전체 694
번호 | 제목 | 작성자 | 작성일 | 추천 | 조회 |
공지사항 |
<자연철학 강의 공부모임> 계획
시인처럼
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2024.09.12
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추천 0
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조회 3269
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시인처럼 | 2024.09.12 | 0 | 3269 |
공지사항 |
3기 새 자연철학 세미나 상세 계획
시인처럼
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2024.09.12
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추천 0
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조회 3315
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시인처럼 | 2024.09.12 | 0 | 3315 |
공지사항 |
[자료] 유튜브 대담영상 "자연철학이야기" 녹취록 & 카툰 링크 모음 (5)
neomay33
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2023.04.20
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추천 3
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조회 12780
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neomay33 | 2023.04.20 | 3 | 12780 |
공지사항 |
『양자역학을 어떻게 이해할까?』 정오표 (10)
시인처럼
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2022.12.22
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추천 3
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조회 15522
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시인처럼 | 2022.12.22 | 3 | 15522 |
공지사항 |
[공지] 게시판 카테고리 설정에 대해서 (4)
시인처럼
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2022.03.07
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조회 12464
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시인처럼 | 2022.03.07 | 0 | 12464 |
679 |
[자료] 우주의 역사와 운명 (1)
자연사랑
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2025.01.28
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추천 1
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조회 142
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자연사랑 | 2025.01.28 | 1 | 142 |
678 |
[자료] 우주와 물질 - 개요 (4)
자연사랑
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2025.01.27
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추천 1
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조회 153
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자연사랑 | 2025.01.27 | 1 | 153 |
677 |
[자료] 고립계, 닫힌 계, 열린 계
자연사랑
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2025.01.20
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추천 1
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조회 150
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자연사랑 | 2025.01.20 | 1 | 150 |
676 |
[자료] 열역학 영째 법칙과 온도의 정의 (2)
자연사랑
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2025.01.19
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추천 0
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조회 179
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자연사랑 | 2025.01.19 | 0 | 179 |
675 |
상호작용 없는 측정(엘리추르-바이드만)과 겹실틈 실험
자연사랑
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2024.12.25
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추천 0
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조회 163
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자연사랑 | 2024.12.25 | 0 | 163 |
674 |
[자료] 푸리에 변환과 힐버트 공간
자연사랑
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2024.12.10
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조회 217
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자연사랑 | 2024.12.10 | 0 | 217 |
673 |
양자역학이 답하고 있는 문제: 상태를 어떻게 서술할까?
자연사랑
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2024.12.09
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추천 0
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조회 193
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자연사랑 | 2024.12.09 | 0 | 193 |
672 |
양자역학이 답하려 했던 문제 (4)
자연사랑
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2024.12.04
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추천 3
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조회 282
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자연사랑 | 2024.12.04 | 3 | 282 |
671 |
[질문에 대한 의견] 시간, 공간, 시공간의 휘어짐과 중력 (5)
자연사랑
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2024.11.26
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추천 2
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조회 255
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자연사랑 | 2024.11.26 | 2 | 255 |
670 |
[질문에 대한 의견] 만유인력 vs 중력장 (3)
자연사랑
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2024.11.26
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추천 1
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조회 233
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자연사랑 | 2024.11.26 | 1 | 233 |
부채꼴 모양의 넓이가 두 삼각형의 넓이 사이에 있음을 이용하는 증명이 가장 간단할듯 합니다.
삼각함수의 도함수 구하는 것은 사실 그리 만만한 일은 아닙니다. 가장 먼저 해결해야 할 일은 x가 0을 향해 갈 때 sin x / x 의 극한을 구하는 일입니다.
표준적인 증명이 아래 링크에 있습니다.
https://proofwiki.org/wiki/Limit_of_Sine_of_X_over_X
아래 링크는 조금 더 상세합니다.
sin/x의 극한
아래 링크는 한글로 되어 있습니다.
https://bit.ly/35Yi6cs
"미적분학의 기본정리"가 왜 그토록 중요한가 이해하려면, 도형의 넓이를 구하는 문제와 접선의 기울기를 구하는 문제가 17세기까지 사실상 별개의 문제로 여겨졌다는 점을 되새겨볼 수 있습니다.
고대 그리스에서도 아르키메데스가 도형의 넓이를 구하기 위해 교묘한 방식으로 도형을 쪼개고 이를 다시 더하는 방법을 만들기도 했고, 이슬람 자연철학에서도 이 문제가 상세하게 다루어졌습니다. 이와 별개로 곡선을 직선으로 근사시키기 위해 접선, 즉 그 곡선과 한 점에서만 만나는 직선이란 개념을 만들고, 여러 경우에 접선을 찾아내는 방법도 그와 별개로 발전했습니다. 이 둘이 서로 깊이 연결되어 있다는 발상을 처음 한 것은 스코틀랜드의 수학자이자 천문학자인 제임스 그레고리(James Gregory, 1638–1675)였습니다. 뉴턴과 같은 시대 사람이었습니다. 생몰연대를 보면 36살에 세상을 떠났음을 알 수 있습니다. 에딘버러 대학 수학과 교수로 임용된 다음 해였고, 학생들과 함께 목성의 위성을 관측하다가 심근경색으로 그만 그렇게 되고 말았습니다. 그레고리식 망원경이라는 것을 처음 만들었고 Geometriae Pars Universalis (1668)란 책에서 처음으로 미적분학의 기본정리를 명확하게 다루었습니다. 지금과 같이 깔끔한 방식으로 증명을 한 것은 아니지만, 곡선을 직선으로 근사시키기 위해 접선을 찾아내는 방법과 도형의 넓이를 작게 쪼개어 더하는 식으로 구하는 방법(소위 구분구적법)이 서로 상대쪽으로 연결되어 있다는 생각을 처음 제시한 것입니다.
그레고리의 생각을 받아서 발전시킨 것이 케임브리지 대학 제1대 루카스 석좌교수였던 아이작 배로우였고, 배로우는 이 수학적 기법을 오만하고 건방지고 똑똑한 학생 아이작 뉴턴에게 전수했습니다. 뉴턴은 배로우의 기대에 걸맞게 그레고리의 주장을 독창적으로 처음 증명했습니다. 뉴턴이 배로우를 이어 제2대 루카스 석좌교수가 된 것도 놀랄 일이 아니었죠. 어쩌면 그레고리가 오래 살았더라면 지금 뉴턴이 누리는 그런 영광의 주인공이 되었을지도 모르겠습니다.
미적분학의 역사는 대단히 흥미진진하고 복잡다단해서 들여다볼수록 재미있습니다.
https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis
정말 재밌는 얘기네요. 잘 읽었습니다!
그나저나 아무래도 해주시는 얘기들을 어떻게든 좀 정리해두어야할 것 같아요. 주옥같은 과학사가 테트리스 높은 레벨에서처럼 마구 떨어지네요... ^^;
585쪽에서 극한을 구하는 단계를 잘 모르겠다고 눈사람님이 쓰셨는데, 거기에서 가장 중요한 부분은
lim_{x --> 0} sin x / x = 1
입니다. 사인함수의 그래프는 꼬불꼬불 진동하는 모양이지만, x=0 근처만 좁게 보면 y=x라는 직선과 많이 다르지 않습니다. 즉 x=0 근처에서는 사인 함수와 일차 함수가 같다고 근사할 수 있습니다. 이것이 위의 극한 계산의 핵심입니다.
그런데, 검색해보니 삼각함수 미분 증명하는 (일반적인?) 방법과, 장회익샘께서 부록에 설명해주신 방법이 조금 다른 것 같더라구요.
눈사람님이 멋진 글씨와 비교되어 제 글씨가 무척 못생겨 보이긴 하지만, 혹시나 도움이 될까 싶어 올려 놓습니다.
^^ 이상하게 손글씨가 눈에 더 잘 들어오네요.
자연사랑님이 써주신 것처럼 코.코-신.신으로 풀어서 미분하는 게 일반적인 방법인가봐요. 샘은 다르 게 하신.
그나저나 저기... 사인과 코사인 무한급수는 그... '푸리에' 정리인가요? ^^;;;;;
그런데... 손글씨가 안 예쁘면 내용이 눈에 안 들어올 것 같아요. ㅠ
맨 밑에 있는 것은 모든 함수를 다항식으로 표현할 수 있다는 테일러 정리의 내용입니다. 더 단순한 경우는 매클로린 급수라 부릅니다. <장회익의 자연철학 강의> p. 592에 있는 부록 A.12에 잘 나와 있습니다. 삼각함수의 경우는 아래 링크를 참조할 수 있습니다.
https://bit.ly/2MUDR5J
https://www.math24.net/taylor-maclaurin-series/
푸리에 정리는 임의의 함수를 다항식이 아니라 삼각함수들을 써서 나타냅니다. 푸리에 급수와 푸리에 변환은 또 다릅니다. 양자역학을 다루는 제5장에서는 푸리에 변환이 핵심이 됩니다.
앗! 푸리에가 아니라 테일러군요.. ^^;
사인 함수를 다항식으로 근사시키는 것은 매우 정밀한 편입니다. 앞의 네 항만 선택한 7차 다항식의 그래프를 사인 함수의 그래프와 비교해 보면 거의 똑같다고까지 할 수 있습니다.
(그림 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series)