케플러의 법칙과 뉴턴의 증명
작성자
자연사랑
작성일
2021-12-19 18:29
조회
7419
"뉴턴의 보편중력 법칙을 활용해 행성의 운동에 관한 케플러의 세 가지 법칙을 도출해 보는 것도 매우 유익한 지적 경험이 된다." (<장회익의 자연철학강의> 125쪽)
케플러의 법칙을 뉴턴 역학에서 도출하는 것은 생각보다 긴 역사가 담긴 이이야기이며, 또 상당한 수식 처리 능력과 물리학에 대한 이해를 필요로 합니다.
케플러의 법칙이라 부르는 것은 정확히 말하면 태양 주변 행성운동에 관한 세 가지 법칙입니다. '법칙'이란 말이 이미 사회법과의 연결을 담고 있는데, 이 문제는 따로 더 이야기할 점이 있습니다. 뉴턴이나 데카르트는 자신의 주장을 '법칙' 또는 '규칙'이란 말로 정리했지만, 정작 케플러 자신은 그런 용어를 쓰지 않았습니다. 또 세 가지 법칙을 보기 좋게 늘어놓은 것도 아니었습니다.
장회익 선생님도 "케플러는 튀코 브라헤의 행성 관측 자료들을 활용해 이들이 태양을 초점으로 삼아 타원궤도를 그린다는 것 등 세 가지 법칙을 1609년(제1법칙, 제2법칙)과 1619년(제3법칙) 두 차례에 걸쳐 발표한 일이 있다. 이것은 관측 자료들에서 일반화해 이끌어낸 경험법칙들이지만, 뉴턴은 자신의 법칙을 통해 이를 정확히 이론적으로 도출해냈다." (<장회익의 자연철학강의> 125쪽)라고 쓰셨습니다.
조금 더 상세하게 이야기하는 게 좋을 것 같습니다. 현대의 물리학 또는 천문학 교과서에 있는 케플러의 행성운동 법칙 세 가지는 다음과 같이 서술됩니다.
1. 태양계에서 행성들의 공전 궤도는 타원을 그리며, 그 타원의 두 촛점 중 하나에 태양이 있다.
2. 행성의 궤적에서 태양과 행성을 잇는 선이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 넓이는 항상 일정하다. 즉 면적속도는 일정하다.
3. 행성의 공전궤도에서 한 바퀴를 완전히 도는 데 걸리는 공전주기 $T$와 타원의 긴반지름(장반경) $a$ 사이에는 긴반지름의 세제곱이 공전주기의 제곱에 항상 비례한다. 즉 $a^3 / T^2 = \mathrm{const.}$ (여기에서 const.라 적은 것은 영어 constant의 줄임말로 항상 일정한 숫자 즉 상수(常數)라는 의미입니다.)
(그림 출처: Károly Simonyi (2012) A Cultural History of Physics. A K Peters/CRC Press.)
앞의 두 법칙이 서술된 것은 1609년에 출간된 [새로운 천문학 또는 천상의 물리학]이었습니다. 전체 제목은 다음과 같습니다.
Astronomia Nova ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΤΟΣ seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychonis Brahe
한국어로 번역하면 "원인에 기반을 둔 새로운 천문학 또는 튀코 브라헤의 관찰로부터 얻은 화성의 운동에 대한 논평을 통해 고찰된 천상의 물리학"이 되는데, 17세기 초에 천문학과 물리학은 엄격하게 분리되어 있었습니다. 달 위의 세계를 다루는 천문학은 신성하고 영원한 원운동의 세계를 서술하는 자연철학인 반면, 달 밑의 세계를 다루는 물리학은 불완전하고 변덕스럽고 원칙적으로 직선운동의 세계를 다루는 자연철학이었기 때문입니다.
이 둘, 즉 신성한 천문학과 불완전한 물리학을 묶어 놓은 것은 놀라운 일이었습니다. 690쪽이 넘는 방대한 분량의 이 책에서 케플러는 프톨레마이오스의 지구중심체계가 왜 부적절하고 코페르니쿠스의 태양중심체계가 더 올바른지 논증하다가, 다시 코페르니쿠스의 체계도 정확하지 않음을 상세하게 다룹니다. 이 책의 서술은 무척 재미있습니다. 깔끔하게 자연철학 즉 물리학이나 천문학 이야기만 하는 게 아니라, 중간에 자기 인생 얘기도 했다가 다른 사람들 이야기도 했다가 어느 대목에서는 시도 등장하고 고대로부터 전해져 오는 이야기도 흥미진진하게 말하다가 어느 곳에서는 엄밀한 기하학 증명으로 독자를 괴롭힙니다. 절정에 이르는 부분에 있는 삽화에는 하늘에서 천사가 전차를 타고 내려와 축하해 주는 그림도 있습니다.
한참을 그렇게 이야기를 풀어가다가 거의 뒷부분인 59장이 시작되기 직전에 드디어 행성의 궤적이 원이 아니라 타원이라는 말을 조심스럽게 꺼냅니다.
"Ergo ellipsis est Planetæ iter; ... ut sequenti capite patescet: ubi simul etiam demonstrabitur, nullam Planetæ relinqui figuram Orbitæ, præterquam perfecte ellipticam"
(따라서 행성의 궤적은 [원이나 달걀 모양이 아니라] 타원이다. 다음 장에서 이를 증명할 것이다.)
59장의 제목은 "Caput LIX. Demonstratio, quod orbita Martis, librati in diametro epicyli, fiat perfecta ellipsis : Et quod area circuli metiatur summam distantiarum, ellipticæ circumferentiæ punctorum" (주전원의 지름에 위치하는 화성의 궤도가 완전한 타원이 된다는 것과 원의 넓이가 타원의 둘레점들부터의 거리의 합으로 측정된다는 것의 증명)입니다.
라틴어로 쓰여져 있긴 하지만, 케플러의 책을 이 링크에서 직접 구경해 볼 수 있습니다.
위에 있는 그림은 다름 아니라 59장에 있는 증명을 위한 도표인데, 거기에 승리의 전차를 타고 하늘에서 내려와 케플러를 축복해 주는 천사가 보입니다.
케플러의 책에 있는 수학적 증명들을 따라가기가 쉽지는 않지만, 유클리드 기하학을 사용한 증명이 상당히 정교합니다. 특히 코페르니쿠스의 원형 천구의 체계에서 시작하여, 대원-주전원, 탈중심원, 등각속중심 등의 전통적인 개념을 정교하게 사용하여, 이를 튀코 브라헤의 데이터와 비교하는 과정은 추리소설처럼 흥미롭습니다. 그래서 결국 원 궤도를 버리고 달걀 모양의 궤도로 가는 과정도 재미있는데, 달걀 모양도 버리고 59장에 이르러 드디어 타원궤도를 선택하여, 이것이 행성의 올바른 궤적임을 증명하는 과정에서 케플러는 미적분학을 사용하지 못했습니다. 왜냐하면 아직 미적분학은 세상에 나오기 전이었으니까요. 대신 천체모형이 담긴 그림을 180등분하여 이를 세세하게 일일이 계산합니다. 이 책에서 유명한 구절이 있습니다. "독자들 중에 이 책의 계산과 전개가 지루하다고 느끼는 사람이 있다면, 그런 계산을 70번이 넘게 반복해야 했던 저자를 불쌍하게 여기기 바란다."
그렇게 행성의 궤적이 타원임을 증명하다가 이와 맞물리는 다른 주장을 함께 펼칩니다.라틴어 원서 294쪽에 있는 글자가 조금 더 큰 문장은 다음과 같습니다.
"Arcum ellipseos, cujus moras metitur area AKN, debere terminari in LK, ut sit AM."
(시간을 넓이 AKM으로 잴 수 있는 타원의 호는 LK에서 끝나야 하므로, 타원의 호는 AM이다.)
이것을 풀어서 쓰면 다음과 같습니다. 타원에 외접하는 원을 그리면, 원으로부터 화성의 운행시간을 계산할 수 있습니다. 그런데 그렇게 계산한 시간은 타원의 일부인 AMN에 비례해야 합니다. 여기에서 N은 타원의 촛점 중 하나로서 태양이 있는 곳입니다. 그림에서 점선으로 되어 있는 타원의 호 AM과 태양과 행성을 잇는 두 선분 AN과 MN이 그리는 모양의 넓이가 화성이 이동한 시간에 비례한다는 것입니다.
(시간을 넓이 AKM으로 잴 수 있는 타원의 호는 LK에서 끝나야 하므로, 타원의 호는 AM이다.)
이것을 풀어서 쓰면 다음과 같습니다. 타원에 외접하는 원을 그리면, 원으로부터 화성의 운행시간을 계산할 수 있습니다. 그런데 그렇게 계산한 시간은 타원의 일부인 AMN에 비례해야 합니다. 여기에서 N은 타원의 촛점 중 하나로서 태양이 있는 곳입니다. 그림에서 점선으로 되어 있는 타원의 호 AM과 태양과 행성을 잇는 두 선분 AN과 MN이 그리는 모양의 넓이가 화성이 이동한 시간에 비례한다는 것입니다.
다시 말해 위에서 말한 케플러의 행성운동법칙 중 두 번째에 해당합니다. 실상 이 증명을 따라가다 보면 어느 대목에서 상당한 근사(어림)와 시행착오에 의한 계산을 거치게 됩니다. 하지만 이러한 과정을 거쳐 어렵게 찾아낸 행성운동의 법칙은 엄밀하게 말하면 "관측 자료들에서 일반화해 이끌어낸 경험법칙"이라고 말하기는 어렵습니다. 이것은 곧 개별적 사례들로부터 귀납적 추론으로서 일반화를 한 경험적 또는 현상론적 법칙이라는 뜻인데, 현대 과학철학의 관점에서 말하면 케플러가 행성운동 법칙을 얻은 과정은 가추법(abductive inference)으로 보는 것이 더 적절합니다. 이는 "최선의 설명을 향한 추론(IBE, Inference to the Best Explanation)이라 부르기도 합니다. 이 주장은 미국의 과학철학자 노우드 핸슨(Norwood Russell Hanson)이 1958년에 낸 저서 <발견의 패턴 (Patterns of Discovery: An Inquiry Into the Conceptual Foundations of Science>에서 상세히 해명했습니다. 요즘에는 다시 이 관점에 반대하는 주장들도 나오고 있습니다.
케플러의 문제는 바로 이 케플러의 행성운동법칙들을 더 근본적인 이론체계(동역학)로부터 유도해 내는 문제입니다. 여러 사람들이 이 문제에 도전했지만, 처음 이 문제를 해결한 것은 아이작 뉴턴이었습니다.
케플러 법칙 첫 번째와 세 번째는 조금 더 복잡하기 때문에, 여기에서는 둘째 법칙을 뉴턴이 증명한 방법을 간단하게 소개하겠습니다.
이 증명은 아래 그림으로 비교적 간단하게 할 수 있습니다.
이 그림은 뉴턴의 저서 <자연철학의 수학적 원리>의 제1권 제2부 명제1, 정리 1에 나오는 그림입니다. (https://www.newtonproject.ox.ac.uk/view/texts/diplomatic/NATP00077)
원래의 라틴어판에 있는 그림은 아래와 같은데, 그림이 처음부터 잘못 그려져 있음을 볼 수 있습니다. 즉 이 책을 조판하던 사람은 이 증명과정을 제대로 이해하지 못한 채 잘못 그려넣었던 것입니다. 이 잘못된 그림은 꽤 나중에 가서야 수정되었습니다.
Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse temporibus proportionales.
라틴어로 되어 있는 정리 1의 내용은 다음과 같습니다.
"물체가 궤적 속에서 움직일 때, 움직이지 않는 힘의 중심으로부터 물체로 그린 반지름이 그리는 넓이는 움직이지 않는 평면 안에 놓이며 시간에 비례한다."
즉 케플러의 둘째 법칙입니다.
이 증명이 아주 재미있습니다. 바로 위 그림 말고 더 위의 그림에서 태양은 S에 있고 행성은 A에 있습니다. 일정한 시간이 지난 뒤에 행성은 B로 갈 겁니다.
뉴턴의 첫째 운동법칙에 따르면 외부에서 다른 힘이 주어지지 않는다면 정지해 있는 것은 계속 정지해 있고 일정한 속력으로 반듯이 나아가는 물체는 그 속력과 방향을 유지합니다. 따라서 같은 시간 동안 행성은 c로 가게 될 겁니다. 그런데 태양이 행성을 잡아당깁니다. 뉴턴은 이것을 구심력이라 불렀습니다. (요즘의 구심력과는 개념차이가 있습니다)
이 구심력 때문에 행성은 c가 아니라 C로 가게 됩니다. 여기에는 뉴턴이 그 전에 미리 증명해 놓은 예비정리가 있습니다. 물체에 두 가지 힘이 함께 작용하면 방향과 크기는 평행사변형의 대각선의 방향과 길이가 된다는 것을 증명해 놓았습니다. (이것은 현대 수학에서 벡터 합과 유사하지만, 그런 개념이나 용어를 쓴 것은 아닙니다. 또 벡터 합과 별개로 성립합니다.)
여기까지 준비해 놓은 상태에서 넓이를 고려해 봅니다. 삼각형 SAB와 삼각형 SBc는 넓이가 같음을 증명하려 합니다.
먼저 AB의 길이와 Bc의 길이는 같습니다. 같은 시간 동안 행성이 움직이는 것이고 뉴턴의 첫째 운동법칙에 따라 일정하게 반듯이 나아가는 물체는 그 속력을 유지할 테니까요. 그런데 그림에서 삼각형 SAB와 삼각형 SBc의 넓이를 비교해 보면 그 둘이 같습니다. 삼각형의 넓이는 밑변과 높이를 곱한 뒤 그 절반을 취하면 됩니다. 그런데 이 두 삼각형은 높이를 공유하고 있고 밑변은 같습니다. (AB=Bc)
그런데 행성은 태양이 잡아당기는 구심력 때문에 c가 아니라 C로 움직일 겁니다. 이제 Bc에 평행한 선분 중 C를 지나는 것을 보조선으로 그립니다. 더 위의 그림에서는 따로 문자가 붙어 있지는 않지만, 위 그림처럼 가령 V라고 부르면, 사각형 BcCV는 평행사변형입니다. 이것은 <자연철학의 수학적 원리> 앞부분에서 증명되었습니다.
이제 삼각형 SBc와 삼각형 SBC의 넓이를 비교해 보죠. 두 삼각형은 밑변 AB를 공유하고 있습니다. 그런데 사각형 BcCV는 평행사변형이므로 SB와 Cc는 평행합니다. 따라서 이 두 삼각형의 높이는 같습니다. 따라서 그 두 삼각형의 넓이는 같습니다.
따라서
삼각형 SAB의 넓이 = 삼각형 SBc의 넓이 = 삼각형 SBC의 넓이
를 얻습니다. 마찬가지의 논리를 쓰면
삼각형 SBC의 넓이 = 삼각형 SCd의 넓이 = 삼각형 SCD의 넓이 = 삼각형 SDe의 넓이= 삼각형 SDE의 넓이 = ...
를 얻게 됩니다. 다시 말해 같은 시간 동안 행성과 태양을 잇는 선분이 훑고 지나가는 넓이는 같습니다. 이렇게 해서 케플러의 둘째 법칙을 우아하게 증명할 수 있습니다.
아래 그림을 참조해도 됩니다.
(그림 출처: Károly Simonyi (2012) A Cultural History of Physics. A K Peters/CRC Press.)
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케플러의 법칙들을 뉴턴역학에서 도출하는 것은 매우 재미있는 연습문제입니다.
<양자역학을 어떻게 이해할까?> 75쪽에 다음과 같은 문장이 있습니다.
"고전역학의 꽃이라 불리는 이 도출과정을 직접 확인해 보는 것은 매우 유익하고 흥미로운 지적 소재이나 좌표변환 등 그 수학적 과정이 다소 번거롭기에 이 책에서는 취급하지 않는다."
이에 대하여 뉴턴의 도출과정을 구경이라도 할 수 있으면 좋겠다는 말씀이 있었는데, 제가 2021년 말에 올려놓았던 글이 혹시 좀 도움이 될 수도 있겠습니다.
더 상세한 것은 "(**) 케플러 문제의 간단한 풀이"에 있습니다. 한번 구경해 보시는 것도 나쁘지 않으리라 생각합니다.
케플러의 문제는 케플러가 제시하고 증명하기 시작한 행성 운동의 세 법칙을 더 기본적인 이론들로부터 유도해 내는 것입니다. 표준적인 답안으로 아래 링크를 적어 놓습니다.
케플러 문제 풀이 1
케플러 문제 풀이 2
https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem
이 내용을 적어볼까 했는데, 아무래도 역부족입니다. 필요로 하는 배경지식이 많은 편입니다.