[모임 정리] 새자연철학세미나 15회 - 양자역학 3 : 양자역학의 존재론과 기본공리
모임 정리
양자역학
작성자
neomay33
작성일
2022-04-21 22:41
조회
3340
새 자연철학 세미나 제15회 모임에서 나눈 이야기를 정리하였습니다. 공부에 참고해주시고, 의견, 수정 사항, 추가 질문이나 논의 등은 게시판과 카톡방 또는 SNS를 통해 자유롭게 나눠주시면 감사하겠습니다.
새 자연철학 세미나는 ⟪장회익의 자연철학 강의⟫를 함께 읽고 그 요체를 이해하고 논의하기 위한 장입니다. 2019년 11월부터 2021년 9월초까지 공부했던 자연철학 세미나에 이어 2기 세미나인 새 자연철학 세미나는 2021년 9월 중순부터 시작하였습니다. 2022년 연말까지 진행할 자세한 세미나 계획과 운영 방식은 새 자연철학 세미나 보완 계획을 참고해주시기 바랍니다.
[새 자연철학 세미나 15회]
때 : 2022년 3월 31일 목요일 오후 8시 30분 ~ 10시 30분
주제 : 양자역학 3 – 양자역학의 존재론과 새 공리 체계
발제 : 이중원
이 날 논의하는 자료들
- ⟪자연철학 강의⟫ 제4장 “양자역학” pp.217-238 [내용 정리 부분]
- 대담영상 및 녹취록 <장회익의 자연철학 이야기> 5-4. 공간 개념의 변화와 양자역학의 새 공리 체계
- 대담영상 및 녹취록 <장회익의 자연철학 이야기> 5-5. 양자역학 변화의 원리
참고자료
- 장회익(2022). “양자역학, 그게 뭔가요?”
- Hwe Ik Zhang, M.Y. Choi (2022). Ontological Revision and Quantum Mechanics. Results in Physics 33
- 대담영상 및 녹취록 <장회익의 자연철학이야기> 5-6. 양자역학 : Q&A-1 (삼중 슬릿 실험에서의 간섭 효과 등)
- 대담영상 및 녹취록 <장회익의 자연철학이야기> 5-7. 양자역학 : Q&A-2 (상태함수, 성향, 확률 등)
- 대담영상 및 녹취록 <장회익의 자연철학이야기> 5-8. 양자역학 – 측정과 변별체에 대한 질문
참고할 수 있는 자연철학 세미나 게시판의 글들
- 자연철학 세미나 게시판 자연사랑님 글 “제4장 내용 정리에 대한 짧은 정리”
- 자연철학 세미나 게시판 자연사랑님 글 “슈뢰딩거의 파동역학”
- 자연철학 세미나 게시판 자연사랑님 글 “(3) 양자역학의 기본공리”
- 자연철학 세미나 게시판 자연사랑님 글 “(*) (4) 상태변화의 원리, 슈뢰딩거 방정식”
- 자연철학 세미나 게시판 자연사랑님 글 “입자-파동 이중성?”
- 자연철학 세미나 게시판 자연사랑님 글 “불확정성 원리?”
- 자연철학 세미나 게시판 자연사랑님 글 “푸리에 변환과 하이젠베르크-파울리-바일 부등식”
- 자연철학 세미나 게시판 자연사랑님 글 “양자역학의 ‘서울’ 해석의 과격한(?) 주장들”
3월 31일 세미나에서는 이중원 선생님이 Zhang & Choi (2022) 논문의 내용에 따라서 새 자연철학이 어떻게 양자역학의 존재론을 세우고, 그 존재론으로부터 어떻게 양자역학의 새 공리 체계를 이끌어내는지 정리를 해주실 예정입니다. 이 새 양자역학 체계 정리에 따르면 그동안 ‘대전제’ 역할을 하던 원리들이 존재론으로부터 도출되는 따름정리로 새로 자리매김되고 이에 따라 양자역학 체계가 훨씬 간결하고 명징하게 정돈된다고 합니다. 31일 세미나에서는 이 점을 확인해보시죠.
모임 공간 : 온라인 Zoom 모임공간
– Zoom 회의 ID: 912 7641 4592
– Zoom 회의 비밀 번호: 우주의 역사 ***억년에 숫자 0을 다섯 개 더한 여덟 자리 숫자 (***00000) (⟪장회익의 자연철학 강의⟫ 299쪽 마지막 줄 참조)
목차
[1] 발제 : "양자역학 3 –양자역학의 존재론과 기본공리"
1. 발표 개요
2. 동역학 이론의 존재론
3. 고전역학의 존재론 : 기존 접근
4. 고전역학의 존재론 : 새로운 접근
5. 양자역학의 존재론 : 상태
6. 양자역학의 존재론 : 공간
7. 양자역학의 기본공리 : 공리 1~3
8. 양자역학의 기본공리 : 공리 4
9. 양자역학의 기본공리 : 기존 접근
10. 양자역학의 온전한 이해 : 불확정성 관계 유도
11. 양자역학의 온전한 이해 : 슈뢰딩거 방정식 유도
[2] 질문과 토론
1. 인식함수가 꼭 필요한가 / $m_0$가 0이 아닌 경우 유도과정, 최선인가?
2. ontic / epistemic ?
3. 결풀림과 공리 4 / 최초의 변별체?
4. 연산자?
5. 상태 개념?
6. 측정, 변별체, 인식함수
7. 공리 4 / 공리 2
8. 앞의 질문들에 대한 수학자의 답변
9. 물리적 실재 & 물리적 실체
10. 이중 슬릿, 삼중 슬릿, 사중 슬릿?
사회자 : 지난 시간에 이중원 선생님께서 양자역학의 존재론에 대해서 설명을 쭉 해주셨고 이야기를 나눴습니다. 오늘은 그 존재론으로부터 공리 체계가 어떻게 유도되는지 주로 말씀해 주실 예정입니다. 오늘은 더 어려울 것 같습니다.
본격적으로 시작하기 전에 장회익 선생님께 한 가지만 여쭤보면요. 지난 시간에 제가 느끼기로는 양자역학의 해석에서 핵심 쟁점 중의 하나가 변별체 대상으로부터 변별체까지와, 변별체부터 인식 주체까지의 어디를 양자역학으로 설명을 하고 어디부터는 별개로 보고 설명해야 되는가 이런 것 아니었는가 싶은데, 그게 핵심적인 해석상의 쟁점인 게 맞습니까?
장회익 : 지금까지 내가 본 문헌으로 봐서는 그걸 구분한 사람들이 없어요. 그냥 실험이나 측정해서 다 뭉뚱그려버려요. 그런데 나는 그것을 변별체와 대상과의 관계로 딱 거기를 잘라버린 거지.
사회자 : 제가 볼 때 그 문제가 저희가 앞으로 두고두고 토론거리인 것 같습니다. 그 부분이 해석 상에서 중요한 문제라고 저는 지난 시간에 느꼈습니다. 그렇게 쟁점들을 체크해 가면서 공부해가면 좋겠습니다.
[1] 발제 : "양자역학 3 –양자역학의 존재론과 기본공리"
발표자 : 이중원
1. 발표 개요
이중원 : 늘 송구스러운데 제가 맡은 분야가 어려운 내용입니다. 양자이론에 대한 장회익 선생님의 해석 과정 자체도 상당히 독창적이고 새로운 접근 방식이고, 기존의 양자 이론과 양자 이론의 철학에 관한 이야기기 또 있고, 거기에 장회익 선생님의 새로운 양자 이론이 가지고 있는 철학적 바탕이 있어서, 이렇게 세 가지가 어우러져서 이야기가 되는 상황이라서 어렵습니다.
그러다 보니까 내용 자체가 어렵고 복잡해져서, 지난 시간에도 일단 장회익 선생님의 책 <장회익의 자연철학 강의>의 내용을 중심으로만 일단 말씀을 드렸습니다. 오늘도 책 중심으로만 얘기를 할까 합니다.
기존의 논의들과의 비교가 간단하게 나오겠지만 좀 더 본격적인 다양한 논의는 다음 발표 때 다양한 해석들과 장회익 선생님의 생각과의 어떤 공통 부분 또는 차이점 그리고 장 선생님이 했던 접근 방식의 의미, 의의 이런 것들은 좀 또 다음 발표 때 제가 다시 말씀드리겠습니다.
지난 시간에는 주로 양자역학에서 상태와 변별체를 중심으로 한 존재론 이야기에 초점을 맞췄습니다. 오늘은 존재론에 관한 이야기를 조금 더 포함해서 정리를 한 다음, 그로부터 장회익 선생님의 '양자역학의 기본공리'에 대해서 얘기해보겠습니다.
장회익 선생님께서는 기본공리를 이끌어내시고 이를 바탕으로 양자 이론에서 굉장히 난해했던 부분들, 복잡했던 요소들 등을 논리적인 정합성을 가지면서 간결하고 깔끔하게 정리해내는 시도를 하고 계십니다. 그런 내용들 일부를 오늘 함께 살펴보고 공유 해볼까 합니다. 그래서 제목은 "양자역학의 존재론과 기본공리"이라고 했습니다.
2. 동역학 이론의 존재론
발표자 : 우선 지난 시간에 언급을 드렸습니다만 동역학 이론의 존재론에 관한 이야기로 시작을 해보겠습니다. 원래 존재론은, 특히 과학 이론의 경우 존재론은 명시적인 지식 구성에 바탕이 되는 세계에 관한 이야기 그러니까 세계의 구조 그리고 구성 요소에 관한 이야기입니다. 이것 역시 인간의 사유 체계에 들어 있는 것이죠.
그리고 고대, 중세, 근현대 철학에 이르기까지 서양철학에서는 이런 부분들을 자연철학이라는 이름으로 많이 논의를 해왔었습니다. 특히 과학의 경우 그렇습니다. 그게 이제 일반적인 언급이고요, 조금 동역학에 초점을 맞추면 동역학 진술을 의미 있게 만드는 존재 세계에 관한 전체 개념 틀이라고 말씀드릴 수가 있습니다.
크게는 두 가지지만 조금 세분화하면 세 가지로 나누어서 살펴볼 수 있겠습니다. 우선 대상의 상태에 대한 이야기인데요. 그 대상의 상태를 의미 있게 규정하는 개념 체계를 존재론이라는 이름으로 우리가 정립을 해보려고 하는 겁니다. 여기서 중요했던 개념이 상태를 대상의 속성으로 보는 것입니다. 어떤 속성으로 보느냐, 성향이라는 속성으로 본다, 그러니까 사건을 야기하는 성향이라는 속성으로 본다, 그런 의미에서 대상에 부여되어 있는 속성이죠. 그래서 존재적이라는 것입니다. 이건 기본적으로 존재론의 어떤 의미를 그대로 반영하고 있다고 봅니다.
그런데 두 번째는 이 상태에 대한 인지 과정의 얘기가 나왔습니다. 아까 서두에 우리 사회자도 문제로 하나 던져놓긴 했습니다만 관련이 있을 것 같은데요. 이 대상 자체는 상당히 추상적이고 또 대상이 이렇다라고 이야기를 한다 해서 우리가 대상의 관한 많은 정보를 이해하고 인식하는 것을 안다는 것은 쉽지가 않죠. 그것만으론 충분하지 않기 때문에 이 상태를 인식 주체인 우리가 이해하고 인지하는 과정이 당연히 필요합니다.
그래서 인식 주체에 의해서 이 개념 체계가 인지되는 방식이 존재 세계에 관한 개념 체계입니다. 그런데 이게 왜 존재론과 관련이 있느냐 하면, 상태에 관한 정보가 인식 주체에 도달할 수 있도록 하기 위해서는 인지 가능한 신호가 전달되는 어떤 매체 또는 과정이 존재해야 됩니다.
이때 등장하는 주요 개념이 변별체 개념과 사건 개념인 거죠. 그런데 변별체나 사건이라는 것은 아시다시피 다 실재론적 의미를 갖고 있는 그런 존재들이어서 존재론적인 차원에서 우리가 논의를 해봐야 될 요소다, 그런데 이 요소가 작동하는 영역은 인지 과정에서 작동을 한다는 거죠.
그래서 단순히 대상의 상태, 존재적인 상태에 관한 이야기에 국한해서는 우리가 앎의 어떤 이야기를 꾸려갈 수 없기 때문에 우리가 세계에 대한 어떤 정보, 지식, 앎을 얻고자 한다면 이 인지 과정이 들어가고 여기에 당연히 존재론적 요소가 포함될 수밖에 없다, 이것이 장회익 선생님이 계속 강조하시는 부분인 것 같습니다.
이 부분에 대해서는 대부분 기존의 전통적인 존재론이나 철학자들, 또 자연 철학자들이 논의를 잘 안 하죠. 그래서 이 부분이 아까 사회자가 말씀하셨다시피 우리가 상당히 강조하고 음미해 보고 또 문제가 있다면 같이 토론해 볼 수 있는 영역이라는 겁니다.
세 번째는 '공간'입니다. 존재론이 존재하고 있는 어떤 공간의 구조가 있습니다. 사실 이전에는 이 부분이 공간이라는 개념으로 따로 논의되어 온 것 같지는 않고요. 상대성 이론, 양자 이론을 거듭 논의하면서 동역학 이론의 존재론에 이 공간이라는 개념이 굉장히 중요한 어떤 요소다라고 장회익 선생님이 말씀을 하시는 것 같습니다. 앞으로 좀 더 보도록 하겠습니다.
지난번에도 말씀드렸다시피 장회익 선생님의 출발은 고전역학과 양자역학의 단절이 아니고, 양자역학을 통해서 기존에 있어 왔던 역학들을 일반화하는 겁니다. 그러니까 이것들이 어떻게 연결이 가능한지를 살펴보는 것입니다.
3. 고전역학의 존재론 : 기존 접근
발표자 : 우선 고전역학의 존재론을 먼저 논의의 출발점으로 살펴보면, 여기서 상태는 예를 들어서 대상이 x 위치에 있다고 할 때 이 상태가 갖는 존재적 의미는 대상이 x위치를 점유하고 있다, 이 '점유'의 의미인 거죠. 이것은 이제 우리가 일상 경험에서 늘상 가지고 있는 어떤 관념 체계입니다.
그런데 이 상태는 대상 그 자체에 대한 서술이기 때문에 아까 말씀드린 것처럼 우리에게 어떤 지식, 앎을 제공해주는 어떤 1차적 어떤 소스이긴 해도 충분하지는 않은 거죠. 이것은 그 상태와 관련해서 우리가 시각 t에서 대상의 상태에 관한 기존의 접근입니다. 기존에 양자역학에 대한 존재론을 어떻게 봤냐 하면 그냥 여기 대상 자체의 상태로만, 점유로만 이해를 했다는 것입니다. 조금 더 구체화하면 시각 t에서 대상의 상태는 독립적으로 결정되는 위치와 운동량의 값에 의해서 특정을 했다는 거죠. 그래서 두 값의 집합으로 그냥 대상의 상태를 표상을 했습니다.
공간은 여기 위치와 운동량 값이 중요한 역할을 하다 보니까 위치-공간, 이건 4차원으로 하면 위치-시간 공간이 되겠고요. 운동량 공간도 4차원으로 확대시키면 운동량-에너지 공간이 되겠죠. 이 공간들이 서로 독립되어 있고 분리되어 있다, 이 전제에 의해서 이 각각의 값들을 바탕으로 대상의 상태를 정하는 이런 구조를 가지고 있다, 이것이 고전역학 존재론에 대한 기존의 접근입니다.
4. 고전역학의 존재론 : 새로운 접근
발표자 : 장회익 선생님이 이렇게 재구성을 하시는 것으로 저는 이해했습니다. 이 새로운 접근은 장회익 선생님 접근입니다. 우선 아까 말씀드린 상태 점유 개념으로서의 상태 개념으로 한정되는 게 아니라 대상이 x 위치에 있다라는 이 상태의 의미를 조작적인 관점에서 접근을 하고 있습니다.
예를 들면 이런 겁니다. 위치 탐색 변별체를 x 위치에 갖다 놓았을 때 대상으로부터 변별체에 어떤 자극을 남기는 사건이 발생한다면 변별체가 있는 x의 위치에 대상이 있다는 의미다! 이게 대상의 존재적인 상태 자체에 대한 이야기와 이것을 인간이 인지하고 앎의 형태로 지식의 형태로 가져가는 그 과정의 존재론적인 요소들에 대한 논의들이 구조적으로 함께 들어있는 거죠.
다른 사람들과 다르게 장회익 선생님은 변별체 개념 그리고 사건 개념을 도입을 하신 거죠. 이때 변별체에 사건 야기 성향을 갖는 것이 상태 개념의 진정한 의미다, 변별체에 사건을 야기하는 성향이 상태다! 그런데 이때는 점유에 관한 것이면서 사건 야기 성향(1 또는 0)에 대응시키고 있습니다. 점유라는 전통적인 존재 개념을 사건 야기 성향이라는 개념으로 전환했을 때는 그것이 1 또는 0의 값을 갖는 것이다, 이렇게 성향의 개념을 제한적으로 쓰고 계십니다.
그 다음 조금 더 진행을 해보겠습니다. 시각 t에서 대상의 상태는 두 집합 $ (x_1 , x_2 , x_3, ... ) (p_1 , p_2 , p_3 , ...)$으로 표시된 공간의 함수로 표현될 수 있습니다. 이것은 연속적인 값들이지만 집합이라는 불연속적인 어떤 값들의 집합으로 표현을 해볼 수도 있겠죠.
기존에 우리는 이런 방식으로 썼죠. x1과 p1이다, 이런 정도로 쓰고 말았는데 이것을 이제 $\Psi_C$라는 개념으로 바꾸고 계시는 거죠. 그래서 $\Psi_C (x_i , p_j)$라는 것을 양자역학의 '상태'로 씁니다. $\Psi$는 대개는 양자역학에서만 썼는데 고전역학에서도 $\Psi$ 개념을 쓸 수 있다고 얘기를 하시는 거죠.
그래서 $\Psi_C (x_i , p_j)$개념을 도입을 하는 것이 어떻게 규정이 되냐면 델타 함수로 정의가 되는 거죠. 그러니까 $\delta _{ x_i x_k}$라는 것은 $x_i$가 $x_k$에 지정이 되면 그것은 1이 됩니다. $x_i$ 값이 1이 되는 것이고, 그러니까 거기에 있다라는 거죠. 또 $\delta _{ p_j p_l}$도 $p_j$가 $p_l$인 경우라면 그게 1의 값을 갖는 거니까, 그 경우 $p_j$라는 값을 갖는 대상이 $x_i$라는 곳에 있다는 것입니다. 이 얘기를 이렇게 표시를 해서 바꿔놓은 거죠.
조금 더 한 단계 추상화를 시킨 겁니다. 이건 운동량과 위치가 함께 있으니까 더 복잡할 수 있어서 $x_i$ 하나, 즉 위치 하나에 대해서만 쓴다면 $\delta _{ x_i x_j}$가 되겠죠. 이것이 크로네커 델타 함수인데요. 이건 좀 전에 제가 설명을 드린 겁니다. 그래서 델타$(\delta)$가 얘기하는 것은 결국 점유를 의미하는 거죠. $x_k$라는 위치를 점유한다, $x_i$라는 위치를 점유한다, 그게 바로 델타가 1이라는 뜻이다, 그래서 $\Psi$라는 형태로 추상화해서 고전역학의 상태를 재구성을 할 수가 있다는 것입니다.
이렇게 하게 되면 이것의 연장선으로 또는 확장으로 양자역학의 $\Psi$와 상태를 연결 시켜볼 수가 있겠죠. 양자역학에서는 1 아니면 0의 값을 갖는 게 아니라 0에서부터 1 사이에 모든 값을 갖기 때문에 $\Psi$에 대한 정의가 $\delta$로 정의되지 않겠죠. 다른 형식으로 정의가 되겠죠. 그래서 고전역학에서의 방식은 굉장히 제한적으로 이루어지는 것이고, 양자역학으로 가면 그것이 확장되는 것이라는 일종의 연장선상에서 그림을 그려보고 계신 것 같아요.
그런데 제가 조금 궁금했던 것이 이겁니다. 델타 개념에서는 확률이 0하고 1 밖에 없기 때문에 확률이 들어가는 양자역학적 상태 개념으로 넘어가기 위해서는 확률 개념이 들어와야 하는데 쉽지 않거든요. 여기에 확률을 집어넣기 위해서 인식 함수라는 표현을 쓰십니다.
그러니까 상태에 관한 epistemic function(인식 함수)이라고 쓰신 부분이 있는데요. 이건 뭐냐하면 대상의 상태에 관한 인식 주체의 앎의 정도입니다. 대상의 상태 $\Psi_C$에 대한 인식 주체의 앎의 정도, 인간의 인식의 정도는 확률적으로 주어질 수 있겠죠. 결정론적인 고전역학의 세계는 결정론의 세계이기 때문에 대상은 있거나 없거나 하겠죠.
그래서 여기 보시면 $\Psi_C$는 고전역학적 상태를 $\Psi$ 형태로 재구성을 한 거고요. 이것은 대상의 상태에 대한 인식 주체가 가지고 있는 앎의 정도를 표시하는 인식 함수입니다. 이 경우는 $a_i , a_j$라는 계수의 제곱들이 각 위치에 있을 확률입니다. $|a_j|^2$은 대상이 $x_j$ 있다는 인식 확률을 얘기해 주는 겁니다.
5. 양자역학의 존재론 : 상태
발표자 : 확률 개념을 집어넣고 이것을 조금 더 확장을 해서 고전역학에서 양자역학의 존재론으로 넘어가는데, 제가 이해하기로는 고전역학의 존재론을 수정을 하고 계시는 거죠. 그러니까 다른 말로 하면 확장을 하는 겁니다. 그래서 어떻게 확장을 하냐면 대상이 상태 $\Psi(x,t)$에 있다라는 것의 존재적 의미는 대상이 시각 t에 위치 x에서 어떤 사건을 야기할 성향을 가진다는 것입니다. 이게 성향에 관한 얘기 그러니까 점유에서 성향으로 일단 존재론적인 의미를 확대시켰고요.
그리고 아까도 조작적 의미를 논의했는데 이것이 장 선생님의 독특한 작업입니다. 대상이 상태 $\Psi(x,t)$에 있다라는 것의 조작적 의미는 시각 t, 위치 x에 변별체가 있는 경우 대상이 변별체의 흔적을 남기는 사건을 야기할 성향이다, 그 성향 $\Psi(x,t)$를 대상이 가지고 있다, 이런 얘기라는 거죠.
그래서 아까는 그냥 성향이 1아니면 0으로 갔는데 이제는 $\Psi(x,t)$로 바뀌었습니다. 그리고 $\Psi(x,t)$는 공간상의 모든 위치에서 그 성향의 값이 존재합니다. 물론 복소수로 존재하게 되고요. 그래서 이것은 위치-공간 전체에 관한 함수가 되고 이걸 달리 얘기하면 대상이 공간상 모든 점에서 사건을 야기할 성향을 가질 수 있음을 함축한다, 함의한다 이렇게 볼 수가 있습니다.
이제 $\Psi$의 제곱 그러니까 성향의 제곱이 확률이 되겠죠. 지난번에도 논의했지만 일반 철학에서 얘기하는 성향과는 다른 성향 개념을 장회익 선생님은 쓰신 거죠. 전통적으로는 $|\Psi|^2$이 확률입니다. 보통 성향도 확률의 일종으로 보는 경우가 많은데 장회익 선생님은 이제 그렇게 보신 건 아니고요.
그래서 어쨌든 사건 야기 확률은 0에서 1 사이의 모든 값을 갖게 됩니다. 이걸 어떻게 제가 이해했냐면 결국 양자역학에서 제한적으로 사용된 성향, 즉 0과 1의 값만 가지는 성향 개념이 확장이 된 것, 일반화된 것이다, 결국은 상태 개념이 확장됐다는 겁니다.
그런데 양자역학적 상태 개념과의 차이점은 $\Psi_Q$인데요. 퀀텀의 양자 상태 $a_i \phi_i$가 들어오는 거죠. $\phi_i$는 델타 함수가 아닌 다양한 가능성을 가지고 있는 상태들의 스펙트럼이 되겠습니다. 고전역학에서는 그 위치에 있거나 없거나 둘 중에 하나지만 이것은 그렇지가 않다는 거죠. 다양한 스펙트럼이 가능하다는 겁니다.
그렇게 집합의 형태로 재구성을 할 수가 있고 이걸 연속적인 함수의 형태로 ∫을 써서 동일하게 써볼 수도 있을 겁니다. 그래서 고전역학적 상태와 달리 양자역학적 상태는 $\Psi_C$는 x와 p에 의해서 정의가 됐는데, 양자역학에서는 x 또는 p 둘 중에 하나로만 정의가 됩니다.
다시 말하면 특히 위치의 변수에 의거한 양자학적 상태는 그것에 굳이 운동량 대응 파트를 가질 필요가 없다, 이미 푸리에 변환에 의해서 $\Psi_Q (x)$안에 운동량에 관련된 $\Psi_Q (p)$가 연관되어 있기 때문에 별도의 독립적인 운동량 대응 파트가 구성될 필요가 없다, 이런 내용입니다.
6. 양자역학의 존재론 : 공간
발표자 : 그러면 공간에 대해서는 어떻게 수정, 확장이 됐는지를 보겠습니다. 아시다시피 상대성 이론이 등장하면서 공간, 시간의 구조에 관한 존재론적 수정이 있었죠. 그러니까 서로 분리 독립 됐던 공간과 시간이 4차원 시공간이라는 하나의 존재자로 통합이 됐고요. 마찬가지로 서로 분리 됐던 운동량과 에너지가 4차원 운동량 에너지로 통합이 됐죠. 이게 상대성 이론에서 나오는 얘기입니다.
양자 이론이 등장하면서 위치 공간과 운동량 공간 구조에 관한 존재론적 수정을 하게 되는데요. 서로 독립 했던 위치 공간과 운동량 공간이 하나의 존재자, 상관적 실체로 통합이 된다, 이렇게 볼 수가 있습니다. 이것이 하나의 존재자 또는 실체냐, 이 논의는 여러분과 함께 토론을 많이 하면 할수록 더 재미있는 얘기가 될 것 같고요. 일단 제가 그렇게 정리를 해봤습니다.
두 번째는 서로 분리 독립 했던 4차원의 위치-시간 공간과 4차원 운동량-에너지 공간의 통합입니다. 앞서 얘기했던 위치 공간을 확대하면 4차원의 위치-시간 공간이 되고, 운동량 공간을 조금 더 확장하면 4차원의 운동량-에너지 공간이 되는데 이 두 공간이 그동안은 또 분리돼 있었거든요. 이걸 또 하나로 통합을 하는 과정이 양자 이론을 통해서 이루어지고 있다, 이것이 장회익 선생님의 독창적인 해석인 거죠. 그래서 이것들을 개념화하기 위해서 4차원의 듀얼 스페이스(dual space)를 이야기하고 계십니다.
푸리에 변환에서 이걸 엿볼 수가 있는데 공간이 있으면 그것의 맞-공간이 있는데, 이것이 마치 여기서 4차원의 위치-시간 공간이 있는데 이것의 맞-공간이 4차원의 운동량-에너지 공간이더라 하는 얘기입니다. 푸리에 변환 안에 그런 것들이 다 보여진다는 거죠.
7. 양자역학의 기본공리 : 공리 1~3
발표자 : 고전역학에서는 위치 공간과 운동량 공간을 별도로 설정을 하고 그 각각의 값들을 다 가지고 와서 세상의 상태를 정할 수밖에 없었는데 양자역학에서는 그럴 필요가 없다, 이런 얘기가 됩니다. 이러한 존재론을 바탕으로 기본 공리를 설정을 하십니다.
4개를 제시를 하시죠. 공리 1은, 공간 변수를 편의상 간단하게 1차원으로 한정해서 보면, 대상 존재물의 상태는 시공간의 함수 $\Psi (x,t)$로 표현이 되며 존재물의 위치 x의 기대치는 이렇게 주어진다고 표시를 합니다.
공리 2는 $\Psi (x,t)$의 푸리에 변환으로 $\Phi (k, \omega)$를 추출해낼 수 있습니다. 이 $(k, \omega)$라는 맞-공간이 바로 이 대상 존재물의 운동량-에너지 공간이 된다는 겁니다. 그래서 이 존재물의 운동량 k와 에너지 $\omega$의 기대치는 그 운동량 공간에서 이 기대치로 설정이 된다는 거죠.
그러니까 앞서 x의 기대치는 위치-시간 공간 $\Psi (x,t)$가 있는 공간에서 x에 대한 적분으로 이루어지는 거고요. k나 $\omega$와 같은 값들은 이 $\Psi (x,t)$ 공간에서 이루어지는 것이 아니고 운동량-에너지 공간 그러니까 $\Phi (k, \omega)$라는 공간 안에서 기대치가 만들어지는 거죠. 거기서 설정이 될 거니까, 그 공간 안에서 값들로 나와야 될 테니까요.
그런 것들을 이제 명확히 하고 계시다는 거죠.
그 다음에 세 번째, 공리 3은 "고전역학의 물리량들 사이의 관계식들은 위에서 제시한 기대치들 사이의 관계식들에 해당한다"입니다. 그러니까 양자역학에서는 x나 t 또는 k나 $\omega$로 쓰지만 이것의 고전역학의 대응물을 찾으라 그러면 x의 기대치, k의 기대치, $\omega$의 기대치가 된다는 거죠.
$x, t, k, \omega$개념을 양자역학과 다르게 쓰는 게 아니라 이 개념을 그대로 쓰되 기대치로서 설정하면 충분하다는 겁니다. 그러니까 고전역학과의 연결선상에 있습니다. 그리고 공리 체계가 굉장히 간결한 구조를 갖고 있는 거죠.
8. 양자역학의 기본공리 : 공리 4
발표자 : 네 번째 공리는 측정과 관련된 것입니다. 어떤 대상 존재물이 $\Psi = \sum c_i \phi_i$라는 상태에 놓여 있다고 할 때 지점 j에 해당하는 위치에 사건 유발 능력을 지닌 외부 물체를 설치해서 대상과 접촉시킬 경우에 대상은 다음과 같은 두 가지 방식 중에 하나를 하게 된다는 겁니다. 여기서 $\Psi$나 $\phi$는 위치와 연동시킨 위치 공간에서의 상태 함수로 일단 봅니다.
첫 번째는 여기 j라는 곳에 변별체가 있으니까 j에서 $|c_j|^2$이라는 건 뭐냐 하면 j라는 위치에서의 어떤 상태가 $\phi_j$가 될 거고요. 그 상태가 가능성으로 놓일 확률이 $|c_j|^2$이 될 겁니다. 그런 것들의 선형적인 결합이 전체 상태, $\Psi$가 되는 것이 모양새죠 . 그러니까 대상 자신은 변별체에게는 $|c_j|^2$의 확률로 사건의 흔적을 남기고 대상 자신은 $\phi_j$라는 상태로 급격하게 전환을 하는 거죠. 이것이 우리가 흔히 얘기하는 사건입니다.
그런 행동을 취하거나 아니면 두 번째는 빈사건의 경우입니다. 흔적을 남기지 않는 경우가 있죠. j라는 지점에서 변별체를 만났음에도 사건을 일으키지 않았으면 거기에 없다는 것이 확인이 된 것입니다. 이럴 경우에는 $|c_j|^2$이 거기서 흔적을 남길 확률이었으니까 흔적을 안 남길 확률이 $1-|c_j|^2$이 됩니다.
그러니까 $|c_j|^2$일 때의 그 대상은 $\phi_j$로 갔었는데 이제는 거기서 흔적을 남기지 않았으니까 그것만 뺀 나머지 상태로 대상의 상태의 전환이 일어난다는 것입니다. 이것은 그런 방식의 공리를 말씀하신 것인데, 여기에 조금 설명이 더 필요해서 제가 몇 가지를 더 첨언을 했습니다.
일반적으로 상태가 변하는 방법에는 두 가지가 있습니다. [형태 1]과 [형태 2]로 나누었는데요. 하나는 외부와 상호작용이 없이 순전히 대상 자체 내의 동력에 의해서 움직이는 어떤 상태 변화가 있다는 거죠. 그 경우에는 순전히 슈뢰딩거 방정식으로만 구해 보면 슈뢰딩거 방정식에 따라서 그 대상의 상태가 진행해 가는 것을 알 수 있는 거죠. 이것은 대상 그 자체에만 해당이 되는 얘기입니다. 그래서 외부에서 더 이상의 어떤 간섭이나 문제 제기에 상호작용을 일으키지 않는 경우에 해당이 되겠죠.
그런데 우리가 변별체를 갖다 대면 상호작용이 있게 되는 거고요. 어떤 형태든지 간에 상관관계를 포함해서요. 그럴 경우 사건이 일어나는 거죠. 그래서 외부와의 접촉을 통해서 사건이 발생하고 그것이 교환되는 과정에서 그 영향에 의해서 상태가 전환하는 과정이 있겠죠.
공리 4에서 얘기했던 (1)과 (2)가 그 대상이 변별체와 만나서 사건을 일으켰을 때 대상에게는 어떤 상태의 변화가 생기는가를 설명하고 있는 겁니다. 변별체에게는 사건을 이야기했고요. 대상 자체에는 분명히 그로 인해서 자기 상태에 변화가 생겼을 텐데 아까 1번 또는 2번과 같은 방식으로 이루어진다는 겁니다. 그런데 이 상태 변화, [형태 2]에 관한 것이 공리 4에 관한 얘기입니다.
그런데 장 선생님이 이 사건 발생이 순간적인 것이고, 따라서 상태의 어떤 변화도 순간적으로 한꺼번에 전 영역에 걸쳐서 이루어진다고 하셨는데, 상태가 전체 공간에 퍼져 있는 함수이기 때문에 그렇습니다. 그래서 공리 4의 (1)의 경우에는 계수 $c_j$가 순간적으로 1로 가죠. 그러니까 사건이 확률 1로 그냥 일어나버린 경우죠. 그런 경우 나머지 모든 지점들의 계수 값들은 다 0으로 가버리는 거죠. 그리고 대상의 상태는 그야말로 온전히 $\phi_j$라는 상태 하나로만 남게 되는 거고요.
공리 4의 (2)의 경우는 $c_j$가 순간적으로 0으로 되겠죠. 왜냐하면 여기서는 $c_j$가 순간적으로 0으로 바뀌고 흔적을 남기지 않는 확률이 1이니까, 나머지 부분이 그것들의 확률의 합이 1이 되는 방식으로 각각의 계수의 확률들이 순간적으로 재조정, 재분배가 되는 상황입니다.
이게 뭐냐 하면 결국은 상태 함수가 이런 면에서 분명히 물리적 실재로서의 어떤 양상을 보이고 있다는 거죠. 이게 변별체와의 접촉 과정에서 상태 변환 과정 등등을 보면, 이런 모습이 실제로 일어나고 있는 물리적 실재 양상이지만 상태 자체가 변별체와의 접촉 과정에서 어떤 경험을 했는지 사건을 일으켰는지에 따라서 상태의 변화가 자꾸 생기잖아요. 그런 면에서는 이게 고정 불변으로 있는 실체는 아니다, 이렇게 말씀을 하시는 거죠.
그리고 또 물질적 실체는 아니다, 그러니까 물리적인 실재로서는 볼 수 있지만 변화하지 않는 어떤 입자와 같은 고정된 그런 물질적 실체로 보는 것은 아니다, 그렇게 해서 상태 함수의 의미를 좀 더 더 명확히 하고 계십니다.
9. 양자역학의 기본공리 : 기존 접근
발표자 : 기존 교과서에서 얘기하는 양자역학의 다섯 가지 공리들이 있습니다. 이게 또 교과서마다 약간씩 다른데요. 그래도 많이 쓰이는 교과서의 공리라고 생각돼서 가져왔는데, 이것과 한번 비교를 해보시면 좋을 것 같습니다.
첫 번째 공리는 "물리계의 상태는 힐버트 공간의 벡터에 대응된다." 설명은 제가 따로 안 하겠습니다. 어렵게 설명하는 방식이기도 하고, 도대체 무슨 얘기를 하려고 하는지 쉽게 접근이 되지 않습니다.
공리 2를 보겠습니다. "물리랑은 힐버트 공간에서 작용하는 자기 수반 연산자에 대응된다." 네, 점점 머리가 아프시죠.
공리 3을 보겠습니다. "물리계의 상태는 슈뢰딩거 방정식에 의거하여 시간에 따라 변화한다." 이것은 우리가 알고 있는 것이죠.
공리 4는 "물리량을 측정할 경우 나올 수 있는 값은 대응되는 연산자의 고유 값들 중 하나이고, 특정한 고유값이 나올 확률은 보른 규칙에 의해 결정된다."
아까 제가 설명을 드릴 때 여기 $\Psi$라는 것이 있고 여기 시그마 안에 $\Phi$라는 게 들어 있잖아요. 이게 고유 상태를 얘기하는 겁니다. 여기서 다른 식으로 표현하게 되면 그게 고유 상태입니다.
여기서 보른의 규칙은 이런 겁니다. 물리계가 x라는 물리량과 관련해서 상태 $\Psi = \sum c_i \phi_i$에 있을 때, 물리랑 x의 측정값이 $x_i$일 확률은 $|c_i|^2$라는 겁니다. 이때 $x_i$가 아까 얘기한 측정 고유 값이 되고요. 그 $x_i$에 대응되는 게 $phi_i$거든요. 이것은 고유 상태가 되는 겁니다.
그리고 이 $|c_i|^2$은 확률이 되는 거고요. 그러니까 물리량 x가 있고, 대상의 상태 $\Psi$가 있고, 그 대상의 상태를 구성하는 것이 그 대상의 상태에 다양한 가능한 스펙트럼이 있을 수 있기 때문에 세분화된 스펙트럼들을 $\phi_i$로 세분화하고 그 각각의 가능성의 확률로 $c_i$라는 계수를 집어넣은 겁니다. 그래서 $c_i$의 절대값을 제곱하면 확률 개념이 되는 겁니다.
그런데 이것은 상태이기 때문에 물리량을 측정하면 측정 값이 나와야 되잖아요. 그래서 값이라는 것은 또 $x_i$가 따로 있는 겁니다. 이 세 개념이 어우러지는 게 보른의 해석 규칙에 들어있는데, 벌써 제가 설명을 드렸습니다만 조금 어려우시죠. 구도가 잘 짜여지지 않죠.
공리 5번은 만약에 물리량을 측정을 한 이후는 어떻게 되느냐하는 것입니다. "계의 상태는 측정된 고유 값에 대응되는 고유 벡터로 변한다." 아까 $x_i$ 값을 가졌으면 그 고유 백터가 $\phi_i$라고 말씀드렸잖아요. 그럼 대상의 상태는 $\phi_i$로 전환이 된다는 겁니다. 이 설명은 앞서 장회익 선생님의 설명에서 본다면 여기 공리 4의 (1)번에 해당되는 거예요. $|c_j|^2$으로 물체 위에 사건의 흔적을 남기면서 대상 자기 자신은 $\phi_j$의 상태로 전환된다는 거죠.
이 공리 5는 흔히 투사 가설이라고 얘기합니다. 이런 투사 가설이 왜 도입이 되어야 하는지 또 그것은 적절한지 이런 논란들이 양자 이론을 놓고 또 여러 논쟁들이 있었습니다. 그리고 투사 가설을 또 여러 가지 유형으로 세분화해서 투사 가설 1, 투사 가설 2 이렇게 해석이 가능하다라는 또 논쟁도 있고요.
그러니까 기존에 이 다섯 가지 공리에서 나왔던 내용들이 학생들에게는 교과서에서 가르치는 중요한 내용이지만, 장회익 선생님이 쓰셨던 공리 1, 2, 3, 4 와 비교해 봤을 때 여러분들이 어떤 느낌을 가지셨으면 좋을 것 같은데, 이게 내용이 어렵다보니까 쉽지 않을 것 같기는 합니다. 아무튼 차이가 있다는 걸 이제 아실 수 있을 겁니다.
10. 양자역학의 온전한 이해 : 불확정성 관계 유도
발표자 : 표현은 여러 가지가 있을 수 있겠습니다만, 이런 기본 공리로부터 양자역학을 조금 더 간결하고 온전하게 이해할 수 있습니다. 그러니까 장회익 선생님의 작업은 오랜 시간에 걸쳐 나온 양자역학에 대한 수많은 해석들을 어떻게 보면 재구성을 한 셈입니다. 그래서 더 자기 완결성을 갖고 조금 더 간결하게 그러면서 정합성을 더 높일 수 있도록 재구성을 한 측면이 있습니다. 가장 최근까지의 논의를 바탕으로 하고 있고, 그런 의미에서 제가 '온전한 이해'라는 표현을 썼습니다.
불확정성 관계는 실재하는 세계에서 그 값을 보기 때문에 기대값을 바탕으로 해야 되겠죠. 실제로 불확정성 관계를 보시면, $\Delta x$와 $\Delta k$가 x의 불확정성, k의 불확정성을 의미하는 거고요. 이 $\Delta x$의 계산은 제곱을 해서 계산을 하게 돼 있습니다. $\Delta k$의 제곱도 이렇게 통계적인 절차를 통해서 기대값을 계산하는 방식으로 합니다.
그래서 $\Delta x$와 $\Delta k$의 기대값을 계산을 해서 그것들의 관계를 보니까 곱하기가 적어도 0이 아니라 $\frac{1}{2}$이상, $\frac{1}{2} \hbar$ 이상과 같이 특정 값 이상의 크기를 가지고 있더라, 에너지와 시간도 그런 관계를 갖고 있더라하는 것을 볼 수가 있었던 거죠.
결국은 기대값을 계산을 하면서 복잡한 절차가 있습니다만 여기서 들어갔던 논의가 뭐냐 하면, 위치 공간에서의 어떤 표상이 있는데 여기에 k도 운동량이니까 이것도 계산해야 되고 위치도 계산해야 되기 때문에 아까 위치-시간 공간 하나하고 또 다른 운동량-에너지 공간이 서로 연동이 될 수밖에 없습니다. 이 각각의 기대값을 계산을 하려면 그렇습니다.
그런 관계 안에서 이 식이 나왔다는 거죠. 그래서 이것은 이미 정해진 특정 공간에서의 두 값의 불확정성을 비교하는 게 아니라 공간에서의 $\Delta x$값과 그 맞-공간에서의 $\Delta k$ 값들의 관계를 보니까 이렇게 보여진 거다, 그래서 이 불확정성 관계는 위치 공간과 운동량 공간이 앞서 존재론에서 얘기했지만 상관관계를 가지고 있는 것을 반영하고 있는 것이다, 이것을 우주의 본질로 말씀을 하고 계시는 거죠.
11. 양자역학의 온전한 이해 : 슈뢰딩거 방정식 유도
발표자 : 또 다른 것은 이것으로부터 슈뢰딩거 방정식을 온전하게 유도할 수가 있습니다. 그래서 상대성 이론에 있는 에너지 관련 공식하고 공리 3을 바탕으로 해서 몇 가지 간단한 조건으로부터 정리를 해서 구하면 우리가 가지고 있는 슈뢰딩거 방정식도 기본적으로 간결하게 유도가 가능하다는 것입니다. 물론 여기에 근사적인 접근이 있습니다.
그래서 제가 오늘 드릴 말씀은 여기까지입니다. 네 이상 마치겠습니다.
[2] 질문과 토론
1. 인식함수가 꼭 필요한가 / $m_0$가 0이 아닌 경우 유도과정, 최선인가?
발표자 : 고전역학의 존재론의 논의에서 고전역학적 상태를 $\Psi_C$라는 개념으로 다시 추상화해서 전개를 하시면서 제가 이해하기에는 그것이 확률 개념까지 연계를 시키기 위한 하나의 중간 절차로 인식 함수에 관한 개념을 이제 도입을 하신 것 같습니다.
물론 양자역학의 존재론으로 넘어가게 되면 인식 함수가 아니라 상태 함수인 거죠. 그런데 이 전개 과정에서 뭔가 그 중간의 인식 함수라는 것이 그 다음에 상태 함수로 이야기로 넘어가는 데 필요한 부분일까? 존재론적인 논의에서 오히려 인식론적인 영역과 구분이 되지 않는 어떤 논란이 있을 수 있지 않을까? 그것이 제가 좀 드려보고 싶은 질문입니다.
두 번째는 책에서 나온 것처럼 슈뢰딩거 방정식을 유도하실 때 $m_0$가 0인 경우는 아주 간결하게 논리적으로 잘 유도가 됩니다만 $m_0$가 0이 아닌 경우에는 몇 가지 근사 단계를 거칩니다. 아마 비상대론적인 슈뢰딩거 방정식이기 때문에 근사를 쓰셨던 것 같은데, 그래도 지금으로서는 그것이 최선의 슈뢰딩거 방정식의 유도 과정인지 그걸 한번 여쭤보고 싶었습니다.
장회익 : 깔끔하게 잘 정리를 해줘서 이해에 많은 도움을 준 것 같아요. 우선 첫 번째, 왜 고전역학에서 인식 함수라는 걸 도입을 했냐? 그것은 사실은 우리가 아는, 그러니까 그 대상의 상태 자체는 어느 위치에 틀림없이 있지만 우리는 어느 위치에 틀림없이 있는지를 측정해 보기 전에는 모른다 이거예요.
그러면 측정해보기 전에는 어떤 과정을 해야 되냐? 어디 있는지 아직 모르면 모든 데에 있을 확률이 같다고 보는 것이 내가 가질 수 있는 최선의 판단이죠. 그러다가 어디 근처에 있을 가능성이 더 크다 하면 그쪽의 확률을 높이고 나머지는 없겠다 하는 것으로 내가 또 생각을 할 수 있어요.
그러니까 탁 측정하면 날카롭게 그것이 딱 측정이 된다 하는 것보다는 어쨌든 측정 도구라든가 여러 가지 제한에 의해서 내가 알아나가는데, 알아나가는 과정은 결국 그 함수 형태에서 실제 어디에 있다하는 것에 가깝게 되도록 우리가 애써 나가는 과정이죠.
그런데 재미있는 건 뭐냐 하면 그것이 가지고 있는 함수 형태와 양자이론에서 얘기하고 있는 상태의 함수 형태는 굉장히 유사해요. 거기서 사실 똑같다고도 볼 수 있는데 단, c라는 값 자체가 복소수가 될 수 있다는, 양자역학에서는 복소수가 돼야 돼요. 그러나 고전역학에서는 복소수가 될 필요는 없죠. 그러나 c 제곱에 해당하는 그것은 완전히 똑같은 거예요.
그래서 양자역학에서 상태를 그렇게 봤을 때 처음에 보른 등 많은 사람들이 어떻게 해석했냐면 이것은 우리가 모르는 정도를 우리가 얘기하는 거다, 바로 고전역학적인 존재론을 바탕으로 했을 때 그것과 똑같은 형태가 나오는 것은 바로 내가 거기서 소개한 인식함수다 이거죠.
그래서 그 형태가 똑같은데 실질적으로 우리가 주장하고 알고 있는 것은 뭐냐 하면 양자역학에서는 그것을 우리가 모르는 정도를 얘기하는 것이 아니고, 그것이 대상이 가지고 있는 그 성질의 일부다, 그것은 객관적인 실제에 해당하는 것이지 우리가 알고 있는 주관적인 것은 아니다, 그런데도 불구하고 형식은 똑같고 심지어 그것을 확인하는 방법도 똑같아요. 거기서 어느 함수가 측정이 되면 그다음부터는 그 함수가 그것만 1이고 나머지는 다시 0이 되잖아요.
양자역학에서도 그것이 측정이 되면 그것만 남고 나머지 다 없어진다 이거예요. 또 거기에 빈사건도 마찬가지예요. 내가 거기서 측정을 해보고 손으로 잡아봤는데 손에 안 잡혔어, 그러면 내 아는 한 거기에는 분명히 없는 거예요. 그것과 똑같은 거야. 그래서 우리가 알아가는 그 과정은 양자역학에서도 바로 인식적 함수하고 똑같은 형태를 가져요.
그런데 그거하고 다른 점은, 고전적 관계에서 얘기하는 함수는 실재가 아니고 우리가 아는 정도만 얘기하고 실재는 그거하고 관계가 없죠. 근데 양자역학은 바로 실재가 그렇게 되는데 그 인식 과정은 그것과 똑같이 우리한테 준다 이거죠. 그게 재미있는 거야. 그래서 그걸 중간에 집어넣어서 비교를 하면 그러면 이거 하고 뭐가 다르고 뭐가 같다, 다시 말하면 그것은 우리가 고전역학에서도 인식하려면 그것을 통해서 인식하는데 양자역학에서도 인식하는 방법은 그것과 똑같아요.
책에는 없지만, 그 점을 얘기하기 위해서 논문에 넣은 이유가 거기 있어요. 그거 이해가 되는지 모르겠는데. 그다음에 또 한 가지 있었는데 두 번째 질문이 뭐였던가?
2. ontic / epistemic ?
김*영 : 두 번째 질문과 연관된 질문을 드리겠습니다. 두 번째 문제는 저도 홈페이지에 상세하게 질문을 올렸는데요. 제가 이제 이해한 논문의 방식을 보면 $\Psi_C$와 $\Psi_E$와 $\Psi_Q$이렇게 세 단계가 있습니다. $\Psi_C$는 0아니면 1로서 점유를 나타냅니다. $\Psi_E$는 인식함수라서 실제로 관찰자든 변별체든 사람들의 대상에 대한 지식을 나타냅니다. 주관적인 부분이죠. 그런데 이제 $\Psi_Q$가 되면 $\Psi_C$, $\Psi_E$와 비슷한 굉장히 모양새가 비슷하지만 이것은 논문에서는 'ontic’이다, 이렇게 얘기를 했습니다.
실제로 만일 이 논문을 비판적으로 보는 사람이 있다면 지금 이렇게 말을 하는 것은 소위 양자 베이즈주의와 사실상 똑같다라고 할 것입니다. 양자 베이즈주의는 큐비즘(QBism; Quantum Bayesianism)이라고 부르는데요. 여기서는 확률을 대상이 가지고 있는 것이 아니라 관찰자의 지식으로 완전히 바꿔치기를 합니다. 그렇게 되면 이제 기존의 양자역학의 모든 문제가 해결된다고 얘기를 합니다.
결국 핵심은 뭐냐 하면 선언적으로 $a_j$는 epistemic하고(인식적이고) $c_j$는 ontic하다(존재적이다)라고 말을 하는 것 말고, 실제로 $a_j$와 $c_j$가 어떻게 다른지를 판별할 수 있는 어떤 기준이 있어야 되는데 사실 논문에는 그 기준이 전혀 제시돼 있지 않습니다.
똑같은 맥락에서 이중원 선생님은 이것을 그냥 투사 가설이 어렵다고 얘기하셨지만 사실은 장회익 선생님의 공리 4는 정확히 빈사건을 뺀다면 1932년 폰 노이만이 썼던 바로 그 변화 1, 변화 2 중에서 변화 1에 해당되는 것을 깔끔하게 정리해 놓은 부분입니다.
그런데 선생님께서 한국어판에서는 '전환'이라고 쓰셨는데 영어판에서는 이걸 'transit'이라고 써놓으셨거든요. 그래서 이 트렌짓이 물리적 과정이냐 아니면 의식적 과정이냐 이걸 가지고 논란이 있을 겁니다. 저는 그래서 이게 의식적 과정이라면 비판자들은 $\Psi_C^E$와 $\Psi_C^Q$는 근본적으로 같다라고 비판할 겁니다. 그러니까 이와 같은 트렌짓이 물리적 과정이어야 한다는 어떤 것이 있을까요? 논문에서는 발견하지 못했습니다.
장회익 : 물리적 과정이죠. 그런데 나는 그것이 특별한 어떤 경우에 나타나는 것이 아니고 그 모든 것에, 우리가 많은 경우에 빈사건을 겪게 돼요. 빈사건을 겪게 되면 그 부분 하나가 하나씩 하나씩 이렇게 빠지죠. 그러니까 계속 트렌짓이 일어나는 거야. 그러니까 일반적으로 양자역학 하는 물리학자들의 관념은 이게 상태로 쫙 나가다가 어느 때 가서 확 깨진다, 그래서 collapse(붕괴)라고도 하고 그러는데 그거는 너무 황당한 거예요. 그런 게 아니고 계속해서 조금씩 조금씩 바뀌어요.
그래서 그것이 어느 특정된 위치가 거기서 확인되는 경우는 특별한 경우고, 나머지는 확률이 적은 데가 전부 다 0으로 자꾸 수렴을 해요. 그래서 계속 바뀌어 나가죠. 이런 것이 특히 공리 4의 둘째 항인데, 내가 보기에는 아무도 언급하지 않았어요. 이게 굉장히 중요한 건데, 저걸 다 빠뜨리니까 굉장히 점프한 것으로 보게 되는데, 저것은 거의 연속적으로 일어나고 있는 거예요.
그렇지만 결국 그것은 대상 자체가 그렇게 됐다하는 것이 기본이고, 동시에 그렇게 되는 걸 우리가 아는 방법도 되는 거죠. 그러니까 바로 그 지점이 'ontic'한 것과 'epistemic'한 것이 오히려 겹쳐져 가지고 ... 우리도 알아야 되니까 우리가 그렇게 알게 됨과 동시에 대상은 ontic하게 그렇게 변한다 이런 입장이죠.
김*영 : 조금만 더 추가 질문하고 싶은데요. 'decoherent histories'를 하는 사람들이 있습니다. 디코히어런스를 좀 더 확장해서 역사적으로 보는데요. 이걸 하는 사람들은 지금 장회익 선생님 말씀과 거의 똑같은 얘기로 끊임없이 이것이 주변에 먼지든 무엇인가를 만난다는 식으로 얘기를 하고 있습니다.
선생님 대담(유튜브 '녹색아카데미')을 보면 선생님께서 이제 조금 더 쉽게 설명하시기 위해서 그렇게 하셨겠지만 사실 대담 내용만 보면 그냥 디코히어런트 히스토리와 거의 똑같습니다.
장회익 : 그 사람들의 주장이 지금 내 얘기에 굉장히 많이 반영이 돼 있는 거야.
김*영 : 맞습니다. 그걸 이제 선생님께서 조금 더 명료하게 ...
장회익 : 그 사람들이 거기다가 무슨 항을 하나 더 집어넣고 무슨 과정을 집어넣는데 그럴 필요가 없어요. 바로 그것만 가지고 이미 그 안에 다 그것이 들어온다, 이런 얘기죠.
김*영 : 대신에 한 가지만 더 추가를 하면 선생님께서 공리 4에서 또는 영어 논문에서 'action of measurement'라고 부르신 그 부분에서 트렌짓이 물리적 과정이다라는 문장이 없거든요.
장회익 : 온틱이라고 했고 트랜짓이라고 했으니까 그건 뭐 그 안에 이미 함축이 된 거지.
김*영 : 그러면 이 트렌짓은 슈뢰딩거 방정식과는 다르다라는 것이 이제 논문에는 없지만 문맥상으로 분명히 있습니다.
장회익 : 그런데 내가 사실은 강조하고 싶은 건, 폰 노이만의 두 프로세스라는 것은 굉장히 오해의 여지가 있어요. 실제로 $\Psi$가 두 가지로 변하는 것이 아니고 지금 내가 얘기하고 있는 공리 4에 해당하는 트렌짓은 $\Psi$의 정의 속에 이미 들어가 있는 거야. 그 $\Psi$라고 하는 것은, 오퍼레이셔널 데피니션(operational definition)이라고 그러죠, 이렇게 되는 것이 $\Psi$다, 그런데 그 $\Psi$는 슈뢰딩거 방정식에 따라서 바뀐다, 끝이에요. 두 가지 프로세스가 필요 없어요.
그래서 그걸 다 1, 2라고 둘로 병렬로 놓기 때문에 그래서 문제인데, 사실은 그 $\Psi$가 정의될 때 이미 정의 속에 그 의미를 담고 있다는 거죠. 내가 얘기하는 건 그래요.
발표자 : 제가 한 말씀만 더 답변드리면 공리 5의 투사 가설이... 장회익 선생님 공리 4가 전형적인 투사 가설이라고 얘기하는데 그것은 제가 볼 때는 아닌 것 같습니다. 공리 5의 투사 가설은 측정이 들어가거든요. 그러니까 실제로 이제 측정 문제와 투사 가설 사이의 관련성 이런 부분들이 계속 논란이 되고 있는 상황인데 지금 공리 4는 측정과는 상관이 없고 상태 함수 그 자체가 가지고 있는 속성을 얘기하는 거죠.
김*영 : 그렇지 않습니다. 공리 4는 측정 얘기입니다. 그러니까 공리4가 변별체와 만나는 게 측정입니다.
장회익 : 내가 좀 정리를 할께요. 그 두 가지 의미가 다 있는데 의도적인 측정일 필요가 없어요. 의도적인 측정이 아니고 그것에 해당하는 변별체에 해당하는 것이 놓이기만 하면 우리가 직접 하든 안 하든 관계없이 그렇게 가는 거야. 우리가 아는 거하고 무관하게 그렇게 되는 거예요. 우리가 알기 위해서도 그걸 활용하지 않을 수가 없는 거죠. 우리가 알려면 꼭 변별체를 통해야 돼요. 그런 의미에서 측정은 반드시 변별체를 통하는 거지만 측정이 아니고 의도하지 않고 먼저 변별체와 만났다고 해도 그렇게 된다, 이거죠. 그런 의미에서 디코히어런스(decoherence) 이론에 해당하는 부분을 상당히 가지고 있는 거예요.
그러니까 우리가 측정이라고 해서 어떤 의도된 또는 인간이 관여된 이런 것 하고는 완전히 결별하자 이거지. 그것에 해당하는 가장 바탕이 된 대상과 직접 만나서 사건 야기만 시키는 거기까지만 가지고 우리는 논의하자는 거예요. 나머지는 그걸 우리가 어떻게 보든 안 보든 누가 보든 안 보든 이 이론과 전혀 무관한 거예요. 그런데 지금 양자역학 해석에 많은 사람들이 그걸 가지고 계속 싸우고 있잖아요. 심지어는 우리의 의식에 가서 작용한다 이런 얘기까지 하고 있는데 그게 다 필요 없다는 얘기지.
3. 결풀림과 공리 4 / 최초의 변별체?
박*국 : 디코히어런스와 공리 4에서 말하는 것과는 조금 다른 것 같아서 여쭤보겠는데요. 제가 이해하기로는 디코히어런스는 그냥 결맞음이 어긋나서 간섭이 사라지는 거잖아요. 예를 들면 이중 슬릿에서 결이 풀린 상태, 결이 어긋난 상태에서 만나게 된다면 중첩은 되지만 간섭이 안 되는 것뿐인 거잖아요. 그런데 제가 이해하기로 지금 공리 4 같은 경우에는 외부와의 상호작용에 의해서 단순히 결 풀려서 간섭이 사라진 것뿐만 아니고 완전히 한 상태로 전환, 이전 표현대로면 붕괴됐다는 것과 같으니까 그 두 가지가 저는 굉장히 큰 차이가 있다고 생각을 합니다.
장회익 : 아니 근본적으로 차이는 없어요. 지금 여기서 여러 가닥이 나가다가 어느 한 군데에서 변별체를 만나는 것은 그것 때문에 그 가닥이 없어지거나 그 가닥으로 통일되거나 둘 중에 하나로 가는 거죠. 기존의 여러 성분들 사이의 관계의 변화가 오는 거지. 이런 것이 소위 결 풀린다 하는 말이 되는 거예요.
박*국 : 제가 양자역학을 이해하기가 어려운 여러 원인 중에 하나가 측정 문제인데요. 교수님의 이런 공리에 의해서... 논문에도 보면 측정 문제가 다 풀리거나 또는 사라진다고 논문 초록(abstract)에 나와 있고, 뒤에 내용을 보면 굳이 디코히어런스 개념이 없어도 많은 것들 해결이 된다, 왜 거시적 물체처럼 행동을 하는지에 대해서 그렇게 언급하셨는데요. 저는 사실 의문이 많이 안 풀린 상태거든요.
예를 들면 다음과 같은 질문을 하고 싶습니다. 빅뱅 이후에 우주가 창조된 상태에서 최초의 변별체가 나온 것은 과연 언제였는가? 그리고 최초의 변별체가 나오기 전까지 그 우주는 중첩된 상태였는가? 물론 간섭이 있을 수 있고요. 그리고 만약에 최초의 변별체라고 한다면 그것 자체는 다른 변별체에 의해서 중첩이 풀릴 또는 하나로 붕괴될 그런 이유는 없는가? 최초의 변별체는 뭐라고 보시는지 궁금합니다.
장회익 : 그게 재미난 문제지. 지금 내가 이런 가설을 제시했기 때문에 앞으로 그걸 우리가 논의를 해야 돼요. 그래서 어떻게 될 때에 변별체가 되고 변별체가 되는 현실적인 조건은 뭔지에 대한 구체적인 논의가 필요하죠. 결국은 여러 가지 있다가 이렇게 모여서 모여서 어느 정도 이상 크기가 돼가지고 다른 것을 흡수하고 변화시켜주는 것이 언제 어떻게 나타나느냐 하는 문제는 굉장히 흥미로운 문제죠.
박*국 : 최초의 변별체도 역시 중첩 상태에는 있었을 텐데 그 자체의 분기...
장회익 : 중첩 상태라는 말은 나는 안 써요. 중첩이란 말을 써서 공연히 뭐가 합쳐 있다고 생각하는데 상태 함수는 여러 가닥이 이미 있는 거야. 당연히 중첩이 아니고 그건 자연스럽게 상태 함수의 존재 양식이 바로 그런 거예요. 중첩이고 아니고 하는 것은 사실상 별로 의미가 없어요. 상태가 함수로 있는 거예요.
예를 들어서 그중에 거의 다가 사라지고 두 가닥만 남았을 때를 놓고 중첩이라고 얘기하고 있는데 그건 중첩이 아니고 오히려 중첩 중에서 많은 것이 빠져서 그 두 가닥이 눈에 띄는 것 뿐이지.
박*국 : 제가 이해하기에는 여러 파동 함수가 다 같이 한 번에 선형 결합으로 있는 상태에서 하나의 항으로 이렇게 전환되는 것이, 변별체도 최초에 그게 필요하지 않는가라는 질문이거든요. 만약에 최초의 변별체가 다양한 기본 벡터의 선형 결합으로 존재한다면 과연 그게 변별체로서 역할을 할 수 있을까라는 거죠.
장회익 : 그러니까 이것이 응집 물질로 모여서 다른 것들과 만났을 때 이것을 자연스러운 하나의 상태 함수로 통합하느냐 아니면 그것에 불연속적인 변화를 주느냐 이제 그 차이인데, 그것은 별도로 우리가 살펴볼 굉장히 흥미로운 주제예요. 미리 답을 내놓고 이거다 아니다 할 것이 아니고.
사실은 언제부터 우주의 여러 물질의 상태가 어떤 형태로 있었는지, 그것이 어떻게 해서 그 응집 물질을 이루었는지, 응집 물질로 이루어지고 나서 그것이 어떻게 되는지, 그 이전에는 어땠는지 이건 전부가 다 흥미로운 문제예요.
박*국 : 그래서 아마 많은 우주론의 대가들이 다세계의 해석이라든지 이런 걸로 해서 ... 아니면 그문제를 아예 없애버리거나...
장회익 : 그것하고 관계없이, 우리가 그냥 단일한 우주에서 제일 먼저 기본 입자들이 튀어 나갔다고 할 때 이것들이 어떻게 최초로 모이고, 모이고 나면 나머지와는 그것이 어떤 관계를 맺느냐, 이런 문제인데, 그것은 내가 볼 때 굉장히 흥미로운 문제예요.
그래서 아까도 얘기했지만 우리 역시 원자 수준 또는 그 이하의 입자를 주로 대상으로 하는데 이것이 적어도 변별체가 되기 위해서는 대상에 비해서는 상당히 커서 대상으로부터 에너지를 받거나 뽑아줄 수 있는 에너지 출입이 의미 있게 가능한 그런 대상이 돼야 될 거에요. 그러면 기준이 뭐냐? 그것은 지금까지 연구된 게 없어. 이제 앞으로 그걸 연구를 해야죠.
4. 연산자?
이*일 : 기존 교과서의 공리라고 발표자가 소개한 것 대해서, 제가 배운 공리와 조금 틀려서 질문드립니다. 책에는 연산자 얘기가 나오는데, 기대치를 말씀하시면서 따로 설명 없이 이렇게 이렇게 된다고 하고 연산자를 공리에는 포함시키지 않으셨습니다. 연산자가 공리로 들어가야 되지 않을까 싶습니다.
그리고 슈뢰딩거 방정식의 유도라고 표현을 하셨는데, 장회익 선생님 책에서는 슈뢰딩거 방정식의 도출이라고 했습니다. 과연 방정식을 유도한다든가 도출한다는 것이, 저는 조금 ... 뉴턴의 운동방정식을 유도한다든가 도출한다든가 표현하지 않는 것과 마찬가지로 슈뢰딩거 방정식을 유도한다든가 도출한다든가 이렇게 얘기를 할 수 있겠는지 조금 어색한 느낌이 듭니다.
장회익 : 아까 두 번째 질문이 바로 연결이 되는 것 같은데, 결국 도출한다 유도한다는 것은 그것보다 더 일반적인 것을 우리가 인정하고 있을 때 거기서부터 나오면 그게 도출이 되는 거죠. 그러니까 우리가 무엇을 가장 일반적인 걸로 보고 있느냐 하는 거에 따라서 이렇게도 보고 저렇게도 볼 수가 있을 거예요.
그러니까 예를 들어서 뉴턴의 운동방정식도 고전역학에서 최소작용의 원리에서부터 도출이 되죠. 최소작용의 원리를 우리가 인정을 하면 라그랑지안(Lagrangian)을 쓰고, 그 다음에 작용이라는 걸 정의하고, 그리고 작용은 항상 가장 작은 쪽으로 가야 된다 하면은 거기서 나오잖아요. 그러니까 무엇을 더 기본적인 걸로 우리가 놓느냐에 의해서 되는 거예요.
나는 이 존재론적인 가설을 가장 기본으로 놓자는 거예요. 그데 존재론적인 가설에서만 나오는것은 또 역시 아니죠. 그것까지 이미 함축이 돼 있지는 않지만 그러나 그것이 나올 수밖에 없는 내용을 이미 상당히 가지고 있어요. 그게 뭐냐 하면 상대성 이론에서 나오는 4차원 운동량의 제곱에 관계식을 쓰면, 사실은 사차원 운동량을 정의만 하면 되는 공식인데 그 공식을 가져다가 살을 붙이면 슈뢰딩거 방정식이 돼요.
그래서 그걸 보여준 거지. 그렇기 때문에 그걸 도출했다고 얘기할 수가 있죠. 그리고 그걸 통해서 지금 이 내 방법에서는 바로 그렇기 때문에 질량이 0인 경우의 슈뢰딩거 방정식도 도출했죠.
근데 기존에 쓰는 슈뢰딩거 방정식을 기본으로 삼으면 질량에 0을 집어넣으면 아무것도 안 나오잖아요. 그런데 지금 이 경우에는 운동량 공간이 질량에 무관하게 4차원 공간으로 가기 때문에 그래서 거기서 보면 질량이 0인 경우에도 해당이 돼요.
그래서 바로 포톤(photon)의 양자역학적 상태, 말하자면 포톤에 해당하는 슈뢰딩거 방정식을 제일 처음에 아주 가뿐하게 내가 도출했어요. 다른 양자역학 책에는 그게 없어. 그걸 도출할 방법이 없는 거지. 그런데 이 방법을 쓰면 그것이 먼저 나와요. 그래서 빛의 양자학적인 상태는 뭐냐? 사실 그걸 인정을 하고 많이 들어가요 . 예를 들어서 이중슬릿 실험을 할 때 빛을 가지고도 실험을 하는데, 빛이 양자역학적인 슈뢰딩거 방정식을 만족한다는 얘기는 하지도 않고 그걸 가지고 그냥 설명만 하고 있어요.
그런데 이제 지금 내 책이나 또 논문(2022)에는 그것부터 먼저 가장 간단히 쉽게 도출을 했어요. 그 다음에 질량이 있는 경우에는 이제 조금 복잡해요. 그런데 질량이 있을 경우에 그 질량 자체가 가지고 있는 걸 에너지로 환산하는 양과 그것이 받고 있는 퍼텐셜 에너지의 정도 또는 운동에너지와 비교할 때에 그 격차가 굉장히 커요. 양성자 중성자는 말할 것도 없고. 전자가 질량이 비교적 작기는 하지만 전자인 경우에도 전자 질량과 전자가 운동에너지, 퍼텐셜 에너지를 갖고 있는 그 양하고는 굉장히 큰 차이가 있기 때문에 도출하는 과정에 근사가 성립한 거죠.
그래서 일반적으로 전자의 일상적인 활동 범위 내에서는 그 근사가 대단히 적절한 거예요. 그래서 그렇게 됐고. 그리고 그 속도가 대단히 크다든가 에너지가 굉장히 커져서 그 질량하고 맞먹을 정도가 될 때는 그건 해당이 안 된다, 우리가 알고 있는 슈뢰딩거 방정식에는 해당이 안 돼요. 그럼 이제 양자장이론에 나오는 방정식들을 써야 되죠.
그런데 그 질량과 나머지 양들, 속도나 운동량과의 차이가 어느 정도 크냐에 의해서, 슈뢰딩거가 도출한 그 형식은 가뿐하게 나오죠. 아까 발표자가 했던 두 번째 질문이 그것 같은데.
이*일 : 그래서 마찬가지로 발제 중에 불확정성 관계를 유도한다고 하셨는데, 보통 양자역학 교과서에서는 위치에 대한 연산자와 연산자를 정의를 합니다. 그 연산자를 써서 기대값을 도출하고 불확정성 관계를 유도했다고 하는데, 사실은 그 연산자를 그렇게 함으로써 이미 불확정성 관계가 포함돼 있다고 저는 생각을 합니다.
그러니까 이것도 마찬가지로 연산자가 이렇게 정의된다면 이미 거기에 불확정성이 포함돼 있는데, 슈뢰딩거 방정식의 해에 상태 함수에 기대 값을 이렇게 함으로써 불확정성 관계가 유도되었다고 하는 것은 조금 좀 어색해요.
장회익 : 아니 내가 지금 슈뢰딩거 방정식의 해에 쓴 게 아니고 임의의 함수가....
이*일 : 연산자가 이미 정의된 임의의 함수라고 하더라도 연산자가 ...
장회익 : 연산자에 관계없어요. 위치 공간에서의 상태 함수라고만 해요. 상태 함수가 어떻게 나왔다 그러면 그것을 운동량 공간으로 푸리에 변환 한 상태 함수가 있을 거 아니에요. 그 둘 사이의 관계에서 나오는 거예요.
이*일 : 그게 이미 연산자가 그렇게 정의됐기 때문에, 예를 들어서 운동량 연산자가 이렇게 되고 그게 어떤 면에서 공리처럼 받아들이는데, ... 책 p.218에 $k$와 $\omega$에 대응하는 연산자로 치환함으로써 이렇다 하고 되어있습니다. 그러니까 공리도 아니고 그냥 치환함으로써 이렇게 돼서 그냥 공리 앞에 ...
장회익 : 그건 공리가 필요 없어요. 기대값에 들어가는, 기대값 계산하는 데 들어가는 x와 k에 해당하는 것들이거든.
이*일 : 이미 양자역학을 아는 사람들은 이게 되는데... 잘 모르는 학생들이 연산자들이 왜 이렇게 되는지 질문을 하면 저는 잘 대답을 못 하겠습니다.
발표자 : 여기에 제가 적어 놓은 기대값이, 장 선생님이 적어 놓으신 내용입니다. 그러니까 x의 기대값을 4차원 위치 공간에서의 기대값으로 할 때 x는 그냥 변수로 들어가는 거고요. 그런데 $(k, \omega)$ 공간에서 k 자체는 그냥 변수로 들어가는 거예요. 아무 오퍼레이터 기능이 없는데, 이걸 푸리에 변환으로 결합을 시켜 놓으면, ...
이*일 : 제 얘기는 이미 상태 함수에 그것이 포함돼 있다는 겁니다. 그러니까 그 운동량을 보려면 푸리에 변환을 하면 돼요. 그러면 x도 실은 연산자예요. 그리고 운동량 공간에서 $\Phi$도 상태 함수이고, k도 여기서 그냥 변수라고 할 수가 없고 연산자예요. 연산자가 왜 이렇게 되냐 하는 것을 설명 못하면 안 된다는 거죠. 그러니까 불확정성 관계가 유도되는 게 아니라고 제가 얘기를 하는 거예요.
발표자 : 설명을 조금 더 말씀드리면, 이게 수학적으로 유도냐 아니냐 이 부분은 테크니컬한 과정인데요. 장회익 선생님이 가지고 있는 독특한 부분이 뭐냐 하면 기존에는 $(x,t)$가 있는 그 공간이라는 것과 $(k, \omega)$가 있는 공간이라는 것들을 굳이 분리할 필요가 없었어요.
연산자가 왜 그렇게 되느냐 하는 부분을 정의로서 그냥 내리는 수밖에 없는 것인지 또는 정의, 규정을 하더라도 그걸 어떻게 이해하는 것이 더 근원적인 ...
김*영 : 제가 답을 드리겠습니다. 질문에 대한 정확한 답은 연산자가 힐버트 공간에서 작용하는 허미션 연산자(Hermitian operator; Hermite operator; self-adjoint operator(자기수반연산자))가 아닙니다. 그건 양자역학 교과서에 나온 얘기이고, 장회익 선생님의 접근은 힐버트 공간도 연산자도 아무것도 도입하지 않은 채 단지 푸리에 변환이 가지는 근본적인 원리, 근본적인 정리입니다.
그런데 여기서 흥미로운 점은 하이젠베르크가 얘기를 하기에 앞서서 1925년에 위너(Nobert Wiener)가 괴팅겐대학교에서 이걸 강연을 했거든요. 수학에서는 이걸 하디 정리(Hardy's theorem)라고 부릅니다. 사실은 푸리에 변환에 관한 어떠한 정리에 불과한 것인데 이것이 하이젠베르크에 와서 불확정성 원리로 뭔가 환골탈태한 셈이 됩니다. 그러니까 장회익 선생님은 연산자 개념과 전혀 무관하게, 연산자 개념을 전혀 도입하지 않은 채 유도합니다.
고*석 : 저는 이*일 선생님의 문제의식에 공감이 됩니다. 제가 지난번 모임에 아마 공리라는 개념에 대해서 질문을 했던 것 같아요. 적어도 이 맥락에서 물리학자들이 자연스럽게 써왔고 그래서 이상하게 여겨지지 않는 공리 개념이 공유되어 있구나라는 걸 저는 느꼈습니다. 수학, 논리학에서 axiom이라고 부르는 것은, 제가 방금 사전적으로도 확인해 봤는데, 그 자체로 자명해야 한다는 것이 기본적인 개념입니다. 언급된 다섯 가지 공리는 그러한 공리처럼 보이지 않거든요.
저는 첫 번째 것을 한 번 다시 고쳐 써 봤어요. 그러니까 지금 이*일 선생님이 지적하신 p.218에 나오는 문제에서 핵심어가 저는 '상태'라고 생각합니다. 지금 이*일 선생님의 질문과 먼저 연결을 시켜보자면 공리는 그 자체로서 자명한데, 진짜 자명하냐, 자명하다는 걸 알려달라고 요청하시는 건데, 제 생각에는 그 요청이 충족될 것 같지 않아요.
저의 생각에는, 물리학자들이 넷 혹은 다섯 개의 공리라고 부르는 것으로 그물을 만드는 거예요. 그 자체로 자명한 혹은 자명해 보이는 유클리드의 공리와는 질적으로 달라 보이고요. 그래서 그물을 짜고 이 그물이 우리가 경험하고 설명하고자 하는 것을 잘 설명해낸다라는 것을 입증함으로써, 이것을 공리라고 불러 마땅하지 않느냐라고 공리의 지위를 주장하는 것으로 보이거든요.
그래서 공리 1, 2, 3, 4가 각각의 의미를 지닌다고 봐서는 안 될 것 같고요. 그것이 하나의 그물로 결합됨으로써 비로소 설명하는 힘을 가지지 않는가라고 생각됩니다.
5. 상태 개념?
고*석 : 상태라는 개념에 대해서 비판적인 질문을 드려보고 싶어요. '존재자의 상태는 시공간의 함수로 $\Psi(x,t)$로 표현된다', 이 말씀은 상태라는 것이 이미 있다라는 것을 전제하는 문장이라고 생각됩니다. 그런데 그렇게 하니까 이해가 참 어려웠어요. 저는 이것이 오히려 상태라는 개념이 여기 이미 있고, 있는 것에 대해 우리가 부르는 방식이 아니라 상태라는 개념을 이런 방식으로 상정하면 참 놀라운 일이 일어난다라는 일종의 상태라는 개념을 제한하는 혹은 어떤 간접적인 방식으로 정의하는 것이라고 읽는 것이 적절하지 않는가라고 저는 추정을 했습니다. 그래서 저는 공리 1번을 이렇게 고쳤봤습니다.
상태라는 말을 빼고 존재자의 물리량, 그것이 x든 운동의 존재자의 어떤 물리량 알파라고 부르겠습니다, 알파의 기대치와 우변이(공리 1에서) 같아지는 그러한 함수가 존재한다, 우리가 그것을 존재자의 상태라고 부르면 참 멋진 일을 할 수 있다. 저는 이 첫 번째 공리가 논리적인 관점에서는 존재 명제라고 생각이 되거든요. 제가 할 수 있었던 해석은 이러이러한 특징을 지닌 $\Psi$가 존재한다였는데, 공리 1은 읽을수록 좀 의아했습니다.
장회익 : 흥미로운 의견을 제시를 해 줬어요. 사실 공리라고 했지만, 이게 엄격한 논리학적으로 볼 때에 잘 맞는 건지 그건 잘 모르겠어요. 그냥 그저 가설이라고 해도 되고. 그리고 이 상태라고 하는 것은 양자역학에서 처음 등장하는 것이 아니에요. 이미 고전역학에서부터 우리가 많이 써온 것이고, 거기에 해당하는 것이 양자역학에서는 이렇게 된다하고 얘기되고 있는 거예요.
내 논문(2022)에서는 사실 이런 공리 체계를 이렇게 쓰지 않았거든. 그래서 존재론으로 무엇을 더 기본적인 걸로 보느냐에 의해서 그것과 연결해서 논리적으로는 이렇게 틀을 덜 짰지만, 내용적으로는 조금 더 설득력 있는 전개를 했다고 보는데, 그 논문을 좀 참고를 해주면 좋겠어요.
6. 측정, 변별체, 인식함수
김*구 : 공리 4에 관해서 우리가 그전부터 알고 있던 것도 있고 한데, 또 제가 한 가지 알고 싶은 것은 어떤 상태가 있으면 선형적인 조합 형태로 나오는데, 우리가 측정이라는 과정을 통해서 그 상태가 그 선형적인 조합 형태로 주어진 그 중에 어느 특정한 상태에서 변환을 하면서 뭔가 코스트가 생겨야 되지 않겠나 이런 생각이 듭니다. 이런 양자역학적인 상태를 확인을 할 때 어떤 코스트가 들어가게 됩니까? 저는 이런 질문이 사실 그 전에 조금 있어야 되지 않았겠나 싶은 생각이 들었습니다.
장회익 : 코스트가 뭔지 잘 모르겠는데 ... 그러니까 변별체에 사건을 야기하는 거죠. 대상이 변별체에 어떤 사건, 적어도 어떤 흔적을 야기하면 그것이 외부에 낸 코스트고, 그것에 대한 일종의 반사 효과가 상태 전환이다, 이렇게 보면 되지 않을까 싶네요.
김*구 : 원래는 여러 개의 상태의 합으로 주어진다는 것이, 특정한 측정을 했을 때는 특정한 상태로 확인이 되면서 나머지 상태는 다 없어져 버리잖아요. 확인을 하면서 뭔가 우리가 잃어버리거나 또는 얻는 게 있다거나 그런 차이는 없을까요?
장회익 : 대상이 변별체에 어떤 표식이라고 할지 흔적을 줬다는 것 그것 외에는 없는 거지. 그것 하나만으로 이미 그것에 해당하는 상태로 갔다, 이렇게 보는 거예요. 그리고 빈사건이 더 재미있어요. 그런데 분명히 변별체가 갔는데 아무 표시가 안 나왔다 그러면 그게 없어지는 거야. 그거 하나만 딱 없어지고 나머지가 보강이 되죠. 그 두 가지만 전제하는 거예요.
그러니까 아까 소개한 인식 함수와 굉장히 비슷한 거야. 그러니까 거기에 변별체를 댔는데 있으면 바로 거기에 있는 거다하는 게 우리가 아는 것이고, 그 외 나머지에는 없는 것이다하는 게 저절로 나왔죠.어디에 있을 거냐 퍼져 있던 것 중에 가능성이 퍼져 있다가 어느 하나가 확인 되니까 나머지가 다 0이 되고 그거 하나가 확인된 거고. 그 다음에 거기서 없다는 것이 확인이 됐으면 거기에는 없기 때문에 나머지에 있을 확률이 커지는 것이고, 그 이상은 우리가 말할 수 없는 거예요.
우리한테 알려주는 그 과정은 놀랍게도 똑같아. 똑같은데 단 이 상태가 우리가 아는 지식의 내용만이 아니고 그 대상이 가지고 있는 성격을 가지고 있는데, 우리한테 알려지는 방법은 바로 그것이 인식 함수가 알려주는 방법하고 똑같이 기능을 하는 거예요. 그러니까 그것이 굉장히 흥미로운 거지. 그 이상 다른 거는 없는 거야.
김*구 : 그런데 여기에 또 한 가지가 이렇게 어떤 상태로 확인이 되거나 또는 어떤 특별한 양자 상태가 어떤 특별한 양자 상태라고 우리가 알게 되거나 또는 다른 상태라는 걸 알게 되는 그런 정보가 순식간에 다 전달이 된다는 거거든요.
장회익 : 그런데 그것도 재미있는 건데, 이게 어떤 물질 덩어리라면, 물질이 퍼져 있다고 그러면 굉장히 이해하기 어려워요.
왜냐하면 딱 되는 순간에 나머지 물질이 싹 모여서 한 군데 왔다가, 또 만약에 없다 그러면 여기 있는 것이 확 하고 또 간다, 굉장히 멀리 퍼져 있을 수가 있는데 그게 왔다 갔다 하는... 그러니까 그런 의미의 이 물질적인 내용은 아니라는 거예요.
그러니까 상태가, 입자가 흩어져가지고 입자 가루들이 퍼져 있다가 모였다가 하는 그런 것은 아니에요. 성향이니까 그것은 말하자면 어떤 성격이지. 그 성격 자체가 'ontic'하다는 거지, 그 성격 자체가 이 대상이 가지고 있는 거고 그것이 존재 의미를 가진다는 것, 이게 양자역학의 특별한 거예요.
고전적인 것은 물질이 있거나 없거나 아니면 그런 걸 얘기할 수 없는 어떤 정보적인 것이거나 이 둘 밖에 없는데, 그 둘을 묘하게 결부해가지고 양쪽 기능을 하면서도 말하자면 우리가 기왕이 알고 있던 그 무엇과 일치시킬 수 없는 그런 성격을 가지고 있다는 것이죠.
그래서 새로운 거예요. 양자역학 이전에는 도저히 그런 것이 있다는 것조차도 상상할 수 없었던 건데 그걸 양자역학을 통해서 볼 때에 그것은 분명히 대상이 가지고 있는 그 무엇인데도 불구하고 그렇다고 해서 그것이 물질이 흘러다니는 것은 아니고, 성격인데 그러나 우리가 측정하면 이미 순간적으로 하나가 되고 또 아닌 게 확인되면 그거 하나만 순간적으로 빠지고 이러면서도 그것이 현실적인 어떤 내용을 가진다는 것, 그 점이지. 그것은 우리가 양자역학을 통해서 볼 때에 그런 새로운 어떤 것도 있을 수 있다 하는 걸 받아들일 수밖에 없는 상황이라고 나는 보는 거예요.
김*구 : 최근에 사람들이 양자 계산 쪽을 많이 하는데요. 거기에는 양자 얽힘이라든가 이런 것들이 있는데, 어떤 중국 사람이 했다는 실험에 의하면은 지상하고 지구 궤도상에 떨어진 두 개의 큐비트(qubit) 사이에도 그런 신호의 전달이 순식간에 이루어진다는 그런 걸 한번 읽어본 적이 있는데 그런 정보 전달도 ...
장회익 : 그런데 그것을 가지고 인포메이션 전달은 못 해요. 그건 실험적으로도 확증되고 이론적으로도 얘기되는데, 그렇게 해서 순식간에 지금 저 멀리 떨어진 데 여기서 상태가 바뀌면 순식간에 바뀌니까 그러면 거기에 사람이 있으면 순간적으로 그 사람이 알 것 아니냐, 그래서 우리가 정보를 거기다 광속 이상으로 빨리 전달할 수 있지 않느냐 하는 것은 안 돼요. 그러니까 에너지 전달 또는 신호 전달은 그걸로 안 가요. 안 되고 단지 그냥 상태가 이렇게 바뀐다 하는 것만 그냥 인정해야 되는 거예요.
7. 공리 4 / 공리 2
서*석 : 두 가지 의문이 있습니다. 공리 4의 2에서 빈 사건이 일어나면 나머지는 확률이 바뀌잖아요. 그런데 여기서는 확률이 바뀌어서 살아남은 것끼리 총합이 1이 된다라고만 했지 실제 이 $c_i$ 값이 다 바뀌는 거거든요. 총합이 1인데 어떻게 구체적으로 되는지 우리 상식으로야 골고루 나눠 갖겠지만 확률이 하나로 몰릴 수도 있잖아요.
장회익 : 각 성분들이 전부 상대적으로 값을 가지고 있어요. 그래서 그 상대적인 값들 전체를 합치면 1이 되도록 바뀌고, 그 상대적인 것은 그대로 있죠. 그런데 하나가 제로가 됐으면 그 상대적인 것이 전체적으로 그것에 비례해서 업그레이드 되는 거지. 나머지 것들은 상대적인 변화가 없어요. 변화가 없는데 하나가 빠졌으니까 전체적인 것들이 조금씩 올라가서 그 나머지 것들만 다 합쳐서 1이 되도록 된다는 거예요. 그 얘기를 조금 더 상세하게 쓰는 것이 옳기는 한데, 그건 그냥 암묵적으로 해놓은 거예요. 서로 상대적인 것이 중요한 거예요.
서*석 : 오늘도 운동량-에너지 공간, 공리 2 얘기가 나왔는데요. 실제로는 운동량-에너지 공간이 아니라 각 파동수, 각 진동수잖아요. 거기에다가 $\hbar$을 곱해야지 운동량 에너지가 되니까요. 그러면 반대로 이렇게 보면 운동량, 에너지가 아니라 운동량, 에너지와 비슷한 그러나 그것을 운동량, 에너지로 바꿀 수 있는 .... 그렇다면 이 고전역학과 뭐가 다르냐 하면은 이제 그런 걸로도 얘기할 수 있지 않나요. 왜냐하면 직접 넘어가는 게 아니지 않습니까?
장회익 : 그렇지. 그런데 그 본질이 운동량, 에너지에 해당하는 건데 단위는 물론 다르죠. 왜냐하면 운동량, 에너지를 우리가 다른 방식으로 이미 정의했기 때문에 그 정의와 이것은 안 맞아요. 그러나 운동량, 에너지가 가지고 있는 모든 성질을 똑같이 가지고 단지 그 단위만 달라요. 그러니까 $\hbar$라고 하는 그 상수 하나만 있지 나머지 똑같은 거예요. 그래서 아예 그것을 그냥 운동량-에너지라고 하는 거예요.
그리고 요즘 우리 아예 $\hbar$를 그냥 1로 놔버리는 단위계를 쓰죠. 광속 c도 그냥 1로 놔버리고. 그러니까 광속 c나 $\hbar$나 이런 것은 다 우리가 더 깊은 구조를 모르고 다른 걸로 보고 각각 단위를 정했기 때문에 그걸 맞추다 보면 그 상수가 조정을 위해서 필요했던 건데, 기본적인 본래의 구조를 파악하고 보면 그것이 두 개의 다른 것이 아니고 하나로 일정하게 관계가 된 것이다 하고 알아낸 것이 $k, \omega$이고, 기존에 알았던 것에 $\hbar$를 붙인 것이 운동량, 에너지예요.
그래서 그런 차이는 있는데, 본질적으로는 그것이 운동량, 에너지라고 보는 것이 옳다, 그런 입장이죠. 그러니까 우리가 그걸 알았더라면 아예 단위를 그렇게 정할 수가 있었을 것이고, 지금도 입자물리 하는 사람들 보면 다 $\hbar$를 1로 놓고 봐요.
서*석 : 그런데 계속해서 운동량, 에너지라는 것을 선생님께서 주고 계시니까 그렇게 지금 말씀하시는 게 아닌가 합니다. 아예 양자역학 쪽에서는 운동량, 에너지가 아니라 $k, \omega$이고 그것을 고전역학적으로 해석을 하려면 거기에 $\hbar$를 붙여야 되니까 근본적으로 고전역학의 세계와 양자역학의 세계가 좀 다르다라고도 볼 수도 있지 않을까요?
장회익 : 일반적으로 다 그렇게 얘기하죠. 그런데 나는 구조적인 틀을 중시하기 때문에 그냥 그렇게 말을 지금 하고 있는 거예요.
8. 앞의 질문들에 대한 수학자의 답변
박*훈 : 저 같은 경우는 질문보다는 주로 선생님들께서 질문해 주신 내용 중에 답변을 제가 드릴 수 있을 것 같아서 말씀을 드리는 건데요.
일단 서*석 선생님이 지적해 주신 빈사건일 때 빠져버린 벡터를 가지고 나머지 벡터들 합을 어떻게 renormalize하느냐, 그 문제는 수학과 출신의 수학적인 대답을 해 드리면 이렇습니다. 그러니까 힐버트 공간 얘기가 나오고 있는데 상태의 집합은 힐버트 공간만으로 보면 안 되고, 힐버트 공간으로 만든 complex projective space를 봐야 돼요.
그러니까 벡터 방향으로 가는 레이(ray) 하나를 전부 다 한 포인트로 묶어놓고 그걸 새로운 상태로 봐야 한단 말이에요. 그렇게 보시면 아마 어떻게 계산해야 하는지가 유일하게 딱 정해질 겁니다. 그래서 김*영 선생님께서 말씀해주신 방법대로 계산하면은 그 공식이 나올 겁니다. 제가 틀릴 수도 있으니까 바로바로 지적을 해 주시면 좋겠습니다.
그리고 이*일 선생님께서 아까 지적해 주신 이야기, 그러니까 갑자기 연산자 이야기가 왜 나오느냐? 제가 제 수학과에서 배운 표현대로만 설명을 하자면, 장회익 선생님의 양자역학 설명은 Fourier analysis를 완전히 기반에 두겠다는 얘기예요.
모든 것의 푸리에 어낼리시스로부터 시작되고, 논쟁이나 아니면 계산될 수 있다는 걸 강력하게 믿고서 거기에 맞춰서 전부 다 기존 공리나 아니면 기본적인 성질들을 편집하신 겁니다.
그래서 이 푸리에 어낼리시스나 푸리에 변환을 보시면 일단 적분을 잘 해야 하지 않습니까? 그러니까 어떤 함수를 들고 와서 그 함수를 적분할 공간 내지는 그 공간 변수들이 필요하단 말이에요. 그 공간 변수를 일단 운동량 변수든 아니면 운동량 성분이든 아니면 위치 성분이든 둘 중에 하나를 선택을 먼저 합니다.
먼저 해놓고 나서 이 운동량 성분을 가지고서, 예를 들어 위치를 가지고서 적분을 하고 싶을 때, 예를 들어 운동량이 있고 운동량이라는 걸 어떻게든 알아낼 방법이 있고, k 제곱이나 아니면 무슨 ik 같은 것들을 위치에 대해서 혹시 적분하거나 이런 게 가능하냐 하면은 사실 푸리에 어낼리시스에서는 그게 가능하도록 돼 있습니다.
그러니까 예를 들어 x라는 위치 변수를 갖고 있는 함수를 푸리에 변환하면 운동량 변수 k를 갖고 있는 k에 대한 함수로 변환이 되도록, 그다음에 k에 대한 녀석을 다시 푸리에 변환하면 위치에 대한 함수로 되돌아오고, 이런 관계가 잘 짜여지도록 ... duality라고 하죠, 저 같은 경우는 아예 그건 duality라고 수학과에서 배운 적이 있습니다.
그러니까 서로 쌍대적인 관계가 있기 때문에 포지션 쪽을 대외적(?)으로 볼 수도 있고 그 다음에 운동량, 모멘텀 쪽을 대외적(?)으로 볼 수도 있어야 한다라는 것부터 먼저 강조를 하셨는데, 중간에 갑자기 이*일 선생님 지적하신 것처럼 연산자가 확 튀어나 버려요.
왜 그렇게 됐냐하면, 미분의 푸리에 변환은 푸리에 변환을 해놓고 새 변수로 1승을 더 곱한다든지 아니면 f(x)에 x를 곱해 놓거나 혹은 ix를 곱해 놓고 푸리에 변환을 취해 놓으면 푸리에 변환을 취한 그 변수로 또 미분한다든지 그런 규칙들이 있지 않습니까. 지금 미분 연산자나 아니면 미분 연산자를 푸리에 변환에서 얻게 되는 그냥 변수의 1승, 2승 하는 그 녀석을 설명을 하시는 와중에 이건 푸리에 변환을 해놓고 나서 내지는 푸리에 변환, inverse 푸리에 변환을 취해 놓고 나서 적분 계산을 하다 보면 이거는 k 대신에 x에 대한 미분이 나온다, 이렇게 설명을 하고 싶으셨던 것 같습니다.(@.@)
이*일 : 제가 질문하고 싶은 건, 만약에 $\Psi$가 물리적인 상태 함수가 아니고 그냥 아무 함수이고, 그것을 푸리에 변환을 했어요, 그러면 불확정성 원리가 나오냐 이거예요. 물리적인 함수가 아니고.
장회익 : 나오지.
박*훈 : 예. 그게 장회익 선생님이 설명을 하시면서 굉장히 좋아하셨던 부분이에요. 그것은 푸리에 어낼리시스에서 나오는 몇 가지 좀 간결하게 증명할 수 있는 대표적인 성질 중에 하나입니다.
이*일 : 그런데 예를 들어서 물리적인 파동함수가 아니라도 그렇게 나오냐는 거예요.
김*영 : 네. 나오는 것을 증명할 수 있습니다.
이*일 : 그러니까 k이라는 것에 물리적인 의미를 두지 않고 ...
장회익 : 더 쉽게 얘기하면 이렇지. 지금 어느 x 공간의 함수가 날카로운 모양으로 돼 있어요. 그러면 그것을 푸리에 변환하면 k 공간에서는 쫙 퍼지죠. 바로 그 성격이에요. 어느 한쪽이 샤프하면 나머지는 퍼지고, 또 k 공간에서 샤프하면 위치 x 공간에서 퍼지죠. 이건 그 상태 함수가 뭐고 물리적인 것 없이 수학적인 성격이에요.
그것을 우리가 미니멈으로 정의해 놓으면 그것이 하이젠베르크가 얘기한 그런 형식으로 표현이 된다는 거지. 그러니까 그 물리적인 것과 상관없이, 바로 수학적인 성격에서 그게 이미 들어있다는 거죠.
9. 물리적 실재 & 물리적 실체
최우* : 공리 4의 두 번째와 관련해서, 책에도 그렇고 이중원 선생님 발표에도 그걸 써주셨는데요. 상태 함수가 물리적 실재의 한 양상은 맞지만 그렇다고 물질적 실체를 가진 것은 아니다, 이런 표현을 하셨잖아요. 이 물리적 실재와 물질적 실체를 구분하고 계신데 그건 어떤 의미인가요?
장회익 : 물리적 실체라고 하면 진짜 물질로 구성이 돼서 물질이 왔다 갔다 하는 거를 얘기하죠. 상태 함수가 가령 무슨 입자가 가루로 깨져서 이렇게 흩어져 있다, 그러면 그건 물리적 실체죠. 그런데 그렇게 물리적 실체일 경우에는 그것이 물리적 실체들 간에 왔다 갔다하고, 광속보다 빨리 갈 수 없다든가 등등의 조건을 만족을 시켜야 돼요.
그런데 물리적 실재는 그런 물리적인 실체가 아니고 물리적 실체가 가지고 있는 성격이에요. 그 성격을 우리가 머리 속에서 인간이 가지고 있는 그 앎의 내용이 아니라 그 대상이 가지고 있는 성격이에요. 그래서 그 대상이 가지고 있는 성격이기 때문에 그건 물리적 실재라고 봐야죠.
그리고 그것은 슈뢰딩거 방정식의 규칙에 따라서 변하고 있고. 그러니까 이 객관적인 대상이 가지고 있는 물리적인 것이긴 한데 물질은 아니다 이거예요. 그 물질로서 물체가 아니고 그러한 어떤 성향이 ... 성향이라고 해서 그것을 우리가 가지고 있는 성향이 아니라 대상 자체가 가지고 있는 성향이에요. 그래서 그것은 어떤 성격을 가지고 있느냐 하면 어느 한 군데서 발견이 되고 나머지는 순간적으로 딱 그쪽 하나로 모이고 나머지가 다 0이 된다든가 또 하나가 없다는 게 확인되면 나머지로 또 성향이 커진다든가 이런 조화를 부리는데, 그러면서도 그것은 물리적인 법칙에 따라서 움직인다는 거예요. 그런 묘한 것 때문에 그래서 물리적인 실체라고 하면 오해가 있어요.
그러나 물리적이 아니라고 할 수는 없어요. 그게 물리적이이기는 하지. 그런데 물리적이지만 우리가 알고 있는 어떤 모형에 맞는 그런 물리적인 내용하고는 다르다, 그것을 우리가 강조해야 돼요. 양자역학은 그런 묘한 새로운 어떤 것, 우리가 지금까지 몰랐던 다른 경험에서부터 우리가 얻을 수 있었던 어떤 일반적인 것과는 다른 어떤 특별한 것을 가지고 있다, 이것은 인정을 해야 된다라고 보는 거예요.
최우* : 공리 4를 보면 이제 말로만 보면 별거 아니다라는 생각이 일단 들어요. 왜냐하면 여기 왔으면 여기 있는 거 아니냐 여기 안 왔으면 여기 말고 다른 어디에 있겠지라고 해서, 우리가 아는 과정으로 하면 너무 당연한 얘기입니다. 그런데 이게 우리가 아는 과정을 넘어서서 진짜 그렇다 라고 하면 거기서부터 되게 이상한데 그거는 그냥 받아들일 수밖에 없다, 이런 말씀이세요?
장회익 : 내가 보는 건 그거예요. 왜냐하면 우리가 기왕에 알고 있던 어떤 모형으로 맞출 수는 없어. 그게 새로운 거예요. 그래서 그런 묘한 성격을 가졌다, 그래서 그냥 성향이라는 말도 그게 꼭 맞는다고 얘기할 수는 없죠. 왜냐하면 그것에 맞는 말을 우리가 가진 일이 없어. 경험한 일도 없고.
그래도 우리가 알고 있는 말 가운데 그래도 제일 가까운 걸 갖다 붙이려다보니까 그냥 성향 정도로 갖다 붙였지. 그것이 꼭 성향이 돼야 된다, 그것이 가장 적절하다는 아니에요. 상대적으로는 그게 좀 가깝기는 하겠지만은 꼭 맞는 그런 말이 없는 거예요. 말 자체가 없는 거예요. 전혀 새로운 카테고리의 어떤 존재, 그건 우리가 인정을 하고 들어가야 된다는 거지.
최우* : 그런데 거기서 제가 이렇게 궁금한 것은 예측적 앎의 일반적인 모형으로 보면 대상의 초기 상태를 알고 변화의 원리를 알면 나중 상태를 거의 자동적으로 알게끔 되어 있는데, 양자역학으로 오면 초기 상태를 어떤 관습적인 걸로 보면 뭔가 대상에 대한 어떤 시그널을 받아서 그걸 갖고 초기 상태를 확정을 해야 될 것 같은데, 지금 이 공리 4에 의하면 변별체에 어떤 흔적을 남기거나 내지는 빈 사건이 일어나도 대상은 상태가 전환됐기 때문에 이미 과거가 돼 버린, 이미 상태가 바뀌어 버리고, 그러니까 우리가 알고 싶은 대상은 없어져 버리고 ...
장회익 : 바로 거기서 출발이 되는 거예요. 새로 우리가 알고 있는 그것에서부터 변화의 원리가 적용되는 거예요. 그러니까 초기 상태를 아는 게 된 거지. 그런데 과거에 알았다고 하더라도 그걸 통해서 그 순간에 달라지면서 새 초기 상태를 알고, 그 다음에 변별체를 만나기 전까지는 그것이 어떻게 간다하는 변화의 법칙을 알고, 그 다음 변별체를 만날 때는 어떤 짓을 할 것이다 라는 것까지 알죠. 성향으로서, 그래서 확률 몇 퍼센트로 어떻게 될 것이다, 그것까지 아는 거예요.
그러니까 그것을 일단 거치면 그러면 알았던 것은 이미 무효이고, 과거에 알았던 것은 이건 소용이 없고, 새로 알려진 걸 가지고 또 그다음에 가고, 이런 식으로 연결이 되지.
최우* : 그러면 초기 상태는 우리에게 정보를 주고 상태가 전환된 거기까지를 딱 초기로 놓고 하는 건가요?
장회익 : 거기서부터 그렇지. 거기서부터 초기가 되는 거고 그 전엔 소용이 없어요. 아무리 잘 알았더라도, 그 과정에서 일단 변하니까.
최우* : 그러면 공리 4의 2에서 상태 전환도 그 공리를 가지고 어떻게 됐다라는 게 예측이 되는 거라고 할 수 있는 건가요?
장회익 : 그렇지. 그러니까 그것이 몇 갈래로 가고 있는데 그중에 하나가 변별체를 만나면, 그때 우리가 그것을 예측할 수 있는 것은 확률 얼마로 그게 사건을 일으키거나 아니면 또 확률 얼마로 아무 사건도 안 일으키거나 거기까지 예측할 수 있는 거예요. 그리고 그다음에는 그 결과를 보고 다시 초기 상태가 돼서 또 출발하는 거예요.
10. 이중 슬릿, 삼중 슬릿, 사중 슬릿?
양* : 빛이 파동이면서 동시에 입자라고 하는 것에 대한 여러 가지 말씀을 하셨고, 또 겹실틈 얘기도 하셨는데요. 그렇다면 분포나 확률로 나타낼 수 있다면 겹실틈이 아니라 세 개, 네 개의 실틈을 가지고도 어떤 입자이면서 파동인 것들의 양태들을 다 흔적을 나타낼 수 있다는 얘기가 결국에 되는 거죠?
장회익 : 그래요. 지금 아주 좋은 질문을 하셨는데, 왜 꼭 둘이냐 이거야. 셋도 돼요. 셋 중에서 하나 막으면 나머지 둘로 가기도 하고 그 다음에 안 막으면 셋이 가서 이 셋이 가서 간섭을 일으켜요. 둘을 막으면 하나밖에 없으니까 간섭이 안 되겠지. 네 개도 되죠. 얼마든지 되는 거예요.
양* : 다만 그게 그쪽 방향이 섹터가 정해진다면 거기서 그런 확률이 발생한다는 말씀으로 이해해도 되겠네요.
장회익 : 그러니까 그것이 확률 전에 재미난 것은 그것이 결합을 하는 방법이 재미있어요. 확률로 가면은 그냥 그대로 합쳐지는데, 이것은 확률 이전에 그러니까 제곱하기 전에 파동의 성질이 있어서 미니멈 맥시멈 이런 것이 왔다갔다 해요. 그래서 이것이 경로가 조금 달라지면 이것이 크게 합쳐지기도 하고 오히려 상쇄 되기도 하고, 그래서 어느 위치에서는 아무것도 안 나타나고 어느 위치에서는 확률이 커지고, 그러니까 패턴이 생기는 거죠.
그러니까 결국은 상태 함수가 만드는 것뿐이에요. 입자냐 파동이냐 관계가 없어. 상태 함수가 둘이 만나서 뭔가 간섭을 일으킬 상황이 되면 사람들은 그걸 파동적인 거라고 보는데, 상태가 그래서 거기 그렇게 가는 거예요. 한 줄 안에서 하나만 있어도 파동으로 가요. 파동으로 가는데 딴 것 하고 간섭을 안 일으키니까 그건 한 군데를 가서 입자처럼 보이는데, 그건 입자가 아니에요. 사실은 다 파동인데 상태 함수가 파동 모습을 가지고 있기 때문에 전부 파동이 하는 짓이죠.
그래서 초기에 이렇게 보면 입자로 보였다가 파동으로 보였다고 하는 그 해석은잘못된 거예요. 이건 그냥 상태 함수가 가는 그것만 그대로 계산해서, 둘이 갈 때는 간섭을 일으킬 때도 있고 그렇지 않을 때도 있고 그렇지 않을 때는 파동처럼 안 보이겠죠. 그것 뿐이야 그거 어떨 때는 파동이 되고 어떨 때는 입자가 된다, 이것은 지금까지 양자역학을 잘못 알고 하는 얘기에 우리가 이미 젖어 있기 때문이에요.
(끝)
녹취 : 황승미 (녹색아카데미)
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15회 세미나(3/31) 정리를 깜빡하는 바람에 좀 늦었습니다. 어려워서 틀린 데가 많을 것 같은데요. 읽어보시고(너무 길지만) 카톡, 게시판, SNS를 통해서 바로잡을 부분을 알려주시면 감사하겠습니다. ^^
다시 꼼꼼하게 읽어보았습니다. 읽으면 읽을수록 이 어려운 대화를 어쩌면 그렇게 잘 정리해 주셨는지 감탄이 나옵니다. 그리고 장회익 선생님의 대답을 다시 음미해 보니까 제가 ‘빈 사건’의 개념을 충분히 수용하지 않고 있었다는 생각이 듭니다.
푸리에 변환으로부터 하이젠베르크-하디 부등식을 얻는 과정을 “(**) 불확정성 '원리'를 증명/유도하기”(https://bit.ly/37BX1L2)에서 상세하게 설명해 두었습니다. 이재일 선생님 질문에 답이 될 수 있지 않을까 싶습니다. 유도과정에서 ‘힐버트 공간의 연산자’ 개념은 들어오지 않습니다. 단지 도함수의 푸리에 변환이 필요한데, 이것은 지수함수 $\exp(ikx)$를 $x$로 미분하면 $ik\exp(ikx)$ 즉 원래 함수에 $ik$를 곱한 것이 되기 때문입니다. $x$의 분산과 $k$의 분산을 곱한 것이 일정한 부등식을 충족시켜야 한다는 것을 증명한 것이라서 도함수가 필요합니다. 그리고 이재일 선생님의 지적이 매우 적절합니다. 푸리에 변환만으로 보면 $k$는 무슨 파장이나 운동량 같은 것과 아무 상관이 없습니다. 그냥 $x$라는 공간 좌표와 맞서서 별도로 있는 추상적인 또 다른 좌표에 불과한 것이 $k$입니다. 그래서 이것을 “쌍대공간(dual space)”라고 부를 수 있습니다. 물리적으로 푸리에 변환을 가하는 함수가 상태함수라면, 플랑크 상수 $\hbar$를 곱해서 운동량과 에너지 개념을 도입할 수 있습니다. 형식체계상으로는 힐버트 공간의 연산자 개념을 도입할 필요 없이 하이젠베르크 부등식을 유도할 수 있습니다.
고맙습니다. 다 읽어주실 줄 알았어요! ^^
장회익선생님께서도 읽어주시고 고쳐야될 부분을 알려주셔서 어제밤에 고쳤습니다. 자잘한(?!) 데는 그냥 두시고(너무 많아서....) 아주 엉뚱하게 이해될 수 있는 중요한 부분만 주로 지적해주셨어요.
세미나가 2시간이나 되다보니 녹취록이 워낙 길어서, 오탈자나 말이 좀 자연스럽지 않은 부분도 아직 많은데요. 읽으시다가 이건 좀 꼭 고쳤으면 좋겠다싶은 부분이 있으면 부담없이 알려주세요. 녹취하고, 올리기 전에 다시 읽고 점검하다보면 더 이상은 못 읽겠다싶은 상태(!)가 되거든요. ㅎㅎㅎ;;
2시간 세미나의 녹취록을 만들려면 족히 두세 배의 시간이 들 것 같습니다. 게다가 이렇게 테크니컬한 내용이라면 더더욱 그렇죠. 애써 주셔서 정말 고맙습니다. 이 내용은 언젠가 출판물로 만들어지면 좋을텐데 하는 생각을 하게 됩니다. 현실적으로는 어렵겠지만요.
"자잘하지만 오해할 수 있는" 부분에 대한 수정사항을 굳이 언급하자면 다음과 같습니다.
(1) "4. 고전역학의 존재론 : 새로운 접근"
크로네커 델타는 $\delta_{i j} = 1 (i=j)$ 또는 $\delta_{i j}= 0 (i\not=j)$로 정의됩니다. 그래서 $\delta x_i x_j$ 대신 $\delta _{ x_i x_j }$ (\delta _{ x_i x_j } )라고 써야 합니다. 밑줄 _을 포함시켜서 아랫첨자(무릎번호)로 만드는 것이죠. 아랫첨자가 좀 길어지면 전체를 {와 }로 묶어서 한 단위로 만듭니다. 마찬가지로 $\delta p_j p_l$도 $\delta _{ p_j p_l}$ (\delta _{ p_j p_l})로 써야 합니다.
(2) "8. 양자역학의 기본공리 : 공리 4"
장회익 선생님도 조심스럽게 기호를 쓰셨고 이중원 선생님도 그를 따라가고 있습니다만, 존재물의 상태함수는 $\Psi = \sum_i c_i \phi_i$ (\Psi = \sum_i c_i \phi_i)입니다. 녹취록에서는 $\Psi = \sum_i c_i \Phi_i$ (\Psi = \sum_i c_i \Phi_i)와 같이 대문자 $\Phi_i$를 쓰셨는데, 이것은 바로 직전에 운동량과 에너지의 함수로서의 상태함수 $\Phi (k, \omega)$와 혼동될 수 있을 듯 합니다.
$\Psi(x, t)$를 전개하면 그 기저도 $\phi(x, t)$와 같이 위치와 시간의 함수가 됩니다. 이와 달리 푸리에 변환의 맞함수에 해당하는 $\Phi$는 $\Phi (k, \omega)$와 같이 다른 변수들의 함수가 됩니다. 기저를 소문자로 쓴 것은 그런 이유가 있습니다. 그 단락의 $\Phi$는 모두 소문자 $\phi$로 바꾸는 게 좋겠습니다. "9. 양자역학의 기본공리 : 기존 접근"에 있는 것도 마찬가지입니다. 중간에 Phi_i로 적힌 것이 있는데 백슬래시(\)를 빠뜨리신 듯 합니다. 이것도 내용상 소문자 $\phi_i$ (\phi_i)입니다.
(3) 질의응답 중 "2. ontic / epistemic?"
제가 한 말 중에서 "$a_j$는 epistemic하고(인식론적이고) $c_j$는 ontic하다(존재론적이다)라고 말을 하는 것"이라는 대목은 "epistemic (인식적이고)"와 "ontic (존재적)"이라고 바꿀 필요가 있겠습니다. '인식론적'은 epistemological이고 '존재론적인'은 ontological인데 $a_j$와 $c_j$는 인식적/존재적인가의 차이일 뿐이고 인식론적/존재론적 차이는 아니기 때문입니다.
굳이 엄격하게 말하자면, 장회익 선생님의 논의 전체가 존재론적 고찰이면서 동시에 인식론적인 측면을 지닙니다. 저의 질문은 $\Psi_C \rightarrow \Psi_E \rightarrow \Psi_Q$로 가는 세 단계에 대한 것이었습니다. 실상 세 단계 모두 존재론 안에 포함됩니다.
몰라서 헤맸던 부분을 딱 짚어주셨네요!! 왠지 더 있을 것 같은데 최소한만 말씀해주신 것 같습니다. ^^
말씀해주신 내용 수정했습니다. 오탈자가 많아서 항상 죄송합니다. 급히 올리려다 보니... 양해 부탁드려요.. 눈에 띄는대로 알려주시면 바로바로 고치겠습니다.
빠르게 수정해 주셔서 고맙습니다. 아직 덜 고쳐지긴 했습니다. ^^
“ 결국 핵심은 뭐냐 하면 선언적으로 $a_j$는 epistemic하고(인식론적이고) $c_j$는 ontic하다(존재론적이다)라고 말을 하는 것 말고…”에서 “epistemic (인식적)이고 …ontic (존재적)이라고”로 수정하면 좋겠습니다.
8번 항목과 9번 항목에 나오는 $\Phi$는 모두 소문자 $\phi$가 되어야 합니다. 8번 항목에는 모두 수정된 것 같은데 9번 항목에 대문자로 남아 있는 것이 네 군데 있습니다. 자잘한 지적질을 해서 죄송합니다.
합을 나타내는 ‘시그마’는 $\Sigma c_i \phi_i$ (\Sigma c_i \phi_i) 대신 $\sum c_i \phi_i$ (\sum c_i \phi_i)처럼 쓰는 것이 관례입니다. $\LaTeX$에서 \sum이라고 쓰면 변수를 나타내는 문자들보다 조금 더 사이즈가 큰 기호가 됩니다. $\Sigma$ (\Sigma)는 입자의 종류 중 하나를 나타내는 문자로도 쓰고, 자체에너지를 표시하는 기호로도 사용됩니다. (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Self-energy) 혼동되는 경우는 별로 없지만, 아무래도 합을 나타내는 ‘시그마’는 \sum으로 써서 조금 크게 나타내는 게 의미가 더 분명해서 그런 관례가 생겼습니다.
제가 말한 것 중에서 ‘퍼미션 연산자’라는 표현이 나오는데, ‘허미션 연산자(Hermitian operator)’의 오타입니다. 더 정확하게는 ‘에르미트 연산자(Hermitian operator)’라고 해야 옳습니다. 샤를 에르미트(Charles Hermite)라는 19세기 프랑스의 수학자 이름을 딴 것이기 때문입니다. 영어권에서는 그냥 영어식으로 읽어서 ‘허미션’이라고 부릅니다. 수학적으로 더 정확한 이름은 ‘자기수반 연산자(self-adjoint operator)’입니다.
^^; 얼른 고치겠습니다. 제 노트에서 표시해서 고쳐놓고서 옮기면서 빼먹었네요.
사소한 지적질 아닙니다. 얼마든지 더 알려주세요. 모임을 하고 나서 이렇게 정리를 안 하면 다 사라져버리는 것 같더라구요. 그때그때 정리를 하고, 고치는 것도 바로 해야지 안 그러면 기약이 없어요. ^^
“6. 측정, 변별체, 인식함수”에서 ‘큐빅’이란 단어가 나오는데, 자잘하지만 ‘큐비트(qubit)’라고 해야 옳습니다. 그 대목에서 양자얽힘(quantum entanglement)을 이용하여 지상과 인공위성 사이에 큐비트를 전송하는 데 성공했다는 이야기가 나옵니다. 그 내용은 아래 논문에 있습니다.
Ren, JG., Xu, P., Yong, HL. et al. Ground-to-satellite quantum teleportation. Nature 549, 70–73 (2017). https://doi.org/10.1038/nature23675
이름은 거창하게 “양자전송(quantum teleportation)”이라고 붙여 놓았고, 1400킬로미터 이상 떨어진 인공위성에 빛알(광자)의 큐비트(qubit)를 ‘전송’하는 데 성공했지만, 실상 이것은 미국 드라마 <스타트렉>이나 영화 <플라이>에 나오는 전송과는 거리가 있습니다. 무엇보다도 고전적 비트(Cbit)를 고전적 채널로 보내야 하고 또 이쪽의 큐비트 정보를 저쪽에서 새롭게 만들어내면서 이쪽의 큐비트 정보가 사라지는 것이기 때문에 ‘전송’이라는 이름은 좀 과장된 셈입니다.
'큐빅'이 뭔가 했네요. 큐비트 들어본 것 같은데 그런 건 줄은 몰랐습니다. 고맙습니다~
'큐빅'은 인공보석인 것으로 압니다. (영어로는 cubic zircona인데 이산화지르코늄의 결정구조가 육면체라서 그런 이름이 붙은 모양입니다.)
0 또는 1로만 된 정보 또는 신호를 의미하는 '비트'(bit)도 실상 binary digit의 축약인 것처럼, '큐비트(qubit)'도 quantum bit의 축약입니다. 공식용어로는 '비트' 또는 '큐비트'와 같이 표기하지만, 발음상으로는 그냥 '큐빗'이라고 하니까 '큐빅'하고 혼동되기 쉬울 듯 합니다.
고전적 비트가 0 또는 1을 가리키는데, 이것이 존재물(입자)이 특정 위치 또는 시간에 있거나 없거나를 나타내는 '점유'에 해당한다면, 큐비트는 0와 1 사이의 연속적인 '성향'을 나타낸다고 말할 수 있습니다. 수식으로 표현하면 $|\psi\rangle = \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$ 또는 $\psi = c_0 \phi_0 + c_1 \phi_1$과 같이 상태함수 중에서 기저가 단 두 개인 것이 바로 '큐비트'입니다. 결국 이 큐비트만으로 아주 많은 것을 해 낼 수 있습니다. 특히 양자계산, 양자전송, 양자암호 등이 이를 활용한 응용입니다.
이 용어를 처음 제안한 미국의 이론물리학자 벤저민 슈마허(Benjamin Schumacher)의 박사 지도교수는 존 아치볼드 윌러(John Archibald Wheeler)입니다. 여러세계 해석을 제안한 휴 에버릿이나 영화 '인터스텔라'로도 유명해진 킵 쏜이나 리처드 파인만 등이 모두 윌러의 제자입니다. 윌러의 제자들 다수가 독창적이고 새로운 분야를 만들었던 걸 보면 윌러는 매우 훌륭한 스승이었던 것 같습니다.