1916년에 아인슈타인이 일반상대성이론을 발표한 뒤 바로 칼 슈바르츠쉴트가 구대칭성이 있는 풀이를 발표했습니다. 1919년 영국의 천문학자 프랭크 다이슨과 아서 에딩턴이 이끄는 원정대가 일식을 이용하여 태양 주변에서 별빛이 휜다는 일반상대성이론의 예측을 확인하면서 아인슈타인은 일약 스타가 되었습니다.

그러나 실상 물리학자들 사이에서 1960년대까지 일반상대성이론은 극소수의 사람들만이 관심을 갖는 예외적인 영역이었습니다.

이것을 근본적으로 바꾸어 놓은 가장 중요한 인물 중 하나가 존 아치볼드 윌러(John Archibald Wheeler 1911-2008)입니다.

윌러는 다음과 같이 말하곤 했습니다.

"시공간은 물체가 어떻게 움직이는 말해 주며, 물체는 시공간이 어떻게 휘어질지 말해 준다."

“Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.”
― John Archibald Wheeler, Geons, Black Holes and Quantum Foam: A Life in Physics

여기에서 '물체'라고 썼지만, 실상은 '물질'이라고 해야 옳습니다. 직관적으로는 '물체'가 더 다가올 터라 그렇게 적었습니다.

아인슈타인 중력장 방정식은 이 문장의 뒷부분을 가리킵니다.
$$ R_{a b}-\frac{1}{2}R g_{a b} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{a b}$$

그러면 앞부분은 어떻게 될까요? 그것은 <장회익의 자연철학 강의> 189쪽에 나오는 측지선 방정식입니다.
$$ \frac{d^2 x^a}{d\lambda^2} + \Gamma^{a}_{b c}\frac{dx^b}{d\lambda} \frac{dx^c}{d\lambda}=0$$
여기에서 $\lambda$는 고유시간과 거의 같습니다.

측지선 방정식은 다른 힘을 받지 않는 물체가 어떤 궤적을 그릴 것인지 말해 줍니다.

제2장에서 논의한 것처럼, 뉴턴 역학에서는 다른 힘을 받고 있지 않은 물체는 정지해 있거나 아니면 일정한 속도로 반듯하게 운동합니다. 소위 관성운동이죠.

그런데 아인슈타인은 엉뚱한 생각을 떠올렸습니다. 평생 가장 운 좋은 생각이라고까지 추켜세웠습니다.

"떨어지는 사람은 떨어지지 않는다."

더 정확하게 말하자면, 사람이 떨어지면서 그와 함께 다른 물체가 떨어진다고 할 때, 떨어지는 사람이 볼 때에는 그 물체가 떨어지지 않습니다.

그렇다면 중력이 만들어내는 효과와 관찰자가 속해 있는 좌표계가 가속해서 만들어내는 효과는 구별할 수 없습니다. 구별할 수 없다면 그 둘은 같은 것입니다. 이를 동등성원리 또는 등가원리라 부릅니다.

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위의 영상이 동등성원리를 쉽게 설명해 줍니다.

그래서 자유낙하하는 물체는 어느 짧은 순간에는 사실 관성계, 즉 일정한 속도로 반듯하게 움직이는 좌표계에 있다고 말할 수 있습니다. 이를 국소관성계(local inertial frame)라 합니다.

이 아이디어를 발전시켜서 국소관성계 좌표를 $z^\alpha$라 하고, 이를 일반적인 다른 좌표계로 바꾼(변환한) 것을 $x^{\mu}$라 해서 방정식을 유도할 수 있습니다.

국소관성계에서는 가속도가 0입니다.
$$ \frac{d^2 z^\alpha}{d\lambda^2}= 0$$

일반적인 좌표계 $x^{\mu}$에 대해
$$\frac{d z^\alpha}{d\lambda}=\frac{\partial z^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{d x^\mu}{d\lambda}$$
입니다. 일반좌표변환이라고 해도 좋고 미분의 연쇄공식을 쓴 것이라고 봐도 좋습니다.

조금 복잡하긴 하지만, 여기에서 미분을 한번 더 하고 항을 잘 정리하면 다음과 같이 됩니다.
$$\begin{eqnarray}
\frac{d^2 z^\alpha}{d\lambda^2}&=&\frac{d}{d\lambda}\frac{d z^\alpha}{d\lambda}\\
&=&\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{\partial z^\alpha}{\partial x^\mu}\right)\frac{d x^\mu}{d\lambda}+\frac{\partial z^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2}\\
&=&\frac{\partial^2 z^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}\cdot \frac{d x^\mu}{d\lambda}\frac{d x^\nu}{d\lambda}+\frac{\partial z^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2}
\end{eqnarray}$$
위에서
$$ \frac{d^2 z^\alpha}{d\lambda^2}= 0$$
라고 했으니까
$$\frac{\partial^2 z^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}\cdot \frac{d x^\mu}{d\lambda}\frac{d x^\nu}{d\lambda}+\frac{\partial z^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2}=0
$$
이고, 여기에 $\frac{\partial x^\beta}{\partial z^\alpha}$를 곱한 뒤 $\alpha$에 대해 덧셈을 합니다.
$$\frac{\partial z^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial z^\alpha}=\delta^\beta _\mu$$
임을 이용하면
$$\frac{d^2 x^\beta}{d\lambda^2}+\frac{\partial^2 z^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}\frac{\partial x^\beta}{\partial z^\alpha}\cdot\frac{d x^\mu}{d\lambda}\frac{d x^\nu}{d\lambda}=0$$
이 됩니다.
$$\Gamma^\beta_{\mu\nu} := \frac{\partial^2 z^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}\frac{\partial x^\beta}{\partial z^\alpha}$$
라 정의하면, 결국
$$\frac{d^2 x^\beta}{d\lambda^2}+\Gamma^\beta_{\mu\nu}\frac{d x^\mu}{d\lambda}\frac{d x^\nu}{d\lambda}=0$$
을 얻습니다. 이것이 측지선 방정식입니다.

이렇게 정의한 $\Gamma^\beta_{\mu\nu}$가 아래와 같이 정의한 크리스토펠 기호와 같다는 것은 따로 증명이 필요하지만, 그리 어렵지는 않습니다.
$$\Gamma^\beta_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\alpha\beta}\left(\frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x^\nu}+\frac{\partial g_{\alpha\nu}}{\partial x^\mu}-\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\alpha}\right)$$
여기에서 크리스토펠 기호가 거리함수 텐서의 미분으로 주어지기 때문에, 평평하지 않은 시공간에서는 따로 외부의 힘을 받지 않는 물체라도 직선을 따라 움직이는 것이 아니라 $\Gamma^\beta_{\mu\nu}$에 따라 그만큼 어긋남이 생기게 되어 있습니다.

이 방정식을 풀어서 수성의 근일점이 100년 동안 43초각만큼 엇나가는 것을 계산할 수 있고, 태양 주변에서 별빛이 1.6초각만큼 휘는 것도 계산할 수 있습니다.