<장회익의 자연철학 강의> 161-163쪽에 흥미로운 논의가 있습니다.

시간과 공간에 대한 새로운 구조가 다름 아니라 복소수에 있다는 지적입니다. 그런데 실수축에 있는 공간은 그럭저럭 짐작이 가는데 허수축에 있는 시간은 도무지 종잡을 수 없는 것처럼 보입니다. 그리고 또 다른 의문은 공간은 3차원이라면서 왜 갑자기 두 차원을 줄여 버리는가 하는 것입니다. 그리고 왜 갑자기 3차원 벡터니 4차원 벡터니 하면서 새로운 것이 나오나 하는 궁금증도 들 수 있습니다.

이 문제를 고민하다가 해결책을 찾아낸 사람은 아일랜드의 수학자 윌리엄 로원 해밀턴(William Rowan Hamilton 1805-1865)입니다.

이야기는 일단 17세기 데카르트로 거슬러 올라갑니다. 16세기에 활동했던 만능인 제를라모 카르다노(Gerlamo Cardano 1501-1576)는 말 그대로 다재다능한 르네상스인이었습니다. 의사였고 물리학과 화학과 천문학과 점성술에 능했으며, 유능한 도박가이기도 했는데, 무엇보다도 수학에 뛰어났습니다. 1545년에 출판된 그의 Ars Magna(위대한 방법)에는 방정식을 풀어낼 수 있는 일반적인 방법이 상세하게 설명되어 있습니다. 일차 방정식과 이차 방정식은 물론이고 삼차 방정식과 사차 방정식까지 모든 방정식을 풀어낼 수 있는 놀라운 방법이 담겨 있었습니다. (실상 삼차 방정식 해법은 타르탈리아의 것을 훔친 것이긴 합니다만)

방정식 풀이에서 낯선 표현이 나오는데, 이것을 '실수 근'과 '허수 근'으로 처음 표현한 것이 르네 데카르트(René Descartes 1596-1650)입니다. 데카르트는 카르다노의 책에 등장하는 익숙하지 않은 이 풀이(해)를 imaginaire(상상의)라 부르고, 익숙한 풀이를 réel(실제의)이라고 불렀습니다.(Géométrie, 1637, p. 380.)

<장회익의 자연철학 강의> 162쪽의 각주에는 '허수'를 처음 규정한 사람으로 라파엘 봄벨리(Rafael Bombelli 1526-1572)[Raffaele, Raphael으로도 표기됨]을 들고 있습니다. 더 정확히 말하면, 봄벨리가 '허수'라는 단어를 쓴 것은 아니고 타르탈리아의 삼차방정식 해법을 설명하면서 "più di meno(음의 양)"와 "meno di meno (음의 음)"라는 말을 썼습니다. "più di meno(음의 양)"는 지금의 $+i$에 해당하고, "meno di meno (음의 음)"는 지금의 $-i$에 해당합니다.

Rafael Bombelli (1572). L'Algebra, opera di Rafael Bombelli da Bologna, divisa in tre libri con la quale ciascuno da sé potrà venire in perfetta cognitione della teoria dell'Aritmetica.

그러나 봄벨리 자신을 비롯하여 데카르트에 이르기까지 상상하기도 힘든 '상상의(imaginaire)' 수는 많은 사람들이 배척하는 이상한 개념으로 남아 있었습니다.

그러다가 19세기에 이르러서야 비로소 소위 '복소 평면' 개념이 등장했습니다. 좌표평면을 이용하여 복소수를 기하학적으로 나타낼 수 있다는 발상은 놀라운 것입니다.


(그림 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_plane)

칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss 1777-1855)는 탁월한 수학자로서 심지어 전기학에서도 중요한 업적을 남겼고, 복소수를 2차원 평면으로 표시하는 새로운 접근을 소개한 사람으로 널리 알려져 있습니다. 복소평면의 다른 이름은 다름 아니라 가우스 평면입니다.

가우스는 1831년 4월 23일에 이 내용을 발표했습니다.

Carl Friedrich Gauss (1831). "Theoria residuorum biquadraticum, Commentatio secunda," Göttingische gelehrte Anzeigen.

그러나 복소수를 좌표평면의 한 점으로 나타낼 수 있다는 아이디어는 가우스가 관련 내용을 발표하기 30년도 전에 이미 노르웨이-덴마크의 카스파르 베셀(Caspar Wessel 1745 1818)이 Om directionens analytiske betegning이란 제목으로 1797년에 발표했습니다. 덴마크어로 쓰였고 유럽 대륙 안에서도 덴마크어로 쓰인 논문은 널리 알려지지 않았었기에 베셀의 탁월한 아이디어는 거의 주목을 받지 못했습니다.

프랑스의 장 로베르 아르강(Jean-Robert Argand 1768-1822)은 베셀의 논문을 모르는 채로 이 아이디어를 1806년 프랑스어로 쓴 저서에서 발표했습니다. 흥미롭게도 다른 세 명의 저자가 비슷한 생각을 저서로 발표했습니다.

Jean-Robert Argand (1806). Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques.

Abbé Bueé (1806). Mémoire sur les quantités imaginaires.

John Warren (1828). A Treatise on the Geometrical Representation of the Square Roots of Negative Quantities.

C. V. Mourey (1828). La vrai Théorie des quantités négatives et des quantités preténdues imaginaires.

그런데 베셀과 아르강은 물론이고 아베 뷔에, 존 웨런, 모리의 아이디어는 학계에 그다지 영향을 미치지 못했습니다. 낯선 주장이기도 했지만 저자가 널리 알려진 수학자가 아니었기 때문이었습니다.

상상하기도 힘든 복소수를 좌표평면에 기하학적으로 나타내고 이를 이용하여 어려운 계산을 할 수 있다는 발상이 널리 퍼지게 된 것은 가우스처럼 엄청난 권위를 가진 수학자가 유명한 학술지에 논문을 발표한 덕분이었습니다. 여러 가지 증거로 보아 가우스는 위에 언급한 사람들 대부분의 연구를 모른 채로 이미 1799년 무렵에 복소평면의 아이디어를 얻었다는 것이 수학사학자들의 평가입니다.

그런데 베셀-아르강-가우스의 복소평면은 제한적인 면이 있었습니다. 공간이 3차원이라면 그 3차원을 반영할 수 있어야 하는데, 복소평면으로서는 그것이 어려웠습니다. 이 제한을 넘어 새로운 아이디어를 제안한 것이 바로 해밀턴이었습니다. 해밀턴은 사원수(quaternion)이란 개념을 통해 복소수의 2차원을 4차원으로 끌어올렸습니다.

사원수는 $a+bi+cj+dk$와 같이 표현됩니다. 여기에서
$$i^2 = -1, \quad j^2=-1, \quad k^2 =-1$$
이고,
$$ij=-ji=k, \quad jk=-kj=i, \quad ki=-ik=j$$
로 정의됩니다.

복소수가 실수부분과 허수부분으로 나누어 정의되듯이, 사원수는 스칼라 부분과 벡터 부분으로 나누어 정의됩니다.

(이후 계속)