[정리 : 책+세미나] 양자역학을 어떻게 이해할까? : 패자부활전 (8) 제4장-2 (pp.144-154)
모임 정리
양자역학
작성자
neomay33
작성일
2023-06-23 16:57
조회
1947
책 : 『양자역학을 어떻게 이해할까?』 장회익. 2022. 한울아카데미.
세미나 : 13, 14회 (2023. 4/10, 4/17)
범위 : "제4장 양자역학의 출현과 존재론적 기초" (pp.144-154)
이 글은 책 『양자역학을 어떻게 이해할까?』의 내용과 강독 세미나 중 장회익선생님께서 설명해주신 부분을 중심으로 녹취한 것을 함께 정리한 것입니다.
강독 세미나를 시작한지 5개월 정도 됐는데요. 점점 어려워지고 있어서 심기일전한다는 생각으로 1장부터 다시 보고 있습니다. 책 읽으시는 데 도움이 되면 좋겠습니다.
많이 읽어주시고요, 우리 함께 부활해보아요~
아래 글에서
- 검정색글씨는 책에서 발췌,
- 보라색 글씨는 세미나에서 장회익선생님께서 말씀해주신 부분을 녹취해 요약한 것입니다.
전체 목록 (바로가기 링크)
- [정리 : 책+세미나] 양자역학을 어떻게 이해할까? : 패자부활전 (1) 여는 말 + 서설
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- [정리 : 책+세미나] 양자역학을 어떻게 이해할까? : 패자부활전 (3) 1장.앎이란 무엇인가? (1.3절, 1.4절)
- [정리 : 책+세미나] 양자역학을 어떻게 이해할까? : 패자부활전 (4) - 2장.고전역학 (2.1절)
- [정리 : 책+세미나] 양자역학을 어떻게 이해할까? : 패자부활전 (5) - 2장.고전역학 (2.2절)
- [정리 : 책+세미나] 양자역학을 어떻게 이해할까? : 패자부활전 (6) - 3장.상대성이론
- [정리 : 책+세미나] 양자역학을 어떻게 이해할까? : 패자부활전 (7) 제4장-1
목차
제4장 양자역학의 출현과 존재론적 기초
4.1 양자역학의 발단
- 파동함수가 의미하는 것
4.2 양자역학의 존재론적 기초
- 양자역학적 상태와 측정의 공리
- 사건야기 성향과 존재표출 성향
- 양자역학의 상태함수와 푸리에 상반함수
- 4차원 이중공간
제4장 양자역학의 출현과 존재론적 기초
4.2 양자역학의 존재론적 기초
pp.144-154.
❖ 사건야기 성향과 존재표출 성향
양자역학적 상태의 의미 (식 4-3)
- 식 (4-3)$$\Psi_Q = \sum_j c_j \delta_{ij} (xi_i)$$
- 이 식은 측정의 공리로 요약된 조작적 정의가 전부. (양자역학적 상태의 조작적 정의인 동시에 측정 과정도 내포하기 있기 때문에 측정의 공리로 부른다. 책 p.143)
- 위의 정의를 일상적 개념과 연관시켜 풀이해보면 "사건야기 성향"(event producing propensity)이라 부를 수 있다. 이는 우리의 인식적 측면에서 조작적 정의의 내용을 강조한 표현.
- 그런데 대상을 존재적 측면에서 볼 때 이 성향을 "존재표출 성향"(existence manifesting propensity)라고 부를 것을 제안한다. 양자역학적 상태는 시공간 상에 존재하는 하나의 존재 양상을 대표하는데, 이를 시공간적 존재 확률과 연관되었다고 보고 "대상의 존재 확률"이라고 말한다면 이는 곧 고전역학적 존재론을 바탕으로 한 "대상의 인식 함수"로 오인될 소지가 있기 때문이다.
- 존재 자체가 아니라 그 존재를 과시할 어떤 효과가 나타나는 상황을 존재표출이라 부른다면, 양자역학적 상태는 이런 의미의 존재표출 성향에 가깝다고 해석할 수 있다.
새 존재론적 개념의 필요성
- "사건야기 성향"과 "존재표출 성향"은 동전의 양면과 같다.
- 우리가 관측할 수 있는 변별체에 사건이 야기된다는 것은 대상 자체의 존재성의 관점에서 보면 존재성향이 외부로 표출되는 것이므로.
- 인식적 측면과 존재적 측면 모두를 담아낼 "그 어떤 성향"에 해당하는 존재론적 개념은 인류가 일찍이 경험해본 적 없는 "특유의 것".
- 새 존재론적 개념이 필요하다. 기왕에 형성된 존재론적 개념들을 고수하면 개념들 간에 모순이 생길 것이며, 이를 절충하거나(상보성원리), 인간 인식의 한계로 규정하고 우리가 이해할 수 없는 영역으로 넘겨버리는 자세를 취하게 될 수 있다.
변별체와 만나서 측정되기 전에 대상(ex: 전자)은 어디에 어떤 형태로 있는가?(세미나 13회. 2023. 4. 10.)
- 대상은 상태함수 형태로 있다.
- 그런데 기존의 고전역학의 존재론적 방식으로 해석을 해보려고 하면 여러 가지 문제가 생긴다. 그렇더라도 예를 들어서 어느 위치에서 (존재 확률이) 1이 됐다고 하면 그 상태함수가 그 근처에 많이 몰려 있기 때문에 변별체를 통해서 사건을 일으키는 것으로 나타나는 것일텐데, 뭔가 존재가 거기 많이 모여 있다 하는 어떤 개념을 가질 수 있을 것이다. 결과적으로는 그 위치에 어떤 사건을 야기할 성향이 모여 있는 것이다.
- 어떤 존재가 새로운 존재론적 방식으로 공간적으로 모여 있다고 하는 것을 우리가 일찍이 본 일이 없기 때문에 표현할 언어가 없다. 그래도 그런 것을 얘기하기 위해서 "존재표출 성향"이 모여 있다고 보는 것이 어떨까 하고 제안을 한 것이다.
존재표출 성향은 확률분포와 어떻게 다른가? (세미나 13회. 2023. 4. 10.)
- 어떤 위치에 대상이 있을 확률(분포)은 고전역학적 존재가 있다는 것을 전제하고도 얘기할 수 있다. 그런데 그렇게 해석하면 문제가 있는 것이, 존재 자체가 이미 (고전역학적 존재와) 다르기 때문이다.
- 여기서는 사건을 일으킬 성향(사건야기 성향)을 의미하는데, 이것을 확률분포라고 부르게 되면 대상이 거기에 있을 확률로 오해할 수 있다. 마치 고전적인 입자가 존재하는데 어디에 존재하는지는 모르고 확률만 알고 있는 그런 상황으로 받아들일 수 있기 때문이다.
상태함수는 어디에서 기원하는가? (세미나 13회. 2023. 4. 10.)
- (질문) 상태함수라고 하는 것의 기원이 어떻게 되는가? 빅뱅으로 만들어진 것인가, 아니면 사람이 만든 것인가?
- '수'라고 하는 것을 우리 인간이 만들었다고도 말할 수 있지만, 사실은 빅뱅 이후부터 자연 속에서 그 모든 질서가 어떤 수학적인 질서를 가지고 태어났을 수가 있다. 그러니까 우리 인간이 수학을 가지고 잡아내는 것이지만, 그 '수'가 사람의 머리 속에서만 나오는 것이 아니라 사실은 그러한 형식으로 자연이 이미 구성돼 있는데 우리가 묘하게도 머리 속에 그것을 구성하고 연결지어서 잡아낼 수 있는 능력을 가지고 있는 것이다.
- 그것을 잡아내지 않고 사람의 내적인 논리만 가지고도 재미가 있지만, 이것이 자연 속에서 자연현상이 거기에 맞도록 되어 있는 것을 인간이 발견한다는 것은 더 흥미로운 일이다. 자연과학, 특히 상대성이론과 양자이론의 경우 우리가 수학적으로 해서 보니까 자연에 있는 것이 그 이론에 제대로 딱 맞게 담기더라는 것이다. 자연 질서가 우리의 수학적인 상상에 해당하는 것 이상의 방식으로 이미 묘하게 연결된 구조를 가지고 있는 것이다.
- 그래서 빅뱅 초기에도 그것이 우리한테는 무질서하게 보이지만 그 나름의 질서 속에서 수학적인 구조를 가지고 만들어졌을 가능성도 있다. 그렇기 때문에 우리가 그것을 이해를 통해서 접근할 수 있는 것이다. 이렇게 수학적 이해를 하는 것과 자연을 분리시킬 필요는 없다고 본다.
- 우리가 자연을 보고(자연이 수학적으로 되어 있다는 것을 알고 난 후에) 수학을 하는 것은 아니지만, 해놓고 보면 수학에 정말 놀랍게 서로 잘 맞게 연결이 된다. 예를 들어서 3차원, 4차원 공간 구조를 우리가 수학적으로 기술할 수 있지만 현실에서 도 그 수학적 구조에 가깝게 관련되어 나타나고 있다.
- 그와 비슷하게 지금 말하고 있는 '상태'라는 것도 우리가 상태를 수학적으로 일단 얽어 놓으니까 그것에 맞는 어떤 구조 속에서 대상이 돼 있는 것이다. 그러니까 자연의 출발이 수학을 알고 수학 속에서 만들어진 것이냐라고 생각할 필요는 없지만, 자연 자체가 상당히 놀라운 수학적 질서를 가지고 있는 것은 틀림 없는 것 같다. 그래서 우리가 수학을 가지고 상당히 많은 것을 잡아내고 있다.
- 그런데 흥미로운 것은 '양자역학적 상태'라는 것은 우리가 전혀 기왕에 경험하지 못했고 눈에도 안 보이는 것이지만 우리가 만든 수학에 담아놓고 보면 수학에 아주 잘 담기는 묘한 성격을 가지고 있다. 이제 곧 우리가 읽겠지만 푸리에 변환 등등을 읽어나가보면, 우리가 새로 가정한 존재론이 굉장한 수학 속에 담기고 있다. 현재 우리가 파악한 것은 거기까지인데, 그걸 거슬러서 빅뱅까지 가면 중간에 어떤 과정을 거쳐서 어떻게 변해왔는지 이건 또 앞으로 두고두고 우리가 재미있고 흥미롭게 살펴나가야할 문제가 아닌가 보고 있다.
❖ 양자역학의 상태함수와 푸리에 상반함수
==> 지금까지 위치변수의 영역은 띄엄띄엄한 불연속적 점들의 집합 $\xi_i (i=1, 2, 3, ...)$이었다. 이제 변수 $x$가 놓인 연속 공간으로 바꾸어 생각해보자.
[그림 1] 양자역학의 상태함수를 연속함수로 바꾸기. 책 pp.146-147.
새 존재론적 구조
- 고전 존재론에서 새 존재론으로 넘어오는 과정에서 가장 크게 주목해야 할 점 : 성향의 영역을 넓힘으로써 더 일반적인 내용을 담을 그릇을 마련했다는 것.
- 이를 통해 우리는 새 존재론적 구조를 발견하게 된다.
- 대상의 상태를 공간의 전 영역에 걸쳐 정의되는 일반화된 성향으로 확장한다는 것은 대상의 상태를 공간상의 하나의 점이 아닌 공간 변수의 함수 형태로 나타내어야 함을 의미.
- 그런데 일단 공간상의 함수가 되는 순간 이것은 항상 푸리에 변환에 의하여 그것의 상반(reciprocal) 공간에 담긴 상반함수 형태로 전환할 수 있다.
==> 대상의 상태가 위치 공간상의 함수 $\Psi(x)$로 표현되었다면, 이로부터 항상
$\Phi(k) = \frac{1}{(2 \pi)^{1/2}} \int \Psi(x) e^{-ikx} dx$ ----- 식 (4-7)
로 정의되는 새로운 함수 $\Phi(k)$를 얻을 수 있다.
- 여기서 $\Phi(k)$ 함수를 담게 되는 $k$-공간은 변환식 (4-7)에 의해 $x$-공간과 상반관계로 서로 엮인 상반공간에 해당하며, $\Phi(k)$는 $\Psi(x)$에 의해 일의적으로 결정된다.
- 반대로 $\Psi(x)$는 다시 그 역변환을 통해 함수 $\Phi(k)$에 의해 일의적으로 결정된다.$\Psi(x) = \frac{1}{(2 \pi)^{1/2}} \int \Phi(k) e^{ikx} dk$
- 즉 하나를 알면 다른 하나는 저절로 결정된다는 것 ==> 두 함수는 표현만 다를 뿐 담고 있는 내용은 동일.(부록 <푸리에 변환> 참조. p.302)
도대체 푸리에 변환이란 무엇인가? (세미나 14회. 2023. 4. 17.)
- 푸리에 변환이 무엇인가 ==> 임의의 모양을 가진 위치의 함수($f$라고 하자)를 여러가지 진동수의 함수들의 결합으로 표현할 수 있다. 결합할 때는 각 함수들을 어느 정도의 비중으로 결합할 것인가 조정해주면서 계수들을 맞춰 주면 어떤 함수든지 다 표현할 수 있는 수학적인 성질이 있다.
- 각각의 진동수의 비중은, 진동수 쪽을 $k$라고 할 때 그 $k$가 서로 다른 함수가 각각 어떤 비중으로 합쳐지면 $f$와 같아지느냐 하는 것이다. 이게 무슨 얘기냐? $k$ 공간에서 비중에 해당하는 것이 $k$ 함수다.
- 그래서 그것을 적분으로 표시하면 위의 식(4-7, 4-8)처럼 되지만, 사실 뿔뿔이 여러 개로 그냥 떨어져있는 함수들의 결합으로 해도 된다. 어떤 함수를 여러 함수로 결합을 시키는 것을 '전개한다'라고 하는데, '전개'한 것과 같아진다는 얘기는 어떤 함수들의 세트가 있을 때 그 각각의 함수의 비중 값들을 이 $k$들의 함수로 본 것, 이게 푸리에 함수이다.
- 반대로 $k$ 함수를 가지고 $x$의 함수로 다 전개했을 때 그 앞에 나오는 비중이 뭐냐 하는 것이 원래 우리가 얘기했던 $\Psi(x)$가 된다. 이런 관계가 일반적으로 다 엮어지는 것이다. 그래서 그것을 푸리에 변환이라고 부르는 것이다.
- 푸리에 변환을 왜 쓰나? ==> 변환되는 두 함수가 서로 대등하기 때문에 한 쪽의 함수에 비해서 다른 쪽의 함수가 연산이 덜 복잡한 경우. 수학적인 연산의 편의를 위해서 쓰는 경우가 많다. 그럴 경우에는 일단 한 쪽의 함수(예: $k$)로 바꿔놓고 거기에 대해서 수학적인 연산을 하고 나서 최종적인 결과를 다른 쪽의 함수(예: $x$)로 변환하면 직접 계산할 때보다 훨씬 쉽게 결과를 얻을 수 있다.
- $k$라고 하는 진동수를 가진 함수의 결합으로 표현할 때, 그 결합에 들어가는 상수들의 세트, 이것이 $k$ 함수라는 것. 이것은 수학적인 성질일 뿐인데 묘하게도 물리적인 세계에서는 그 중 하나가 운동량 공간에 해당하고 하나는 위치 공간에 해당하는 관계를 가진다는 것을 양자역학에서 발견한 것이다.
- 제일 먼저 양자역학의 단서가 나타난 게 에너지 $E$가 시간진동수 $\omega$에 비례하는 것으로 나타난 것이다. 사실은 비례하는 게 아니라 $\omega$ 자체가 바로 에너지이다. 그런데 왜 비례하는 것으로 했나? 둘이 같은지 모르고 에너지의 단위와 진동수의 단위를 우리가 별개로 정의를 해버렸기 때문이다. 우리가 이미 정의한 에너지와 새로운 성격을 찾아낸 진동수 $\omega$가 단순한 정의의 문제이기 때문에 정의를 교정해주는 상수 하나로 연결이 되는 것이다. 그 상수를 플랑크 상수라고 부르는 것이다.
- 그런데, 자연 속에 굉장히 신비한 상수가 있다고 생각했는데 알고 보니까 신기 한 게 아니었다. 원래 에너지가 $\omega$ 값이고 원래 운동량이 $k$ 값인데 우리가 그것을 모르고 별도로 운동량과 에너지를 정의했기 때문에 단위가 다르고, 이름도 달랐던 것이다.
- 드브로이의 파동이라고 하는 것은 운동량과 파장($k$의 역수)이 이상한 관계가 있다고 한 것인데, 이상한 관계가 아니다. $k$가 곧 운동량이었는데, 운동량인지 모르고 운동량을 달리 정의했던 것이다. 그런데 운동량과 에너지가 $k$, $\omega$와 같기 때문에 보편상수 $h$로 전부 연결이 된 것이다.
- 이러한 사실을 처음 발견한 사람들은 이런 사실을 모르고 놀라서 이상하다고 했는데, 지금 우리 입장에서 보면 당연한 것이다. 우리가 그 성격을 모르고 별도로 정의해서 단위를 정의했기 때문에 그 단위를 지금 맞춰주는 역할밖에 안 한 것이다, 이것이 우리의 존재론적인 이해이다.
고전역학의 존재론과 새 존재론 비교
- 고전역학의 존재론적 가정 : 위치 공간과 운동량 공간이 서로 독립적.=>한 입자의 동역학적 해(이 입자의 궤적)를 시간의 함수로 산출하기 위해서는 초기 위치와 초기 운동량 정보를 독립적으로 설정해야 한다는 뜻.==> 즉 한 입자의 위치가 결정되었더라도 그 입자의 운동량은 그 위치 값에 무관하게 얼마든지 다른 값을 취할 수 있다는 의미.
- 새 존재론에 의하면 : 대상의 위치 정보를 지닌 상태함수 $\Psi(x)$가 주어지면 이 새상의 운동량 정보는 별도 측정 없이 $\Psi(x)$를 통해 얻어진 새 함수 $\Phi(k)$ 속에 이미 다 들어있다.
- 그 반대도 마찬가지. $\Phi(k)$ ===> $\Psi(x)$
- 운동량 공간 또한 위치 공간과 푸리에 상반공간 형태로 서로 엮여 있다.
새 존재론의 적합성
- 여기서는 존재론 자체만을 놓고 그 내적 정합성을 기준으로 고전역학의 존재론과 양자역학의 존재론이 각각 얼마나 큰 호소력을 지니는지 살펴본다.
- 먼저 우리의 인식론적 요구에 의해 이 두 존재론이 공통적으로 지녀야 할 구조를 생각해보자.
- 관측 가능한 사건들의 야기 성향을 표현해낼 구조를 갖추어야 한다.
- 고전 존재론의 경우 : 그 야기 성향을 오직 1, 0만으로 제한. 위치와 운동량은 서로 독립된 공간을 요구 & 각각의 사건도 독립적으로 관측해야 하는 구조. ==> 단순한 수치적 형태로 상태서술. ==> 독립된 두 가지 상태, 독립된 두 개의 공간 요구.
- 새 존재론의 경우 : 사건야기 성향은 0~1 사이의 모든 값을 허용. 위치 공간에서의 상태함수와 운동량 공간의 상태 함수는 서로 일의적으로 도출되므로 사실상 하나로 통합되는 구조. ==> 일반적인 수학적 함수 형태로 상태서술. ==> 하나의 상태, 하나의 결합된 공간 요구.
- 관측 가능한 사건들의 야기 성향을 표현해낼 구조를 갖추어야 한다.
- 고전역학의 존재론은 수학적 서술이 덜 요구되지만 분리된 복합구조. 새 존재론은 좀 더 세련된 수학적 서술이 요구되지만 통합된 단일구조를 이루고 있어, 존재론 자체가 지닌 내적 정합성의 입장에서만 보더라도, 자연의 심오한 통합 구도가 절묘하게 드러난다는 점에서 새 존재론을 선호해야할 이유는 충분히 있다. "지금까지의 우리 경험이 말해주는 바에 의하면, 자연은 상정할 수 있는 수학적 아이디어들의 가장 단순한 구현이다."(아인슈타인)
존재론, 새 존재론이란? (세미나 14회. 2023. 4. 17.)
- 우리가 알고 있는 세계, 우리가 지금까지 경험해 본 세계에서 우리는 세계를 파악하기 위해서 무언가 기본적으로 전제되어 깔려 있다. 그래서 아인슈타인의 얘기(pp.24-26)에서 전제는 어떤 물질적 대상이 있다, 그것이 어디에 있느냐 공간상에 있다, 공간상에 있을 뿐 아니라 움직일 수도 있다, 그렇다면 어떻게 움직일 수 있느냐, 움직임을 나타내는 개념 공간... 이것이 바탕에 깔려서 그것을 다 전제로 하고 ... 실제로는 그것에 대해서 의식적인 검토도 하지 않고 일단 그런 건 서로 다 이미 암묵적으로 서로 이해하는 것으로 보고 그 위에 논의를 얹어나갔던 것이다.
- 실제로 근대과학이 존재론을 논하는 것은 그냥 그저 가져와서 무의식적으로 이미 다 아는 것으로 치고 관계, 운동방정식 같은 정식론에서 출발을 한다. 그것을 출발로 하고, 그것을 하기 위해서 대상이 공간상에 존재한다는 말을 당연하게 여기고 별도의 검토없이 위치로 나타내고 그 대상의 움직임은 운동량으로 나타낸 것이다.
- 다 알고 있어서 뻔하다는 그 부분, 그것이 존재론의 구체적인 내용인데 검토도 안 하는 것이다. 어떤 대상이 공간상에 존재한다는 것을 심각하게 생각한다고 하면 그건 좀 이상한 철학자들이나 하는 것이라고 치부해버린다. 이렇게 암묵적으로 깔고 전제해온 것들이 부적절하다는 얘기다.
- 이것이 바로 고전역학의 존재론이다. 고전역학의 존재론은 우리가 기왕 우리 경험 속에서 얻어진 것과 아주 자연스럽게 연결이 된다. 고전역학이 조금 더 정밀하게 표현하기는 하지만 전제에 대해서 근본적으로 의문을 품지 않는다. 이것이 우리가 기존에 전제했던 존재론인데, 이것 가지고 안 된다는 것이다. 고전역학의 존재론 위에 양자역학을 세우니까 삐걱거리는 것이다.
- 그러면 어떻게 해야 하나? 존재론을 바꿔야 한다. 너무 복잡하게 바꿀 것도 없다. $\Psi_C$를 여기서 내가 말한 상태함수 $\Psi_Q$로만 바꾸면 된다. 고전역학적 존재론 $\Psi_C$를 양자역학적 존재론 $\Psi_Q$로 바꾸면, '어떤 위치에 있다 없다'가 여러 군데 성향이 퍼져 있다하는 걸로 바뀌게 되고, 상태함수가 연속함수가 된다. 그것 안에 운동량도 들어있고, 위치 공간과 운동량 공간도 하나의 공간에서 엮여 있다. 이런 새로운 틀이 보이는 것이다. 이것이 새 존재론이다.이런 것들은 과거의 존재론에서는 나오지 않는다.
- 새 존재론으로 보니 위치 상황과 운동량 상황, 위치 공간과 운동량 공간이 이렇게 연결이 되어 있고 그 안에 새로운 세계가 형성이 되는 것이다. 그런데 연결되는 방식이 우리가 이미 알고 있는 수학적인 방식으로 연결되고 있고, 그렇다는 것은 그것들이 필연적으로 개념상 어떤 관계를 맺고 있기 때문에 나타나는 것인데 그 관계가 바로 위치와 운동량의 관계더라 하는 것이다. 그것을 새로 발견하고 이것을 기본 존재론으로 깔면, 그 나름대로 묘한 조화를 가지고 있는 수학적으로 깔끔한 구조를 가지고 있다는 것.
- 그것을 인정하고 나면 양자역학이 탄탄한 기반 위에 올라서게 된다. 양자역학이 없었다면 이런 것들을 생각하지도 못했을 것이다. 양자역학이 없었다면 이런 새 존재론을 찾아내지 못했을 것이다. 양자역학을 이해하려고 보니까 이러한 존재론이 필요했던 것. 그래서 '양자역학이 불러온 존재론적 혁명'이라고 한 것이다.
❖ 4차원 이중공간(dual space)
새 존재론의 가정 "위치 공간과 운동량 공간이 푸리에 상반관계로 엮어진 이중공간을 이룬다"의 적합성을 어떻게 판정할 것인가.
- 이 가정을 포함한 존재론이 이미 공인된 양자역학의 모든 관계식들을 성공적으로 도출해내면 정당성이 인정된다.
- 혹은 이중공간 자체를 직접 암시하는 현상이나 실험적으로 검증된 법칙들이 있다면 이를 먼저 연결시켜 그 추론의 실마리를 찾아볼 수 있다.
이중공간 가정을 뒷받침할 두 가지 사실
- (1) 빛의 입자성과 물질의 파동성 논란
- $p = \hbar k$, $E = \hbar \omega$ : 대상의 운동량 $p$와 에너지 $E$가 각각 평면파 $e^{i(kx - \omega t)}$를 기준으로 한 공간진동수 $k$와 시간진동수 $\omega$와 하나의 보편적 관계를 맺는다.
- 이 두 종류의 물리량 사이에 이러한 보편적 관계가 성립한다는 것은 : 이 두 물리량이 본질적으로 같은 것인데, 이들 사이의 등가성을 사전에 미처 알지 못하고 두 물리량의 단위를 달리 설정한 결과일 수 있음을 시사.
- 즉 $p$는 $k$와, $E$는 $\omega$와 그 표현 방식만 다를 뿐 본질적으로 동일하다는 의미.
- 그런데 $k$와 $\omega$는 함수 $e^{i(kx - \omega t)}$를 통해 위치 변수 $x$와 시각 변수 $t$와 관계를 맺고 있으므로, 이는 결국 운동량과 위치, 에너지와 시각이 각각 푸리에 변환을 통해 서로 맺어지고 있음을 의미.
- (2) 하이젠베르크의 불확정성원리(부록 참조. p.304)
- 두 공간에서의 상태함수가 각각 위치와 운동량에 해당하는 사건야기 성향을 나타내는 것이라면, 한 쪽 공간에서의 기대치(위치의 기대치)가 작은 폭의 불확정성을 가질 경우 다른 한 쪽 공간에서의 기대치(운동량의 기대치)는 상대적으로 큰 폭의 불확정성을 가지게 된다.==> 이 두 가지 불확정성의 곱은 불가피하게 일정치보다 커야한다는 부등식이 얻어지는데, 이것이 정확히 불확정성에 관한 하이젠베르크의 부등식과 일치!
오늘 다룬 부분이 이 책에서 가장 중요한 핵심이 담긴 부분이다. (세미나 14회. 2023. 4. 17.)
- 이후에 나오는 정식화(제5장)는 수학적인 것이고, 논리적으로 그냥 이끌어내는 것일 뿐이다. 이 과정도 중요하고 수학에 익숙치 않은 사람들은 상당히 어렵게 느낄 수 있지만, 개념적으로는 그냥 그대로 물 흘러가듯이 흘러가는 것이다.
- 오늘 다룬 부분이, 지금까지 양자역학에서 아무도 얘기하지 않았던 내용이고 이 책에서 가장 핵심적인 부분이다.
- 이 책 표지에 짧은 문장이 하나 있는데, 이것이 이 책의 가장 핵심적인 내용을 요약한 것이다."존재론적 내적 정합성으로만 보더라도, 자연이 심오한 통합 구도가 절묘하게 드러난다는 점에서 새 존재론을 선호할 이유는 충분하다. 이 점은 "자연은 상정할 수 있는 수학적 아이디어들의 가장 단순한 구현"이라고 한 아인슈타인의 통찰에 너무도 잘 부합한다."
(제4장 p.154까지 정리 끝.)
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시인처럼 | 2022.12.22 | 3 | 15526 |
공지사항 |
[공지] 게시판 카테고리 설정에 대해서 (4)
시인처럼
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2022.03.07
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조회 12465
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시인처럼 | 2022.03.07 | 0 | 12465 |
679 |
[자료] 우주의 역사와 운명 (1)
자연사랑
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2025.01.28
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추천 1
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조회 146
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자연사랑 | 2025.01.28 | 1 | 146 |
678 |
[자료] 우주와 물질 - 개요 (4)
자연사랑
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2025.01.27
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추천 1
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조회 156
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자연사랑 | 2025.01.27 | 1 | 156 |
677 |
[자료] 고립계, 닫힌 계, 열린 계
자연사랑
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2025.01.20
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추천 1
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조회 152
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자연사랑 | 2025.01.20 | 1 | 152 |
676 |
[자료] 열역학 영째 법칙과 온도의 정의 (2)
자연사랑
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2025.01.19
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추천 0
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조회 179
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자연사랑 | 2025.01.19 | 0 | 179 |
675 |
상호작용 없는 측정(엘리추르-바이드만)과 겹실틈 실험
자연사랑
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2024.12.25
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추천 0
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조회 165
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자연사랑 | 2024.12.25 | 0 | 165 |
674 |
[자료] 푸리에 변환과 힐버트 공간
자연사랑
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2024.12.10
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추천 0
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조회 217
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자연사랑 | 2024.12.10 | 0 | 217 |
673 |
양자역학이 답하고 있는 문제: 상태를 어떻게 서술할까?
자연사랑
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2024.12.09
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추천 0
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조회 193
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자연사랑 | 2024.12.09 | 0 | 193 |
672 |
양자역학이 답하려 했던 문제 (4)
자연사랑
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2024.12.04
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추천 3
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조회 283
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자연사랑 | 2024.12.04 | 3 | 283 |
671 |
[질문에 대한 의견] 시간, 공간, 시공간의 휘어짐과 중력 (5)
자연사랑
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2024.11.26
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추천 2
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조회 257
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자연사랑 | 2024.11.26 | 2 | 257 |
670 |
[질문에 대한 의견] 만유인력 vs 중력장 (3)
자연사랑
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2024.11.26
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추천 1
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조회 237
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자연사랑 | 2024.11.26 | 1 | 237 |