과 양자역학
- “상태”의 표현과 그 물리적 의미
- 상태함수와 운동량의 표현
- “상태 진행”의 법칙: 슈뢰딩거 방정식
- 양자역학의 한 사례: 일차원 고리모형
- 이중 슬릿 실험
요즈음 우리는 양자역학이란 말을 많이 듣고 있다. 그런데 막상 “양자역학, 그게 뭔가요?”하고 묻는다면 시원한 답을 듣기가 쉽지 않다. 사실 양자역학이라는 주제의 대학교재도 많이 있고 또 일반 시민을 위한 서적도 적지 않게 나와 있지만 이런 책들을 다 훑어보아도 정작 양자역학이 무엇인지에 대한 답을 찾아내기는 어렵다. 일반 시민을 위한 이른바 해설서들 가운데는 마치도 ‘이상한 나라의 앨리스’에 나오는 이야기들 같이 도무지 종잡을 수 없는 주장들로 가득 차있는 경우도 많다. 그렇다면 양자역학이 담고 있는 가장 핵심적인 내용만을 간추려내어 너무 어렵지 않게 접근할 수 있는 길은 없을까? 이 점은 양자역학을 미처 배우지 않은 사람뿐 아니라 이미 배웠거나 가르치고 있는 사람에게도 절실하다. 이 글에서는 이 점에 초점을 맞추어 그간 필자가 깨닫고 새로 발견한 방법들을 중심으로 양자역학이 과연 무엇인지에 대해 설명해보려 한다.
이러한 작업을 위해서는 약간의 수학적 도구가 필요한데, 이것은 대체로 고등학교 수학교육 수준을 조금 넘어선다. 그러나 수학이나 물리 교사의 도움을 조금 받거나 간략한 수학공식집 등을 참고하면 자력으로 해결할 수도 있을 것이다. 정작 양자역학을 어렵게 하는 점은 이 이론이 우리의 일상적 사고는 물론이고 근세 이래 다져진 과학의 사고 틀조차 크게 넘어선다는 사실이다. 현대 이론물리학의 대가로 꼽히는 겔만(Murray Gell-Mann)은 양자역학을 두고 “우리 가운데 누구도 제대로 이해하지 못하지만 우리가 사용할 줄은 아는 무척 신비스럽고 당혹스러운 학문”이라고 실토한 일이 있다.*
* Murray Gell-Mann, “Questions for the Future” in Mulvey, J.H.(ed.), The Nature of Matter, Oxford U. Press: Oxford, 1981, p.169. [Quantum mechanics [is] that mysterious, confusing discipline, which none of us really understands but which we know how to use it. (emphasis in original)]
항간에서는 양자역학을 이해하기 위해 고전역학의 사고방식을 버려야 한다는 말도 들린다. 그러나 이것도 절반만 맞는 말이다. 오히려 고전역학의 틀을 철저히 파악하고 이걸 다시 넘어서야 양자역학에 접근할 수 있다. 그래서 이 글에서는 고전역학이 무엇인지를 간단히 정리한 후, 이것에서 남겨야 할 것은 무엇이고 바꾸어야 할 것은 무엇인지, 그리고 이를 어떻게 바꾸어야 할 것인지를 찾아나가는 가운데 양자역학 특유의 내용을 밝히기로 한다.
1. 고전역학과 양자역학
고전역학에서는 일정한 성격(예: 질량)을 지닌 존재물이 특정한 형태의 힘을 받는다고 할 때, 이에 적용되는 운동방정식(뉴턴의 제2법칙)에 의해 이 존재물의 상태(이들이 지닌 위치와 운동량의 값들)가 시간에 따라 변해나가는 양상을 정확히 서술할 수 있다고 본다. 그리고 이 작업이 의미를 가지려면 이 존재물(예를 들어 한 입자)이 점유하는 위치와 운동량의 값들을 측정할 수 있어야 하겠는데, 이것은 단지 기술적 문제로 보고 그 방법은 별도로 명시하지 않는다.
사실 고전역학은 대단히 성공적인 것이어서 지구상의 물체들은 물론 하늘에 떠도는 천체들(행성, 위성, 혜성 등)에 이르기까지 우리가 쉽게 감별할 수 있는 모든 대상들에 대해 놀랄 만큼 잘 적용된다. 그런데 문제가 생겼다. 20세기에 들어서면서, 원자의 중심에 원자핵이 있고 그 주위로 전자들이 둘러싸고 있는데, 이들 사이에는 거리 제곱에 비례하는 인력(정전기력)이 작용하고 있다는 사실이 밝혀졌다. 이 상황은 태양과 행성들 사이에 중력(만유인력)이 미치는 것과 형태적으로 완전히 동일하다. 그렇다면 원자 안의 전자들도 태양계 안의 행성들의 운동과 같은 방식으로 서술되지 않을까? 그런데 그게 안 된다는 사실이 밝혀진 것이다.
그래서 고전역학을 대체할 새 역학이론이 요청되었고, 이렇게 얻어진 것이 양자역학이다. 그렇다면 양자역학은 고전역학에서 무엇이 달라진 것일까? 기본적인 틀 즉 “일정한 성격(예: 질량)을 지닌 존재물이 특정한 형태의 힘을 받는다고 할 때, 이에 적용되는 운동방정식에 의해 이 존재물의 ‘상태’가 시간에 따라 변해나가는 양상을 정확히 서술할 수 있다”고 하는 골간은 그대로 유지된다. 다만 여기서 말하는 존재물의 “상태”가 지닌 의미가 본질적으로 달라지며 동시에 여기에 적용되는 “운동방정식”이 크게 달라진다. 그러니까 양자역학을 이해하기 위해서는 이 “상태”의 의미가 어떻게 달라지는지, 그리고 여기에 적용되는 새 운동방정식이 무엇인지를 분명히 할 필요가 있다.
2. “상태”의 표현과 그 물리적 의미
이제 편의상 우리가 대상으로 삼는 존재물을 하나의 ‘입자’로 보고, 이 경우 고전역학과 양자역학에서 이것의 “상태”를 어떻게 규정하는지 살펴보자. 고전역학에서는 어느 순간에 이것이 가질 상태를 이 입자가 점유하는 위치와 운동량의 값들로 규정하는데, 이것을 형식상 다음과 같이 표현할 수 있다. 이제 위치 공간에서 이 대상이 취할 수 있는 값의 영역을 $x_i$ $(i=1, 2, 3, …)$으로 그리고 운동량 공간에서 이 대상이 취할 수 있는 값의 영역을 $k_i$ $(i=1, 2, 3, …)$으로 표시하고, 이것이 실제로 취하고 있는 위치와 운동량의 값이 각각 $x_j$와 $k_l$이라 하면, 고전역학에서의 상태 $\Psi_C$는 이들 각 영역에서 정의된 두 개의 함수 $\delta_{ij} (x_i)$와 $\delta_{il} (k_i)$로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$\Psi_C = (\delta_{ij} (x_i), \delta_{il} (k_i))$
* 여기서 $\delta_{ij} (x_i)$ 등은 크로네커 델타라 불리는 것으로, $i=j$때만 1이고 나머지 모든 $i$ 즉 $i \neq j$때에는 0임을 말하는 기호이다.
이에 반해 양자역학에서는 한 대상이 예컨대 “위치 $x_j$를 점유한다.”고 하는 관념을 누그러뜨려 이 대상이 “위치 영역 $x_i$ $(i=1, 2, 3, …)$상의 각 지점에서 탐지될 가능성이 어떠어떠하다”고 하는 서술로 바꾸어 놓는다. 따라서 양자역학에서의 상태 $\Psi_Q$는 예컨대 위치 영역 $x_i$ $(i=1, 2, 3, …)$에서 정의된 함수 $\delta_{ij} (x_i)$를 사용해
$$ \Psi_Q = \sum_{j} c_j \delta_{ij} (x_i) ………. (1) $$ $$ ( \sum_j |c_j|^2 = 1 ) $$
로 쓸 수 있다. 여기서 계수 $c_j$는 그것의 절대치 제곱 $|c_j|^2$이 위치 $x_j$에서 대상이 탐지될 확률에 해당하며, 이것의 총합이 1이 된다는 것은 대상이 공간상의 모든 점을 탐색하면 어느 한 곳에서는 탐지될 것임을 말한다. 그러니까 우리가 상태를 안다는 것은 (1)식 안에 있는 “모든 값$j$에 대해 $c_j$의 값이 얼마인지를 안다”는 것을 의미한다. 만일 특정된 어떤 $j$값 예컨대 $c_l$을 제외한 모든 $c_j$의 값이 0이라면, 대상입자는 필히 위치 $x_l$에서 탐지될 상황에 있음을 말한다.
그런데 여기서 “탐색한다거나 탐지된다”는 것이 현실적으로 무엇을 말하는지, 그리고 좀 더 정확히는 (1)식으로 표시된 상태 $\Psi_Q$가 현실세계와 어떻게 관련되는 것인지를 규정하기 위해 다음과 같은 ‘측정 공리’를 설정*한다.
* 이 공리는 측정에 관한 막스 보른의 공리를 변별체 개념을 통해 구체화한 것이다. 보른의 공리에는 <과정2>가 명시되어 있지 않다.
어떤 대상 존재물이 (1)식으로 표현된 상태에 있다고 할 때, 지점 $l$에 해당하는 자리에 변별체를 설치해 이 존재물과 접촉시킬 경우, 이 존재물은
<1> 확률 $|c_l|^2$로 변별체 위에 사건의 흔적을 남기면서, 자신은 $\delta_{il} (x_i)$만을 가진 상태, 곧 $\Psi_Q = \delta_{il} (x_i)$로 전환하거나,
<2> 혹은 확률 $1-|c_l|^2$로 아무 흔적도 남기지 않고, 자신은 성분 $\delta_{il} (x_i)$만 결여된 새 상태, 곧 $$\Psi_Q = \sum_{j \neq l}^{} c’_j \delta_{ij} (x_i)$$ $$(\sum_{j \neq l}^{} |c’_j|^2 = 1)$$로 전환한다.
여기서 우리는 ‘사건(event)’이라고 하는 중요한 새 개념을 도입한다. 우리가 대상 존재물의 ‘상태’에 관해 아무리 정교한 서술을 한다 하더라도 외부 관측자 입장에서는 그것과 현실 사이에 어떤 관련도 맺을 수 없다. 오직 위의 ‘측정 공리’에서 규정하는 어떤 작동이 발생할 때 실질적인 관련이 맺어지는데, 이를 일러 ‘사건’이라 부르자는 것이다. ‘측정 공리’의 과정<1>은 외부 물체에 흔적이 남는다는 의미에서 정상적인 ‘사건’이라 할 수 있고, 과정<2>의 경우는 직접적 흔적은 없지만 적어도 ‘흔적이 없다는 사실을 확인’시킨다는 점에서 넓은 의미의 사건이 되며, 굳이 구분하자면 이를 일러 ‘빈-사건(null event)’이라 부름이 적절하다. 이러한 빈-사건이 의미를 가지는 것은 이를 통해 상태 자체가 전환되며, 외부적으로는 ‘흔적이 없었다는 사실’을 통해 이를 확인할 수 있기 때문이다. ‘오리라고 예상되었던 사람이 오지 않았다면’ 이것 또한 의미 있는 사건이라 할 수 있다는 것이다.
여기서 주목해야 할 점은 상태함수를 통한 대상의 서술은 ‘사건’ 자체를 기술하는 것이 아니고, 그 대상이 지닌 ‘사건야기 성향’만을 말해준다는 점이다. ‘측정 공리’가 말하는 것은 이러한 ‘사건야기 성향’을 지닌 대상이 ‘사건유발 능력’을 가진 외부 물체(변별체)와 조우하게 될 때, ‘사건’ 혹은 ‘빈-사건’이 발생하게 되는데, 이것이 ‘사건’인지 ‘빈-사건’인지를 판별하는 것은 오직 변별체 위에 나타난 흔적 여부만으로 가능하다는 것이다. 일반적으로 ‘측정’이라 하는 것은 이러한 판별을 통해 대상의 현재 ‘상태’가 어떠한지를 탐지하는 작업이라 할 수 있다.
3. 상태함수와 운동량의 표현
이미 말했듯이 (1)식으로 표현된 상태 를 안다는 것은 “모든 값에 대해 의 값을 안다”는 것을 의미하며, 이는 곧 이 값들이 위치 의 함수임을 말한다. 그런데 이제 위치의 각 지점을 아주 촘촘하게 지정하여 이를 연속변수 로 놓으면 이러한 의 값들은 연속변수 의 함수가 된다. 이 경우 우리는 이를 상태함수라 부르며 관례에 따라 라는 기호로 표기한다. 이렇게 할 경우 이것의 절대치 제곱 즉 은 그 대상이 “위치 주변 단위 공간”에서 탐지될 확률이 되며, 이 확률의 총합은 1이 되어야 하므로 이 함수에 대해
$\int \Psi*(x) \Psi(x) dx = \int |\Psi(x)|^2 dx = 1$
의 관계가 만족되도록 그 상대적 크기가 조정된 것으로 본다.
그렇다면 고전역학적 상태의 다른 반쪽 즉 대상이 운동량 $k_l$을 가졌다고 표현 즉 $\delta_{il} (k_i)$에 대응하는 양자역학적 상태도 새로 마련해야 하는가? 흥미롭게도 그럴 필요가 없다. 위치의 함수로 표현된 상태함수 $\Psi(x)$속에 이미 이 대상이 지닐 운동량에 대한 정보가 완전하게 들어 있기 때문이다. 수학에서 잘 알려진 바와 같이 임의의 연속함수 $f(x)$는 지수함수 $e^{ik_n x}$ ($n=0, \pm1, \pm2, …$)들로 항상 전개할 수 있으며, 따라서 우리의 상태함수 $\Psi(x)$ 또한
$$\Psi(x) = \sum_{n} \chi_n e^{ik_n x} ………. (2) $$
의 꼴로 전개할 수 있다. 여기서 매우 특기할 사항은 여기서의 $k_n$이 바로 운동량에 해당*하며, 계수 $\chi_n$의 제곱 즉 $|\chi_n|^2$이 대상이 이 운동량을 가진 것으로 탐지될 확률에 비례한다는 점이다.
* 이것이 바로 드브로이가 발견한 물질파에 해당하는 것으로 운동량 $k_n$은 파장 $\lambda$와 $k_n=\frac{2 \pi}{\lambda}$의 관계를 가진다. 이는 곧 위치공간에서의 함수 $e^{ik_l x}$가 운동량 공간에서의 함수 $\delta_{il} (k_i)$와 대등한 것임을 말한다.
이는 곧 위치 공간과 운동량 공간이 서로 독립적으로 분리된 두 공간이 아니라 서로 간에 푸리에 변환으로 연결된 한 공간의 두 측면임을 말해준다. 따라서 양자역학에서는 상태를 알아내기 위해 위치와 운동량을 모두 독립적으로 설정해야 하는 것이 아니라 위치 또는 운동량 어느 하나만 설정하고 나면 그 나머지 것은 이 수학적 관계를 통해 산출해낼 수 있다. 특히 위치나 운동량 중 어느 하나가 정확한 값(어느 한 지점에서의 확률이 1이 되는 상황)에 가까운 상태에서는 그 반대쪽의 값은 넓은 영역에서 비슷한 확률을 가지게 되어 어디에 있는지를 말하기 어렵게 된다. 이것이 바로 하이젠베르크의 불확정성원리에 해당하는 것인데, 불확정성원리는 흔히 “위치와 운동량을 동시에 정확히 측정할 수 없다”는 말로 이해되어 관측상의 문제로 오해되고 있으나, 관측과 무관하게 양자역학적 상태가 가지는 이러한 본질적 성격과 관련된 것임을 명심해야 한다.
4. “상태 진행”의 법칙: 슈뢰딩거 방정식
다음에는 상태의 진행 즉 대상의 상태가 시간에 따라 어떻게 달라지는가 하는 점에 대해 생각해보자. 이는 곧 위치와 시간의 함수로서의 상태 $\Psi(x,t)$가 어떤 방정식에 의해 결정되는가 하는 문제에 해당한다. 고전역학에서는 뉴턴의 운동방정식*이 이런 역할을 했으나 양자역학에서는 다음과 같은 슈뢰딩거 방정식이 그 기능을 담당하고 있다*.
$$ i \frac{\partial }{\partial t} \Psi(x,t) = – \frac{1}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi(x,t) + V(x) \Psi(x,t) ………. (3) $$
*여기서 $\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}$등은 뒤에 나오는 함수를 각각 $t$와 $x$만으로 미분하라는 뜻이다.
*뉴턴의 운동방정식은 $\frac{d}{dt} k(t) = – \frac{d}{dx} V(x).$ 여기서 $V(x)$는 힘 $F$와 $F=- \frac{d}{dx} V(x)$의 관계를 가진다.
*슈뢰딩거 방정식의 통상적인 형태는 $i \hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi(x,t) = – \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi(x,t) + V(x) \Psi(x,t)$이다. 여기서 상수 $\hbar$는 디락-플랑크 상수라 불리는 것으로 표준 단위계에서 $\hbar \equiv \frac{h}{2 \pi}, h=6.626 \times 10^{-34} J.s$의 값을 가지는 것이나, 우리의 논의에서는 편의상 $\hbar$의 값을 1로 놓는 새로운 단위계를 채택한다. 이 방정식의 도출 과정에 대해서는 『장회익의 자연철학강의』(추수밭, 2019) 제4장을 참고할 것.
여기서 $i$는 $i^2= -1$의 관계를 만족하는 허수 단위이며, $m$은 대상입자의 질량이고, $V(x)$는 대상이 받고 있는 힘을 나타내는 퍼텐셜 에너지*이다. 여기서 우리가 해야 할 일은 이 방정식을 만족하는 함수 $\Psi(x,t)$가 구체적으로 어떤 모습을 지니는지를 찾아내는 작업이다.
먼저 간단한 경우로, $V(x) = 0$즉 대상이 아무 힘도 받고 있지 않는 자유공간의 경우를 생각해보자. 이 경우 고전역학에서는 $k(t)=$상수 즉 운동량이 일정하다는 결과를 얻는데, 이는 대상이 처음에 가질 운동량의 값에는 제약이 없으나 일단 어떤 값을 가지면 이 값은 시간에 따라 변하지 않는다는 것을 말해준다. 이에 대응하는 양자역학의 상태 $\Psi(x,t)$는 (3)식에 $V(x)=0$를 넣은 관계식, 즉
$$ i\frac{\partial }{\partial t} \Psi(x,t) = – \frac{1}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi(x,t) ………. (4) $$
를 만족해야 한다. 이는 곧 상태함수 $\Psi(x,t)$가 “자신을 시간 변수로 한번 미분한 함수와 자신을 위치 변수로 두 번 미분한 함수가 위와 같은 방식으로 서로 연결되어는 형태”를 가져야 함을 말한다. 이제 상수 $k$와 상수 $E$를 포함하는 하나의 함수 $e^{i(kx-Et)}$가 있다고 할 때, 만일 이 상수들 사이에
$$E = \frac{k^2}{2m} ………. (5) $$
의 관계가 성립한다면, 이것이 바로 (4)식을 만족시킴을 알 수 있다. 그런데 (5)식의 관계를 만족할 서로 다른 $k$는 무수히 많으므로, 앞의 (2)식에서와 같이 여기에 아래첨자 $n$을 붙여 이들을 각각 구분하기로 한다. 이렇게 할 때 서로 다른 $n$값을 가진 함수 $e^{i(k_n x – E_n t)}$들도 모두 (4)식을 만족하게 되며, 또 임의의 계수 $\chi_n$를 지닌 이들의 일차결합 또한 이 방정식을 만족한다. 따라서 자유공간 안에 있는 입자의 상태함수 $\Psi(x,t)$는 가장 일반적으로
$$\Psi(x,t) = \sum_{n} \chi_n e^{i(k_n x – E_n t)} ………. (6) $$ $$(E_n = \frac{k_n^2}{2m}) $$
으로 표현할 수 있다. 여기서 계수 $\chi_n$은 함수 $e^{i(k_n x – E_n t)}$가 상태함수 $\Psi(x,t)$에 기여하는 상대적 비중을 나타낸다.
앞에서 우리는 함수 $e^{ik_n x}$가 운동량 $k_n$을 지닌 상태함수임을 보았는데, 그 연장선에서 함수 $e^{-iE_n t}$ 또한 에너지 $E_n$을 지닌 상태함수로 해석된다. 따라서 함수 $e^{i(k_n x – E_n t)}$는 운동량 $k_n$과 에너지 $E_n$을 지닌 상태함수에 해당하는데, 운동량 $k_n$은 임의의 값을 취할 수 있으나 에너지 $E_n$은 (5)식에 따라 $k_n$에 의존하여 결정된다. 그리고 계수 $\chi_n$은 이러한 함수가 전체 상태함수에 기여하는 상대적 비중을 나타내고 $|\chi_n|^2$은 이 대상이 운동량의 값 $k_n$과 에너지 값 $E_n$을 가진 것으로 드러날 상대적 확률에 해당한다*.
$$ * \Psi(x,t) = \sum_{n} e^{i(k_n x – E_n t)}$$ 로 표시된 상태의 경우 계수 $\chi_n$들의 상대적 값은 이 함수가 조건 $\int |\Psi(x,t)|^2 dx = 1$을 만족하도록 조정된 것으로 본다.
수학적으로 볼 때 함수 $e^{i(k_n x – E_n t)}$는 파장 $\frac{2 \pi}{k_n}$과 주파수 $\frac{E_n}{2 \pi}$을 지닌 파동에 해당하며, 따라서 (6)식으로 표현된 상태함수는 이러한 여러 파동들이 중첩된 모습을 나타낸다. 만일 (6)식으로 표현된 상태함수가 특정된 하나의 $k_l$에 대응하는 파동만으로 이루어져 있다면 이는 대상 입자가 전체 공간에 걸쳐 단일한 파장을 가진 파동의 상태에 있음을 말하며, 이때의 운동량과 에너지는 정확히 $k_l$과 $E_l$이란 특정된 값을 갖게 된다. 이 경우 대상이 위치 $x$ 주변 단위 영역에서 탐지될 확률을 살펴보면
$\left| e^{i(k_l x – E_l t)} \right|^2 = e^{-i(k_l x – E_l t)} e^{i(k_l x – E_l t)} = 1$
이 되어 위치 $x$값에 무관하게 전 공간 어디에서나 동일하다는 결과가 나온다. 이는 곧 그 대상이 어느 위치에 있는지 전혀 알 수 없다는 이야기이다. 반대로 위치에 대한 정보가 상대적으로 높은 상태 즉 $|\Psi(x,t)|^2$의 값이 특정한 위치 $x_l$에서만 특별히 크고 나머지 전 공간에서는 거의 영이 되는 상태 함수 $\Psi(x,t)$를 (6)식의 형태로 표현하면 서로 다른 운동량에 해당하는 여러 파동이 중첩되어 각각이 거의 같은 정도로 기여하게 되는데, 이는 곧 이 대상이 지닌 운동량과 에너지가 그 만큼 불분명해짐을 의미한다.
이제 이러한 상황을 고전역학에서의 경우와 비교해보자. 고전역학에서는 대상입자가 매 순간 특정한 운동량과 특정한 위치를 점유하면서 운동해 나간다. 그런데 양자역학에서는 특정된 운동량을 지니면 그 위치를 지정할 수 없고 반대로 특정한 위치를 지니면 그 운동량을 가늠할 수 없다. 그러나 계수 $\chi_n$의 분포 양상에 따라 이 양 극단 사이의 중간 어디에 해당하는 경우도 얼마든지 있다. 이러한 여러 가능성은 초기의 여건에 따라 결정되는데, 이 가운데는 위치와 운동량 각각에 일정한 정도 불확실성을 허용하는 대신 그 전체의 모습은 일종의 ‘파동-뭉치’ (wave-packet)를 이루어 고전역학에서의 궤도와 가까운 양상을 지니게 되는 경우도 많다. 특히 대상의 규모가 큰 것일수록 이러한 경향을 가지게 되는데, 이것이 바로 일상적인 물체가 고전역학의 운동 궤도를 따르는 이유이다.
지금까지의 이야기를 종합해보면, 양자역학에서는 상태의 변화가 두 가지 방식으로 이루어짐을 알 수 있다. 그 하나는 변별체와의 조우 없이 슈뢰딩거 방정식 만에 따르는 변화 곧 ‘상태 진행’이고, 다른 하나는 변별체와의 조우 과정에 나타나는 순간적 변화 곧 ‘상태 전환’이다. 이러한 조우 과정에서 대상 자체가 소멸(혹은 흡수)되지 않는다면, ‘상태 전환’ 이후 대상의 상태는 다시 슈뢰딩거 방정식에 따른 시간적 ‘진행’을 계속한다.
5. 양자역학의 한 사례: 일차원 고리모형
이제 양자역학의 특성을 잘 보여주는 좀 더 구체적인 예로서 [그림1]에 보인 것과 같이 둘레의 길이가 $L$인 고리 모양의 궤적을 따라 움직이는 한 입자의 경우를 생각해보자. 여기에 외력이 작용하지 않는다면 이 입자는 (4)식으로 표현된 슈뢰딩거 방정식을 만족해야 하며 따라서 이것의 가능한 상태는 (6)식의 형태를 지닌다.
그런데 이 입자의 위치를 [그림1]에 표시한 좌표로 나타내면 이것이 놓일 수 있는 영역은 $x=0$에서 $x=L$까지로 한정되며, 따라서 위치 $x$와 위치 $x+L$은 동일한 지점에 해당한다. 이는 곧 상태함수 $\Psi(x,t)$가 $\Psi(x,t) = \Psi(x+L, t)$라는 제약을 받게 됨을 말한다. 한편 (6)식으로 표시된 상태함수가 이러한 제약 조건을 만족하려면 이 안에 들어있는 상수 $k_n$의 값이
$k_n (x+L) = k_n x + 2 \pi n$ $(n=0, \pm 1, \pm 2, …)$
의 조건을 만족해야 함을 알 수 있다. 이는 곧 (6)식에 나타난 $k_n$그리고 $E_n$은 오직 다음과 같은 값들 가운데 어느 하나를 취해야 함을 의미한다.
$$ k_n = \frac{2 \pi}{L} n $$
$$ E_n = \frac{k_n^2}{2m} = \frac{2 \pi^2}{m L^2} n^2 ………. (7) $$
$$ (n=0, \pm 1, \pm 2, …) $$
즉 운동량($k_n$) 그리고 에너지($E_n$) 값들은 연속적인 값들을 가질 수 없고 오직 위에 열거된 띄엄띄엄 떨어진 값들만을 가지게 됨을 말한다. 이것이 바로 ‘양자역학(量子力學, quantum mechanics)’이란 명칭이 붙게 된 이유인데, 이것은 대상의 위치가 유한한 공간으로 제약되는 경우에 나타는 일반적 현상이다.
다음에는 $V(x)$의 값이 0이 되지 않는 일반적 경우를 생각하자. 이는 곧 $F = – \frac{d}{dx} V(x)$ 형태로 표시되는 힘 $F$를 받는 대상의 경우인데, 예컨대 $F = -Kx$ 형태의 복원력을 받는 물체(예컨대, 용수철에 매달린 물체)가 대표적이다. 이 경우에는 앞의 (3)식을 만족하는 함수 $\Psi(x,t)$를 찾아내면 이것이 곧 대상의 가능한 상태함수가 된다. 그러나 그 실제 계산 과정은 다소 복잡하기에 여기서는 단지 이렇게 얻어진 에너지 값들만 소개하면
$E_n = (n+ \frac{1}{2}) \omega$
$(\omega \equiv \sqrt{\frac{K}{m}})$ $(n=0, 1, 2, …)$
이 된다. 한편 수소 원자핵 주변에 분포된 전자의 경우, 그 퍼텐셜 에너지가
$V(r) = – \frac{e^2}{r}$ ($r$은 원자핵으로부터의 거리)
로 표시되는데, 이것은 3차원 공간에서의 운동이므로 그 슈뢰딩거 방정식 또한 (3)식을 3차원으로 일반화시킨 형태가 된다. 따라서 이를 만족하는 상태함수는 다소 복잡하나, 이것이 취할 수 있는 에너지 값만을 인용하면
$E_n = – \frac{me^4}{2} \frac{1}{n^2} = -13.6 eV (\frac{1}{n^2})$ $(n=1, 2, 3, …)$
가 된다. 여기서 와 은 전자의 전하량과 질량이며, eV는 에너지 단위로서, 전자 하나를 1 볼트의 전위차를 거슬러 옮길 때 필요한 일의 양에 해당한다.*
* 그 자세한 풀이에 대해서는 예컨대 송희성, 『양자역학』(교학연구사, 2014)를 참조할 것.
6. 이중 슬릿 실험
양자역학의 특성을 잘 드러내는 아주 흥미로운 현상 하나를 더 소개하면 이것이 바로 이중슬릿(double slit) 실험이다. 이것은 본래 빛의 파동성을 보여주기 위해 토마스 영(Thomas Young, 1773-1829)이 고안한 것인데, 그 장치는 [그림2]에 보인 것처럼 세 개의 스크린으로 구성되어 있다. 첫 스크린에 좁다란 틈 곧 슬릿 a가 있어서 이를 통해 특정한 파장 $\lambda$를 지닌 빛이 입사되고, 둘째 스크린에는 이와 거의 같은 높이에 두 개의 슬릿 b와 c가 아주 가까이 (대략 파장$\lambda$ 규모의 거리에서 크게 벗어나지 않는 거리) 서로 떨어져 있어서 입사된 빛의 파동이 대략 반-반으로 나뉘어 이들을 통과한다. 이러한 빛이 세 번째 스크린에 있는 어느 지점 d에 도달하여 흡수될 수 있는데, 이때 슬릿 b와 c로부터의 거리 차이에 따라 보강 간섭을 일으킬 수도 있고 소멸 간섭을 일으킬 수도 있다. 그리고 셋째 스크린에서 흡수될 확률이 여기 도달할 빛의 세기에 비례할 것이므로 빛의 흡수 패턴은 [그림3] (A)에 보이는 것처럼 스크린 상의 위치에 따라 여러 개의 띠무늬로 나타날 것이다.
그 동안 많은 사람들은 이 실험이 입사한 존재물이 입자인지 파동인지를 판정할 결정적 수단이라고 보았다. 만일 입사한 존재물이 입자였다면 각 입자는 두 슬릿 가운데 어느 하나를 통과할 수밖에 없을 것이고, 그렇게 되면 간섭효과도 나타날 수 없으므로 스크린 위의 패턴은 [그림3[ (B)에 보이는 것과 같으리라는 것이다.
그런데 전자나 또는 작은 물질 입자들을 가지고 같은 실험을 해보면 놀라운 결과가 나타난다*. 즉 아무 별도의 측정을 가하지 않고 이 실험을 수행하면 [그림3](A)와 같은 간섭무늬를 얻는데, 여기다가 예컨대 슬릿 c 바로 뒤에 변별체를 설치해 이 입자가 이를 통해 지나갔는지를 확인할 수 있게 해두면 간섭무늬는 사라지고 [그림3](B)와 같은 패턴만을 얻게 된다.
* 예컨대 최근 탄소원자 60개가 뭉친 $C_{60}$라 불리는 비교적 무겁고 단단한 입자에 대해서도 이 실험이 행해졌다.
여기서 주목할 점은 변별체가 입자의 운동에는 영향을 주지 않고 단지 어느 위치를 통과했는지 아닌지의 여부만 판정한다는 사실이다. 그럼에도 이러한 차이가 난다는 것은 종래의 사고방식으로는 이해하기가 매우 어렵다. 그래서 다양한 해석들이 제기되었는데, 그 대표적인 것이 “대상입자를 우리가 보지 않으면 파동으로 행동하나 이를 우리가 보면 입자로 행동한다”는 것이다. 여기에 더 하여 “관측자가 어떤 의도로 실험하느냐에 따라 결과가 달라진다”거나 심지어 “파동을 보고자 하면 파동이 보이고 입자를 보고자 하면 입자가 보인다”는 말까지 나오고 있다.
그러나 우리가 앞에 소개한 양자역학의 논지를 엄격히 적용해보면 이것은 빛이나 물질의 정체가 무엇이냐 하는 문제도 아니고 관측자의 의도가 개입되는 문제도 아니다. 오직 ‘측정 공리’와 ‘상태함수’의 성격이 보여주는 당연한 결과일 뿐이다. 우리는 위에서 자유입자의 상태함수들이 모두 파동을 나타내는 함수들의 결합으로 나타낼 수 있음을 보았다. 따라서 슬릿 a를 통해 특정 파장 $\lambda_n$을 지닌 빛이 입사한다는 것은 특정 운동량 $k_n = \frac{2 \pi}{\lambda_n}$을 지닌 ‘상태’로 그 입자가 들어온다는 의미가 된다. 우리는 편의상 $x$방향 곧 수평방향의 상태함수만을 생각했지만 대상 존재물은 수직 방향의 성분도 약간 가지게 되며, 이로 인해 이러한 파들은 수직방향으로도 여러 가닥 나뉘면서 진행한다. 그러다가 둘째 스크린을 만나면 스크린 벽의 물질이 ‘사건유발 능력’을 가진 변별자 역할을 하면서 여러 위치에서 ‘사건’ 또는 ‘빈-사건’을 일으키게 된다.
대개의 경우는 ‘사건’을 일으켜 어느 위치에서 흡수되지만, 두 슬릿 틈 이외의 모든 벽면에서 ‘빈-사건’을 일으키는 경우도 생길 수 있고, 이렇게 될 경우 상태함수는 오직 두 가닥만 남아 두 슬릿을 통과하게 된다. 이들은 다시 마지막 스크린을 향해 진행하면서 역시 수직방향으로도 각각 여러 가닥으로 퍼지게 된다. 그리고 마지막 스크린에 닿을 무렵 서로 다른 슬릿을 통해온 성분들끼리 중첩이 되면서 보강 또는 소멸 간섭을 일으키고, 그렇게 형성된 세기에 비례해 그 지점에서의 가시적 ‘사건’이 발생한다. 그러므로 우리가 스크린의 형광판에서 보는 패턴은 이 ‘대상의 파동성’에 기인하는 것이 아니라 이것이 가진 ‘상태함수’의 성격 만에 기인한 것이다.
그런데 정말 흥미로운 상황은 이 두 슬릿 가운데 하나에 변별체를 부착했을 경우에 나타난다. 이 경우 변별체는 오직 ‘사건’ 또는 ‘빈-사건’을 일으켜 대상의 통과여부만 확인할 뿐 더 이상 운동에 개입하지 않는다. 이것이 ‘사건’일 경우 대상의 상태는 해당 슬릿을 통과하는 성분만으로 전환되며, ‘빈-사건’일 경우에는 이 슬릿을 통과하는 성분이 제거되어 대상의 상태는 나머지 슬릿을 통과하는 성분만으로 전환된다. 그 어느 경우든 하나의 성분만 가지게 되므로 간섭무늬는 사라지고 스크린 상에는 오직 두 줄기 패턴만 나타난다. 여기서 보다시피 이것은 오직 변별체의 작용일 뿐 심지어 어느 누가 이 변별체를 보았느냐 아니냐 하는 것과도 상관이 없는 일이다.
결국 양자역학이란 것은 이 글에서 소개한 ‘측정 공리’와 상태함수의 성격만 철저히 적용시키면 더 이상 ‘이상한 나라의 앨리스’ 이야기가 아닌, 합리적으로 이해 가능한 이론 체계라 말할 수 있다.
장회익 (녹색아카데미)
