4차원 시공간 이해하기 - 시간을 허수축에 놓는 뜻
4차원 시공간 이해하기 - 시간을 허수축에 놓는 뜻
박용국 (녹색아카데미)
8일 5일 자연철학세미나에서는 특수상대성이론 이야기를 하면서 시간축을 허수축으로 놓는 의미에 대해 토론하였습니다. 장회익 교수님과 박동훈 선생님이 이에 대해 설명을 해주셨지만 당시에는 모두 이해하지 못하였습니다. 시공간 좌표 개념 자체가 생소해서 더욱더 그러했던 것 같습니다. 그래서 이와 관련한 내용을 정리해 보았고, 저처럼 시공간 좌표 개념 및 민코프스키 공간에 생소한 분들에게 도움이 되고자 하는 마음에서 글을 올립니다. 편의상 경어체는 생략하겠습니다. 목차는 다음과 같습니다.
- 4차원 시공간의 의미
- 민코프스키 공간 : 시간축이 실수인 경우
- 로렌츠 변환식 유도 : 아인슈타인의 작업
- 민코프스키 공간 : 시간축을 허수로 둘 경우
- $E=mc^{2}$ 유도 (물리법칙의 4차원 변환)
본문에서 출처를 따로 명기하지 않은 그림들은 대부분 eigenchris 유튜브 채널 가운데 상대성이론을 해설한 Relativity 목록 안의 영상에서 캡처한 것들입니다.
(이 글은 9월 2일에 열린 자연철학세미나 온라인모임에서 다룬 글입니다. 애초 기사 형태로 공개를 했다가 모임 후 더 활발한 댓글 토론을 위해서 자연철학 세미나 게시판으로 옮깁니다. - 녹색아카데미 웹진 편집진)
1. 4차원 시공간의 의미
시공간이 4차원이라는 것은 무엇을 의미할까? 이전에 나는 4차원 시공간의 의미를 어느 정도 이해했다고 생각했다. 그런데 지난 8월 5일 세미나 모임에서 실제로는 그렇지 않다는 것을 알게 되었다. 『자연철학 강의』 책을 읽어 보면서 $E=mc^{2}$도 4차원 시공간의 개념으로부터 도출되었다는 점을 발견하고 매우 놀랐다.
이전에 나는 4차원 시공간의 의미를 이렇게 이해했다. 아인슈타인 이전까지는 시공간을 ‘3+1’ 차원으로 파악했으며, 기준 좌표계의 운동과 관계없이 시간은 어느 좌표계에서든 일정하게 흐른다고 생각했다. 동일한 시계라면 나의 시계와 다른 사람의 시계(또는 고속으로 이동 중인 다른 물체에 붙어 있는 시계)는 일정한 속도로 흐른다. 따라서 시공간에서 벌어진 특정 사건을 기술할 때 시간성분은 좌표계와 무관하게 동일하다.
그러나 아인슈타인에 의하면 시간의 흐름은 좌표계와 무관하게 일정하지 않고, 좌표계의 상대적 운동에 따라 시간은 서로 다르게 흐른다. 내 기준계에서 볼 때 빠르게 등속운동하고 있는 좌표계에 놓인 시계는 나의 시계보다 느리게 흐른다. 예를 들어 등속운동 좌표계의 시계가 2초를 가리키면 내 시계는 4초를 가리키며, 이렇게 등속운동 좌표계 시계의 1초간 간격은 내 좌표계 시계의 1초간 간격에 비해 늘어난다.(시간 팽창) 즉, 시간은 더 이상 공간 3차원과 독립된 ‘3+1’ 차원으로 간주할 수 없다.
4차원 시공간에 대한 이러한 이전의 이해가 틀린 것은 아니지만, 부분적 이해였다. 4차원 시공간에서 시간은 단순히 좌표계의 운동에 종속되는 변수가 아니다. 4차원 시공간의 시간은 공간 성분과 본질적으로 동일한 속성을 갖는 성분이며, 그렇기 때문에 시공간 사이의 거리는 시간성분을 포함하여 구하여야 한다. 속도 역시 기존의 방식(‘3차원 공간상 이동거리’를 ‘공간이동하는 데 걸린 시간’으로 나눈 값)으로 구할 수 없으며, 4차원 시공간상의 이동거리(두 지점간의 간격)을 ‘고유시간’으로 나누어 구해야 한다.

이 의미를 직관적으로 이해해 보자. 나는 지금 공간 상의 한 점에 가만히 정지해 있다. 나의 공간좌표를 예를 들어 $(0,0,0)$이라고 해보자. 나의 운동속도(내 좌표계 기준)는 얼마일까? 나는 내 좌표계에 대해 정지해 있기 때문에 나의 운동속도는 0이다. 그러나 새로운 4차원 시공간 상에서는 나의 운동속도는 0이 아니다. 공간축으로는 운동하고 있지 않지만, 시간축으로는 계속 운동하고 있기 때문이다. 시간과 공간을 동일하게 취급한다면, 시간축으로의 운동속도를 무시할 수 없다. 나의 4차원 시공간 좌표계 상에서 나는 시간축으로 $c$의 속도로 운동하고 있다 [1]. 나의 좌표계 상에서 공간 $(2,0,0)$에 정지해 있는 친구A 역시 나와 마찬가지로 시공간 상에서 움직이고 있다. 즉, 공간축에서는 정지해 있지만 시간축으로는 $ct$의 속도로 운동한다. 친구B는 내 좌표계에 대해 공간축 상에서 등속으로 움직이고 있다고 해보자. 이런 경우 B는 내 좌표계 입장에서 볼 때, 시간축으로만 이동하는 것이 아니라 공간축으로도 이동하고 있다. 즉, 속도의 일부가 공간축으로 분산된 셈이며, 이에 따라 시간축으로의 B의 이동속도는 줄어든다. 내 좌표계에서 볼 때 B의 시간축 이동은 나의 시간축 이동보다 느리며, B의 시계는 내 입장에서 볼 때 나의 시계보다 느리게 간다. 마치 아래 그림처럼, 강물을 건너는 뗏목이 물살에 수직으로 건너지 않고 옆으로 비스듬히 건너게 되면 수평축 이동에 의해 수직축 이동속도가 감소하는 것과 마찬가지로, 시간축으로만 이동하지 않고 공간축 이동에 의한 비스듬한 움직으로 인해 시간축 이동속도가 감소하는 것이다 [2].
그런데 여기서 의문이 생긴다. 속도는 이동거리를 해당시간으로 나눈 값이다. 즉, 시간은 분자가 아닌 분모에 해당한다. 그런데 시간축 이동속도는 어떻게 구하는가? 이 경우 분모, 분자 모두 시간이 들어간다. 근본적으로, 분모에 들어가야 할 시간이 4차원 시공간 상 벡터의 한 성분으로 자리잡게 되고 다른 공간축과 동일한 지위를 갖게 되므로 시공간 이동속도를 구하기 위해 분모에 자리잡을 새로운 시간이 필요하다. 즉, 기존의 시간은 벡터로 합류하였기 때문에 스칼라양으로서의 새로운 시간 개념이 필요하다.
뿐만 아니라 운동량의 개념도 재정의해야 한다. 운동량은 질량에 ‘속도’를 곱한 값이지만 속도를 4차원 시공간 상에서의 속도를 재정의하여 운동량을 재정의해야 한다. 이 과정에서 유명한 $E=mc^{2}$ 이라는 식이 도출된다. 즉, 기존의 물리량들을 4차원 시공간 상에서 재정의하는 작업 과정에서 여러 새로운 통찰들이 나오게 되며, 『자연철학 강의』에 의하면 중력 개념 재정의 과정에서 일반상대성이론의 논리전개와도 연결된다고 한다.
이러한 4차원 시공간 개념은 하늘에서 뚝 떨어진 것이 아니다. 당시 물리학자들이 광속 불변과 상대성 원리 사이에서 갈등하면서 나온 고뇌의 결과물일 것이다. 결론을 전제하고 이야기를 풀어가는 방식도 좋지만, 어떻게 그러한 결론에 도달하게 되었는지를 살펴보는 것도 중요할 것이다. 여기서는 먼저 4차원 시공간 개념을 전제하고 좌표 변환방식에 대한 중요 내용을 살펴본 후, 아인슈타인이 이러한 결론에 이르게 된 과정을 되짚어 본다. 이후 좌표계 변환시 허수축을 포함시키는 이점에 대해 살펴본 후 4차원 시공간 상에서 물리량을 재정의하는 과정을 살펴보기로 하겠다. (여기서 다루는 모든 좌표계는 서로 등속운동을 하는 관성좌표계로 한정한다.) (→ 글머리로)
2. 민코프스키 공간 : 시간축이 실수인 경우
이전의 ‘3+1’ 시공간에서 시간은 좌표계에 관계없이 동일하게 흐른다. 이 경우 등속운동하는 좌표계로의 좌표 변환은 다음과 같이 이루어진다.
아래 그림처럼 나의 좌표계 $K$에 대해 $x축$으로 속도 $v$로 등속운동하는 좌표계 $K^{\prime }$이 있다.
3차원 공간 상의 지점은 나의 좌표계 $K$에서는 $(x,y,z)$으로 표기되며 $K^{\prime }$ 좌표계에서는 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$로 표기된다. 시간은 나의 좌표계에서는 $t$, $K^{\prime }$ 좌표계에서는 $t^{\prime }$'으로 표기된다. 나의 좌표계에서의 $(x,y,z,t)$는 $K^{\prime }$ 좌표계에서는 어떻게 보일까? 즉, 등속운동하는 좌표계에 대해 좌표변환은 어떻게 이루어질까? 기존 시공간 개념에서 이는 위의 그림과 같이
$$x^{\prime }=x-vt$$
$$t^{\prime }=t$$
로 이루어진다. 이것이 갈릴레이 변환이다. (앞으로의 논의에서 편의상 공간이동은 $x$축상의 이동만을 고려한다. 이렇게 가정해도 나중에 간편하게 공간축을 1차원에서 3차원으로 확장시킬 수 있다.)
갈릴레이 변환을 시간축이 포함된 시공간 좌표계에 나타내보자.(위의 좌표계는 시간축이 포함되지 않은 공간 좌표계였다.)

위의 그림에서 $y$축은 시간, $x$축은 1차원 공간축이다. 이 시공간 좌표계는 나를 기준으로 한 좌표계이며 나는 $x=0$ 인 지점에 정지해 있다. 그러나 시간축으로는 이동하고 있으므로, 나를 표시하는 점은 $y$축 위로 직선을 그린다. 즉, 나의 세계선은 다음과 같은 빨간선으로 나타난다.

내 좌표계에 대해 속도 $v$로 등속운동하는 친구A의 세계선은 다음과 같이 나타날 것이다.

속도는 $v$이므로, $\Delta x/\Delta t=v$가 된다. 우리가 보는 일반적인 기울기의 역수 형태가 되지만, $x$축에 시간축을 놓지 않은 이유는 시간축이 공간축에 추가로 들어온 축이며 공간상 위아래 운동보다는 좌우 운동이 더 친숙하기 때문이다. 서로 축이 바뀌어도 상관은 없다.
위의 시공간좌표계는 나의 관점에서 본 친구A의 세계선이다. A 입장에서 보면 자신은 정지해 있고 나는 $-v$로 등속운동하고 있을 것이다. 나의 시공간좌표계 안에 A의 시공간좌표계를 표현할 수 있을까? 가능하다.

나의 시공간좌표계에서 녹색의 세계선을 그리는 친구A의 좌표계는 다음과 같이 그릴 수 있다. A의 입장에서 자신은 자신의 좌표계에 대해 정지해 있으며 그 위치는 $x=0$이다. 따라서 A가 그리는 세계선은 시간축인 $y$축이어야 하며, 내 좌표계 상에서 A좌표계의 $y$축은 A의 세계선과 동일하다. 따라서 A좌표계의 시간축은 밑의 그림처럼 기울어진다.

A좌표계의 좌표격자(단위벡터들이 만드는 도형)는 내 좌표계와 달리 평행사변형이다.(내 좌표계는 정사각형) 시간축이 기울어지면 $x$좌표는 어떻게 변할까? 내 좌표계에서 나는 $x=0$ 인 지점에서 시간축을 따라 이동하며, $(0,0), (0,1), (0,2) …$ 로 이동한다. 기울어진 A좌표계에서 보면 나의 시공간 좌표는 $(0,0), (-v,1), (-2v,2) …$ 로 이동한다. 결국
$$x^{\prime }=x-vt$$
$$t^{\prime }=t$$
인 갈릴레이 변환과 같다는 것을 알 수 있다.
광속에 대해 살펴보기 전에 좌표축의 단위를 정할 필요가 있다. 나의 좌표계 원점에서 $x$축 방향으로 빛을 발사했다고 해보자. 만약 시간축의 단위를 $sec$, 공간축의 단위를 $m$로 한다면, 빛이 그리는 세계선은 $x$축에 거의 붙어서 그려질 것이다. 빛을 포함시켜 세계선을 그리려면 좌표축의 단위를 조절할 필요가 있으며, 만약 시간축을 $ct$로 놓는다면($c$는 광속을 $m/sec$로 나타낸 값) 빛의 세계선은 기울기가 1이 될 것이다. 1초에 $c$미터를 이동하므로, 시간을 초에 $c$를 곱한 새로운 단위로 표시하면 $c$ 만큼의 시간 동안 $c$미터를 이동한 셈이 되어 기울기가 1이 된다. 그렇다면 빛은 나의 좌표계에서 밑의 파란 세계선을 그리게 된다. $(x=ct)$ 또한 $v$의 속도로 움직이는 친구A의 세계선의 기울기는 $vt/ct=v/c$가 될 것이다.

원점에서 출발한 빛을 $K^{\prime }$ 좌표계에서 관찰하면 갈릴레이 변환에 의해 t초 후 광자의 위치는
$$x^{\prime }=x-vt=ct-vt$$
$$t^{\prime }=t$$
가 되어 $K^{\prime }$ 좌표계에서 본 빛의 속도 $\Delta x^{\prime }/\Delta t^{\prime }=(ct-vt)/t=c-v$ 가 된다. 이는 광속불변의 법칙에 위배된다. 따라서 광속불변의 법칙에 맞는 새로운 좌표변환 방식이 필요하다.

위의 그림에서 시간 $OA$ 동안 내 좌표계에서는 빛이 $AC$만큼 이동하였다. 그러나 $K^{\prime }$ 좌표계에서는 같은 시간 $OB$ 동안 $BC$만큼 이동하였다 [3]. 즉, 같은 시간 동안 $K^{\prime }$ 좌표계에서는 빛이 덜 이동하게 된 것이다. $K^{\prime }$ 좌표계에서도 광속을 일정하게 하면서 시간축의 기울기를 유지하려면(그리하여 $K^{\prime }$ 좌표계가 나에 대해 일정속도로 이동하는 것을 그대로 표현하려면), 공간축을 빛의 세계선쪽으로 기울여야 한다. 그러면 아래와 같이 $K^{\prime }$ 좌표계에서도 빛의 기울기는 1이 된다.

이렇게 로렌츠 변환을 표현하는 시공간 좌표축 변환은 시간축과 공간축 모두 45도 선을 향하여 같은 각도로 기울여야 한다. 그리고 기울기의 각도는 내 좌표계에 대한 $K^{\prime }$ 좌표계의 속도에 의해 정해진다. 즉, $tan\theta=v/c$가 된다.(여기서 $\theta$는 내 좌표계 시간축과 $K^{\prime }$ 시간축 사이의 각도이다. 이 각도는 내 좌표계 공간축과 $K^{\prime }$ 공간축 사이의 각도와 같다.)
공간축이 기울어졌다는 것은 무슨 의미일까? 공간축의 의미는 시간이 0인 지점에서의 공간좌표를 의미한다. 따라서 공간축에 평행한 지점에 놓인 사건들은 모두 그 좌표계 상에서 ‘동시’에 일어난 일을 의미한다. 나의 좌표계에서는 나의 공간축 상에서 발생한 모든 사건은 $t=0$인 시점에 일어난 동시 사건들이다. 그러나 $K^{\prime }$ 좌표계에서의 공간축은 나의 좌표계 공간축과 다르며, 따라서 내 좌표계에서 동시에 일어난 사건들이 $K^{\prime }$ 좌표계에서는 동시 사건이 아니게 된다. 즉 ‘동시성’의 상대성이 나타나는 것이다.
다음으로 로렌츠 변환을 유도해 보자. 갈릴레이 변환을 다시 써보면 다음과 같다.
$$x^{\prime }=x-vt$$
$$t^{\prime }=t$$

어떻게 갈릴레이 변환을 구했는가? $K^{\prime }$ 좌표계는 내 좌표계를 기준으로 볼 때 $x=vt$의 속도로 이동하고 있으며, $x=vt$가 $K^{\prime }$좌표계의 시간축이다. 시간축이 기울어져 있으므로, 내 좌표계에서의 위치 $x$는 $K^{\prime }$좌표계에서 볼 때 $-vt$만큼 더해줘야 한다. 만약 시간축을 $ct$로 본다면 $K^{\prime }$ 좌표계는 $x=v/c \times t$ 이며, $v/c$를 $\beta$로 본다면 $x=\beta ct$ 가 되며, $$x^{\prime }=x-\beta ct$$로 바꾸어 쓸 수 있다.
로렌츠 변환도 마찬가지로 구할 수 있다.

갈릴레이 변환에서 $x={\beta} ct$로 시간축이 기울어져 $x^{\prime }$을 구할 때 ${\beta} ct$를 뺐듯이 로렌츠 변환에서도 마찬가지이다. 즉, 로렌츠 변환에서도 우선은 $x^{\prime }=x-{\beta} ct$ 로 표현할 수 있다. 그러나 갈릴레이 변환과 다른 점이 있는데, 동시성의 상대성에서 살펴 보았듯이 두 좌표계의 시간이 동일하게 흐르지 않는다는 점이다.

위 그림은 $K^{\prime }$ 좌표계 시간축의 스케일이 내 좌표계와 비교하여 달라질 수 있음을 보여준 것이다. 친구A는 나와 동일한 시계를 가지고 나에 대해 $\beta ct$의 속도로 움직이고 있다. 즉, 친구A의 좌표계는 $K^{\prime }$ 좌표계이며, ‘A가 보는’ 자신의 시계가 가리키는 시간은 $ct^{\prime }$축을 통해 표현된다. 가운데 그림을 보면 $ct^{\prime }$축의 한 단위 시간이 $ct$축의 단위 시간과 같다. 즉, ‘A가 보는’ A 시계의 시간과, 바로 그 때 나의 시계가 가리키는 시간은 서로 같다.(예를 들어 A 시계가 2초를 가리키고 있다면, 나의 시계 역시 2초를 가리키고 있다.) 만약 로렌츠 변환에 의해 $K^{\prime }$ 좌표계가 가운데 그림과 같이 변한다면, 이 때는 갈릴레이 변환과 같이 $x^{\prime }=x-\beta ct$로 변환된다.
그러나 만약 ‘A가 보는’ A 시계의 시간보다, 바로 그때 나의 시계가 가리키는 시간이 더 길다면 (예를 들어 A의 시계가 2초를 가리킬 때 나의 시계는 4초를 가리킨다면), $K^{\prime }$ 좌표계는 위의 3번째와 같이 그려져야 한다.

A시계에서 1단위 시간에 해당하는 시점에서의 나의 시계에서는 위의 그림 녹색선을 보면 알 수 있듯이 1단위 시간보다 길다. 이 경우에는 $x^{\prime }=x-{\beta} ct$로 표현할 수 없다. 왜냐하면 ${\beta} ct$는 회색선을 나타내기 때문이며, 제대로 보정하려면 $x-{\beta} ct$에 1보다 큰 수를 곱해주어야 한다.
$x^{\prime }={\gamma} (x-{\beta} ct)$라고 놓으면 ${\gamma}$의 크기에 따라 ${K}^{\prime }$ 좌표계가 밑의 그림과 같이 변한다.

로렌츠 변환에서 $K^{\prime }$ 좌표계의 기울어지는 각도는 쉽게 구할 수 있다$(tan{\theta}=v/c={\beta})$. 그러나 ${\gamma}$ 값을 구하려면 약간의 계산이 필요하다. 로렌츠 변환에서 시간축과 공간축을 45도선에 같은 각도 ${\theta}$로 기울이게 만든 것은 광속불변의 원리를 맞추기 위한 것이었다. 그렇다면 상대성원리 또한 만족하도록 해야 하는데, 이 과정에서 ${\gamma}$ 값이 구해진다.
우선 로렌츠 변환에서 시간축 변환도 마저 살펴보자.

$x^{\prime }$을 구할 때 $x$에서 $\beta ct$(녹색부분)를 빼주었듯이 $ct^{\prime }$을 구할 때에도 $\beta x$(회색부분)을 빼주어야 한다 [4]. 따라서 $ct^{\prime }= ct-\beta x$ 가 되고, 스케일 변환은 시간축과 동일하게 되므로 여기에도 $\gamma$ 값을 곱해주면 된다. 결국, 로렌츠 변환은
$$x^{\prime }=\gamma(x-\beta ct) \tag{A}$$
$$ct^{\prime }=\gamma(ct-\beta x) \tag{B}$$
로 표기할 수 있다. 남은 것은 $\gamma$를 구하는 것이다.
다시 갈릴레이 변환으로 돌아가 보자.
$$x^{\prime }=x-vt \quad (x^{\prime }=x-\beta ct 로도 쓸 수 있다.)$$
$t^{\prime }=t$의 변환은 $x^{\prime }$이 내 좌표계 기준으로 $v$ 속도(또는 $\beta$ 속도)로 이동시의 좌표 변환이다. 그러나 친구A의 기준으로 보면, 친구A는 정지해 있고 내가 $-v$(또는 $-\beta$)의 속도로 이동하고 있다. 이렇게 가정해도 물리법칙은 동일하게 성립해야 하므로 갈릴레이 변환 역시 동일하게 성립한다. 그런 경우 친구A 기준계 $(x^{\prime },t^{\prime })$ → 내 기준계 $(x,t)$로의 좌표변환은 위의 식에 $v$ 대신 $-v$ (또는 $β$ 대신 $-β$) 만 넣어주면 된다. 즉,
$$x=x^{\prime }+vt^{\prime } \quad (또는 \quad x^{\prime }=x+\beta ct)$$
$$t=t^{\prime }$$
이 된다. 그리고 이 식은 위의 식과 동일하다.
로렌츠 변환도 마찬가지로 $(A),(B)$ 식에 $\beta$ 대신 $-\beta$를 넣어줄 수 있다. 그러면
$$x=\gamma(x^{\prime }+\beta ct^{\prime }) \tag{A´}$$
$$ct=\gamma(ct^{\prime }+\beta x^{\prime }) \tag{B´}$$
가 되고, 이 식은 각각 $(A),(B)$ 식과 동일해야 한다. 위의 $(A^{\prime}),(B^{\prime})$의 연립방정식을 $x^{\prime },ct^{\prime }$에 대해 풀면
$$x^{\prime }=\frac{1}{\gamma (1-\beta )^{2}}(x-\beta ct)$$
$$ct^{\prime }=\frac{1}{\gamma (1-\beta^{2} )}(ct-\beta x)$$
위의 두식을 $(A),(B)$ 식과 비교하면
$$\gamma (1-\beta^{2} )=\gamma $$
$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2} } } $$
가 나온다.
이렇게 로렌츠 변환을 구할 수 있으며, $\gamma$ 값은 1보다 크므로 ($v=0$ 인 경우에만 $\gamma=1$) 로렌츠 변환의 모습은 다음의 형태를 취한다.

앞에서 언급했듯이 $K^{\prime }$ 좌표계에 고정된 시계가 1단위 흐를 때, 내 좌표계의 시계는 1단위보다 많이 흐른다(위의 그림 녹색점선 참조). 다른 말로 하면 내 입장에서 볼 때 나의 시계보다 A의 시계가 느리게 가며, 예를 들어 내 시계가 1.2초 가리킬 때 A의 시계는 1초를 가리킨다. 즉, A의 시계는 1초당 간격이 더 늘어난 셈이며, 이를 시간 팽창이라 부른다(시간지연이라 부르기도 한다).
길이도 시간과 마찬가지로 바뀐다. 회색점선을 보면 알 수 있듯이, $K^{\prime }$ 좌표계의 길이 1단위에 해당하는 지점은 내 좌표계에서 볼 때는 1단위보다 긴 지점에 위치한다.(회색점선 참조) 즉, $K^{\prime }$ 좌표계에 고정된 길이 1단위의 자는 내 좌표계에서 측정할 때 1단위보다 더 길게 측정된다. 내 입장에서 보면 내가 측정한 길이보다 $K$ 좌표계의 길이가 짧은 것이며 이를 길이 수축이라 부른다.
내 입장에서 볼 때 움직이는 $K^{\prime }$ 좌표계의 시간과 길이는 같은 비율로 그 크기가 줄어든다. 그럼에도 $K^{\prime }$ 시간의 경우 시간 수축이라 하지 않고 시간 팽창이라 부르는 이유는 $K^{\prime }$의 시간이 더 천천히 흘러 1초 사이 간격이 늘어나기 때문이다. 이렇게 내 좌표계에서 볼 때 $K^{\prime }$ 좌표계의 시간은 팽창하고 길이는 수축한다.
내 좌표계에서 1초의 시간 간격은 다른 좌표계에서는 어떻게 보일까? 지금까지의 논의에서 알 수 있듯이 내 좌표계에 대해 등속운동하는 다른 좌표계들 입장에서는, 내 좌표계가 반대방향으로 등속운동하고 있을 것이며, 따라서 다른 좌표계들에서 측정한 나의 시간 간격 1초보다 길 것이다. 내 좌표계에 대해 $\beta$ 속도로 이동하고 있는 좌표계의 시간간격은 그 좌표계를 기준으로 하여 측정한 시간(즉, 그 좌표계에 대해 정지한 시계가 가리키는 시간)이 가장 짧다. 이렇게 등속운동하는 관찰자 스스로가 느끼는 시간이 고유시간이다.
고유시간을 좀더 정확히 표현하면 다음과 같다. 시공간 상에 일어난 두 사건 사이의 시간 차와 위치 차이는 여러 좌표계에서 측정할 수 있으며, 좌표계마다 달라진다. 어떤 좌표계에서는 두 사건 사이의 위치 차이가 크게 나지만, 다른 좌표계에서는 위치 차이가 작게 난다. 두 사건 사이의 위치 차이가 없는 좌표계도 존재할 수 있으며, 그 좌표계에서는 두 사건 사이의 시간차이만 존재한다. 즉, 같은 위치에서 두 사건이 일어난 것이며, 이 좌표계에서 측정한 두 사건 사이의 시간차이가 고유시간이다. 그리고 고유시간은 두 사건 사이의 가장 짧은 시간간격이다.
예를 들어 아래 그림처럼 시공간 상에 두 사건 A와 B가 있다고 한다면, 좌표계에 따라 A와 B의 위치 좌표는 달라진다. 보라색 좌표계는 AB를 이은 선과 평행하며, 따라서 보라색 좌표계에서 A와 B는 같은 위치에서 발생한 사건이며, 이 좌표계에서의 두 사건 사이 시간차이가 고유시간이 된다. 이렇게 고유시간은 두 사건를 이은 선과 평행한 시간축을 갖는 좌표계에서 측정한 시간이다.

두 사건 사이의 고유길이도 마찬가지 방법으로 구할 수 있다. 이 때에는 두 사건이 같은 시간에 발생하는 좌표계에서 두 지점 사이의 거리를 구하면 된다. (→ 글머리로)
3. 로렌츠 변환의 유도 : 아인슈타인의 작업
아인슈타인의 일반인을 위한 저작 중에서 『Relativity - The special and General Theory』라는 책이 있는데, 여기서 아인슈타인은 로렌츠 변환을 유도하고 있다. 광속불변의 원리와 상대성 원리를 모두 만족시키는 변환식을 유도해내고 있는데, 그 과정을 그대로 옮긴다 [5].
위에서 나타낸 두 좌표계의 상대적인 정향을 볼 때, 두 계의 $x$축은 영구적으로 일치한다. 여기서 현재의 경우에서는 $x$축 위에 위치한 사건만을 먼저 고려함으로써 문제를 나누어 생각할 수 있다. 그와 같은 임의의 사건은 좌표계 $K$에 대해서는 가로좌표 $x$와 시간 $t$에 의해 표현되며, 좌표계 $K^{\prime }$에 대해서는 가로좌표 $x^{\prime }$과 시간 $t^{\prime }$에 의해 나타내진다. 여기서 $x$와 $t$가 주어졌을 때 $x^{\prime }$과 $t^{\prime }$을 어떻게 구하는지 알아보도록 하자.
$x$축의 양$(+)$의 방향으로 진행하는 빛의 신호는 방정식 $x=ct$, 즉
$$x-ct=0 \tag{1}$$
에 따라 전파된다. $K^{\prime }$을 기준으로도 동일한 빛의 신호가 속도 $c$를 가지고 전파되어야 하므로, $K^{\prime }$을 기준으로 한 전파방정식은 $(1)$과 비슷한 식
$$x^{\prime }-ct^{\prime }=0 \tag{2}$$
으로 표현된다. $(1)$식을 만족시키는 공간-시간의 점(사건)은 $(2)$식도 만족시켜야 한다. 관계식
$$(x^{\prime }-ct^{\prime })=\lambda(x-ct) \tag{3}$$
을 일반적으로 만족시킬 때 이 경우가 됨을 분명하다. 여기서 $\lambda$는 상수를 나타낸다. 그 까닭은 $(3)$식에 의하면, $(x-ct)$가 0이 될 때 $(x^{\prime }-ct^{\prime })$도 당연히 0이 되어야 하기 때문이다.
$x$축의 음$(-)$의 방향으로 전파되는 광선에 대해서도 아주 비슷한 고려를 해주면 조건
$$(x^{\prime }+ct^{\prime })=\mu(x+ct) \tag{4}$$
를 얻게 된다.
$(3)$식과 $(4)$식을 합하고 (또는 빼고), 또 편리하게 하기 위하여 두 상수 $\lambda$와 $\mu$를 다른 상수 $a$와 $b$로 바꾸어 쓰면, 두 개의 식
$$a=(\lambda+\mu)/2,\quad b=(\lambda-\mu)/2$$
가 된다. 여기서 방정식
$$x^{\prime }=ax-bct, \quad ct^{\prime }=act-bx \tag{5}$$
를 얻게 된다.
따라서 두 상수 $a$와 $b$를 알게 되면 우리의 문제는 해결되는 것이다. 이러한 결론은 다음과 같은 논의로부터 결과가 뒤따른다.
$K^{\prime }$의 원점에 대해서는 $x^{\prime }=0$이 영구적이므로 $(5)$식의 첫 번째 식에 따라서
$$x=\frac{bc}{a}t$$
를 얻는다.
$K$를 기준으로 $K^{\prime }$의 원점이 운동하는 속도를 $v$라 하면,
$$v=\frac{bc}{a} \tag{6}$$
가 된다.
$K$를 기준으로 한 $K^{\prime }$의 다른 한 점의 속도를 계산하거나, 또는 $K^{\prime }$을 기준으로 ($x$축의 음$(-)$의 방향으로 진행중인) $K$의 한 점의 속도를 계산하는 경우에도 동일한 속도 $v$가 $(5)$식으로부터 얻어진다. 간단히 말하면, $v$를 두 계의 상대 속도라고 지정할 수 있다.
더 나아가 상대성 원리에 의하면 $K$에서 판단하되 $K^{\prime }$을 기준으로 정지 상태에 있는 단위측정용 막대의 길이는 $K^{\prime }$에서 판단하되 $K$를 기준으로 정지 상태에 있는 단위측정용 막대의 길이와 같아야 한다. $K$에서 보았을 때 $x^{\prime }$축 위의 점들이 어떻게 보이는가 하는 것을 알아보기 위해서는 $K$에서 $K^{\prime }$의 스냅사진을 찍어볼 필요가 있다. 이는 곧 ($K$의 시간) $t$의 특정한 값(예를 들면 $t=0$)을 대입해 보아야 한다는 것을 의미한다. $t=0$인 경우 $(5)$식의 첫 번째 방정식은
$$x^{\prime }=ax$$
가 된다.
$K^{\prime }$계에서 측정하였을 때 거리 $\Delta x^{\prime }=1$만큼 떨어져 있는 $x^{\prime }$축 위의 두 점은 우리가 찍은 스냅사진에 의하면
$$\Delta x=\frac{1}{a} \tag{7}$$
만큼 서로 떨어져 있게 된다.
만약 스냅사진을 $K^{\prime }(t^{\prime }=0)$에서 찍었다고 한다면 $(6)$식의 표현을 감안하여 $(5)$식으로부터 $t$를 소거하여
$$x^{\prime }=a(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})x$$
를 얻게 된다.
이 식으로부터 ($K$를 기준으로) 거리 1만큼 떨어져 있는 $x$축 위의 두 점은 스냅사진 속에서는
$$\Delta x^{\prime }=a(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}) \tag{7a}$$
인 거리로 있게 된다.
그러나 이미 언급했던 바와 같이 두 스냅사진은 서로 동등해야 하므로, $(7)$식의 $\Delta x$와 $(7a)$식의 $Delta x^{\prime}$은 같아야 한다. 따라서
$$a^{2}=\frac{1}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \tag{7b}$$
의 관계가 성립한다.
$(6)$식과 $(7b)$식이 두 상수 $a$와 $b$의 값을 결정해 준다. $(5)$식에 이들 상수값을 대입하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 즉
$$x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad t^{\prime }=\frac{t-\frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \tag{8}$$
를 얻는다.
따라서 $x$축 위의 사건들에 대한 로렌츠 변환을 얻었다. 이 변환은 조건
$${{x}^{\prime }}^{2}-{c}^{2{{t}^{\prime }}^{2}}={x}^{2}-{c}^{2}{t}^{2} \tag{8a}$$
을 만족시킨다.
이 결과의 확장— $x$축 바깥쪽에서 일어나는 사건을 포함하는— 은 $(8)$식을 유보하고 또 그들 두 식을 관계식
$$y^{\prime }=y, z^{\prime }=z \tag{9}$$
로 보완함으로써 얻어진다. 이와 같은 방법으로 임의의 방향의 광선에 대한 진공 중의 속도가 불변이라는 기본원리를 $K$계와 ${K}^{\prime }$계에 대해 똑같이 만족시킬 수 있게 된다. 다음과 같이 하여 이 사실을 증명할 수 있다.
시각 $t=0$에서 $K$의 원점으로부터 빛의 신호를 보낸다고 하자. 이 빛의 신호는 방정식 $r=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}=ct$ 에 따라서 전파된다. 즉 이식을 제곱할 경우의 방정식
$${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-{c}^{2}{t}^{2} \tag{10}$$
에 따라서 전파하게 된다.
상대성 원리와 더불어 빛의 전파법칙이 요구하는 것은, 이 빛의 신호의 전파가 —${K}^{\prime }$에서 판단되었을 때— 대응하는 공식
$${r}^{\prime}=c{t}^{\prime}$$ 즉
$${{x}^{\prime}}^{2}+{{y}^{\prime}}^{2}+{{z}^{\prime}}^{2}-{c}^{2}{{t}^{\prime}}^{2}=0 \tag{10a}$$
이 $(10)$식과 합치하도록 일어나야 한다는 것이다. 따라서 $(10a)$식이 $(10)$식의 결과로 되기 위해서는
$${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-{c}^{2}{t}^{2}=\sigma ({{x}^{\prime}}^{2}+{{y}^{\prime}}^{2}+{{z}^{\prime}}^{2}-{c}^{2}{{t}^{\prime}}^{2}) \tag{11}$$
이 성립되어야 한다.
여기서 $(8a)$식이 $x$축 위의 점들에 대해 성립해야 하므로 $\sigma=1$ 이어야 한다. 로렌츠 변환이 $\sigma=1$에 대해 $(11)$식을 실제로 만족시킨다는 것은 쉽게 알 수 있다. 왜냐하면 $(11)$식은 $(8a)$식과 $(9)$식의 결과이며, 따라서 또 $(8)$식과 $(9)$식의 결과이기도 하기 때문이다. 이와 같이 하여 로렌츠 변환을 유도해 내게 되었다. (→ 글머리로)
4. 민코프스키 공간 : 시간축을 허수로 둘 경우
3차원 공간에서 두 지점 $({x}_{1}, {y}_{1}, {z}_{1}), ({x}_{2}, {y}_{2}, {z}_{2})$ 사이 거리의 제곱은 ${\Delta}{x}^{2}+{\Delta}{y}^{2}+{\Delta}{z}^{2}$로 표시된다. 또한, 기준 좌표계가 바뀌어도 변환된 좌표계가 직교 좌표계인 한, 두 지점 사이의 거리(또는 거리제곱)는 변하지 않는다.
4차원 시공간에서 두 지점 $({x}_{1}, {y}_{1}, {z}_{1}, c{t}_{1}), ({x}_{2}, {y}_{2}, {z}_{2}, c{t}_{2})$ 사이의 간격은 어떻게 구할까? 3차원 공간에서와 마찬가지로 양 지점 각 성분의 차이를 제곱하여 모두 더하면 될까? 그렇지 않다. 두 지점 사이의 간격은 $s={\sqrt{{\Delta}{x}^{2}+{\Delta}{y}^{2}+{\Delta}{z}^{2}-{(c{\Delta}t)}^{2}}}$ 로 표현된다. 시간성분의 부호는 공간 성분 부호와 반대가 된다. 왜 이렇게 구하는 것일까?
우선 로렌츠 변환을 하여도 이렇게 구한 간격 $s$는 변하지 않고 일정하게 유지된다. 즉 임의의 속도 $\beta$에 대해 ${\Delta}{x}^{2}+{\Delta}{y}^{2}+{\Delta}{z}^{2}-{(c{\Delta}t)}^{2}={\Delta}{x^{\prime}}^{2}+{\Delta}{y^{\prime}}^{2}+{\Delta}{z^{\prime}}^{2}-{(c{\Delta}t^{\prime})}^{2}$ 이 된다. 로렌츠 변환식을 우변에 대입하면 좌변이 나오는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 간단하게 공간축은 $x$축만 고려한다면
$$x^{\prime}=\frac{1}{\gamma {(1-\beta)}^{2}}(x-{\beta}ct),{\quad} c{t}^{\prime}=\frac{1}{\gamma (1-{\beta}^{2})}(ct-{\beta}x)$$ 이므로
$${\Delta}{x^{\prime}}^{2}-{(c{\Delta}t^{\prime})}^{2}={\frac{1}{{\gamma}^{2}(1-{\beta}^{2})}}{({\Delta}x-{\beta}c{\Delta}t)}^{2}-{\frac{1}{{\gamma}^{2}{(1-{\beta}^{2})}^{2}}}{(c{\Delta}t-{\beta}{\Delta}x)}^{2}$$
이며 우변을 정리하면 ${\Delta}{x}^{2}-{(c{\Delta}t)}^{2}$ 이 나옴을 알 수 있다. 시공간 간격 $s$는 로렌츠 변환에 대해 불변이다. 이렇게 ${\Delta}{x}^{2}+{\Delta}{y}^{2}+{\Delta}{z}^{2}-{(c{\Delta}t)}^{2}={\Delta}{x^{\prime}}^{2}+{\Delta}{y^{\prime}}^{2}+{\Delta}{z^{\prime}}^{2}-{(c{\Delta}t^{\prime})}^{2}$ 을 만족하는 4차원 시공간을 민코프스키 공간이라 부른다.
위와 같이 정의한 시공간 간격은 고유시간, 고유길이를 의미한다. ${s}^{2}={\Delta}{x}^{2}-{(c{\Delta}t)}^{2}={\Delta}{x^{\prime}}^{2}-{(c{\Delta}t^{\prime})}^{2}$이며, ${\Delta}x^{\prime}=0$을 대입하면 $-s=c{\Delta}t^{\prime}$이 된다. 이것은 두 사건 사이의 고유시간 정의와 같다. 또한 ${\Delta}t^{\prime}=0$을 대입하면 $s={\Delta}x^{\prime}$이며 이는 두 사건 사이의 고유길이의 정의와 같다. 결국 $s={\sqrt{{\Delta}{x}^{2}+{\Delta}{y}^{2}+{\Delta}{z}^{2}-{(c{\Delta}t)}^{2}}}$로 정의한 시공간 사이 간격은 로렌츠 변환에 대해 불변으로 모든 좌표계에서 같은 값을 가지며, 또한 고유시간 및 고유길이와 같다.
시간축을 허수축으로 놓으면, 그리하여 시간축을 $ct$ 대신 $ict$로 놓으면 ${s}^{2}={\Delta}{x}^{2}+{\Delta}{y}^{2}+{\Delta}{z}^{2}-{(c{\Delta}t)}^{2}$은 ${s}^{2}={\Delta}{x}^{2}+{\Delta}{y}^{2}+{\Delta}{z}^{2}+{(ic{\Delta}t)}^{2}$ 으로 바뀐다. 그리고 바뀐 식은 우리에게 익숙한 형태이다 ($ic{\Delta}t$를 ${\Delta}{\tau}$로 바꾸면 ${s}^{2}={\Delta}{x}^{2}+{\Delta}{y}^{2}+{\Delta}{z}^{2}+{\Delta}{\tau}^{2}$가 된다.).
시간축을 허수축으로 놓으면 다음과 같은 기하학적 이점을 가져다 준다.
먼저, 로렌츠 변환은 직교 좌표계의 회전 변환을 의미하게 된다. 시간축이 실수축인 경우, 위에서 보았듯이 로렌츠 변환은 45도 선을 향하여 같은 각도 $\theta$로 좁혀진 시간, 공간축을 갖게 되며 단위 격자는 마름모 형태를 띤다. 그러나 시간축을 허수축으로 놓게 되면 로렌츠 변환은 회전변환으로 바뀐다.
다음은 시간축이 실수인 경우의 로렌츠 변환식이다.
$$x^{\prime}={\gamma}(x-{\beta}ct)$$
$$c{t}^{\prime}={\gamma}(ct-{\beta}x)$$
이 식에서 $ct$를 $ict$로 바꾸면 다음과 같이 된다.
$$x^{\prime}={\gamma}(x+i{\beta}(ict))$$
$$ic{t}^{\prime}={\gamma}(-i{\beta}x+ict)$$
이 변환을 행렬로 나타내면 다음과 같다.
$$\begin{pmatrix}x^{\prime}\\ ict^{\prime}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\gamma &i\beta \gamma \\ -i\beta \gamma &\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ ict\end{pmatrix} $$
그런데 $\begin{pmatrix}\gamma &i\beta \gamma \\ -i\beta \gamma &\gamma \end{pmatrix}$ 행렬은 $\begin{pmatrix}\cos{\theta} &-\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$의 형태로 볼 수 있다. ${\gamma}^{2}+{(i\beta \gamma)}^{2}=(1-{\beta}^{2}){\gamma}^{2}=1$ 이기 때문이다. ($\theta$만큼 축의 회전시 회전변환에서 $\begin{pmatrix}\cos{\theta} &\sin{\theta} \\- \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$ 라 하지 않고$\begin{pmatrix}\cos{\theta} &-\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$ 라 둔 이유는, 시간축을 실수로 두었을 때와 마찬가지로 $x$축 방향으로의 시간축 회전을 기본을 두었기 때문이다. 이런 경우 각도 회전은 $-\theta$가 된다.) 그러면 $\cos{\theta}=\gamma, \sin{\theta}=-i\beta \gamma$ 이므로 $\tan{\theta}=-i\beta$ 가 된다. 아래 좌표계에서 $\tan{\theta}$를 직접 구해보면 새로운 $y^{\prime}$ 시간축의 $\tan{\theta}$는 $vt/ict=-i\beta$ 가 된다는 것도 확인할 수 있다.

내 좌표계에 대해 속도 $\beta$로 등속운동하는 좌표계 $K^{\prime}$은 로 해당하는 각도 $\theta$로 회전한 좌표계이다. 또한 $s^{2}=\Delta {x}^{2}+{(ic\Delta)}^{2}$ 이며, 회전변환에 대해 특정 두 지점 사이의 간격은 변하지 않는다. 아래 그림에서 원점과 $P$점 사이의 거리(빨간 선의 길이)는 회전 변환에 의해서도 바뀌지 않음을 알 수 있다.

이렇게 시간축을 허수축으로 놓으면 로렌츠 변환은 직교 좌표계의 회전변환을 의미하게 되며, 두 지점 사이의 간격은 통상적인 공간좌표계에서의 거리를 구하듯이 피타고라스 정리를 이용하여 구할 수 있다. 이렇게 시간축이 허수축인 좌표계는 기하학적으로 보다 친숙한, 직관적으로 좀더 이해하기 쉬운 장점이 있지만, 다른 한편으로 직접적인 크기 비교가 어려운 경우가 발생하기도 한다. 예를 들어 내 좌표계의 원점에서 빛을 발사한 경우 빛의 세계선은 $\tan{\theta^{\prime}}=-i$로 그려진다. 내 좌표계에 대해 등속운동하는 다른 좌표계에서 빛을 봐도 광속 불변의 원리에 의해 c로 보이기 때문에 마찬가지로 로 되어야 하며 실제로 계산해보면 그렇게 되지만 기하학적 각도는 $\theta$와 $\theta^{\prime}$이 다르다. 계산상 허수가 들어가면서 다른 각도를 가진 기울기가 서로 같게 되는 현상이 발생하게 된다.
시간축을 허수축으로 놓으면 『자연철학 강의』에 나온 바와 같이 상대속도를 상대적 기울기로 치환할 수 있으며, 탄젠트의 덧셈/뺄셈을 통해 손쉽게 구할 수 있다. 『자연철학 강의』에서는 허수 시간축의 기술적 이점을 다음과 같이 언급하고 있다.
많은 물리학 문헌에서는 4차원 시간좌표를 $ict$로 택하는 대신 $ct$로 택하기도 한다. 그럴 경우 허수 단위 $i$를 기피하는 이점이 있으나 시간의 부호가 공간과 반대로 주어지는 민코스프스키 공간이 되어서 우리에게 익숙한 유클리드 공간의 기하학적 관계들을 직관적으로 파악하기에 어려움을 준다.
시간축을 허수축으로 두는 것을 단순히 직관적 이해를 편하게 하는 기술적 문제로 한정하는 것은 『자연철학 강의』에서 말하는 중요한 핵심을 놓치는 것이라 생각한다. 우리의 우주가 본질적으로 시간축이 허수축인 4차원 시공간이라면, ‘특정속도’ 불변의 원리가 바로 도출된다. 시간 $t$에 적절한 상수 $ik$를 곱하여 시간축을 $ikt$로 둔 후 [6], 공간좌표와 대등한 속성을 갖는다고 간주한다면 상대적 기울기를 이용한 상대 속도 계산을 통해 특정 좌표계에서 $k$ 속도로 움직이는 물체는 다른 임의의 (관성)좌표계에서도 $k$ 속도로 관측된다는 것을 알 수 있다. 값이 어떤 값이든 논리적으로는 상관이 없다. 그리고 우리의 우주에서는 이 $k$ 값을 광속인 $c$로 두고 있다는 것을 경험적 관측을 통해 발견할 수 있다. (→ 글머리로)
5. $E=m{c}^{2}$ 유도 : 물리법칙의 4차원 변환
우리가 살고 있는 자연세계가 4차원 시공간의 세계라면 기존의 물리 법칙들을 4차원 시공간의 관점에서 재검토해봐야 한다. 왜냐하면 기존의 역학 법칙들은 3+1차원에서 정립되었던 개념들이기 때문이다. 우선적으로 속도의 개념을 재검토해야 한다. 기존의 속도란 3차원 벡터공간상의 이동거리를 1차원 스칼라양인 시간으로 나눈 값이다. 하지만 우리는 3차원 공간 상에서 이동하는 것이 아니라 4차원 시공간 상에서 이동한다. 따라서 두 지점(사건) 사이를 이동하는 속도를 구하기 위해서는 시공간 상의 이동거리(간격) $s=\sqrt{{\Delta x}^{2}+{\Delta y}^{2}+{\Delta z}^{2}+{(ic\Delta t)}^{2}}$를 시간으로 나누어 주어야 하는데, 이미 4차원 시공간에 시간이 벡터로서 포함되어 있다. 여기에 분모로서 나누어주는 시간은 벡터로서의 시간이 아닌 스칼라로서의 시간이며, 고유시간이 그것에 해당한다. 두 지점 사이의 이동거리 $s$는 앞에서 보았듯이 로렌츠 변환에 불변이다. 그러나 두 지점 사이의 시간 차이는 기준 좌표계에 따라 달라진다. 그러나 고유시간 ${\tau}_{0}$은 두 사건이 같은 지점에서 일어나도록 기술하는 좌표계에서의 시간이기 때문에 하나의 값을 가진다. 4차원 속도 $\vec{{v}_{\mu }}$는 $\vec{s} /\tau_{0}$로 정의된다. 이렇게 되면 4차원 운동량, 가속도 및 힘 모두 4차원 속도를 이용하여 재정의해야 한다.
4차원 속도 $\vec{{v}_{\mu }}$를 검토해보자. 먼저 시공간의 각 축 단위벡터를 $\vec{{e}_{x}},\vec{{e}_{y}},\vec{{e}_{z}},\vec{{e}_{t}}$ 라 하자. 그러면 $\vec{s}=(x,y,z,ict)$라 할 때 $\vec{s}=x\vec{{e}_{x}}+y\vec{{e}_{y}}+z\vec{{e}_{z}}+ict\vec{{e}_{t}}$ 가 된다. 그러면
$$\vec{{v}_{\mu }} =\frac{d\vec{s} }{d\tau } =\frac{dx}{d\tau }\vec{{e}_{x}}+\frac{dy}{d\tau }\vec{{e}_{y}}+\frac{dz}{d\tau }\vec{{e}_{z}}+ic\frac{dt}{d\tau }\vec{{e}_{t}} \tag{12}$$
가 된다.
그런데 『자연철학 강의』에 나왔듯이 $$\tau =\frac{t}{\gamma} \tag{NP3-10}$$이다 (앞으로 『자연철학 강의』에 나와 번호가 부여된 수식들은 NPx-xx로 표시하겠다).
따라서 $$\frac{dt}{d\tau}={\gamma}$$ 이다.
그러면 $$\frac{dx}{d\tau}=\frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\tau}=\gamma \frac{dx}{dt}=\gamma{v}_{x}$$가 된다. 마찬가지로 $$\frac{dy}{d\tau}=\gamma{v}_{y}, \frac{dz}{d\tau}=\gamma{v}_{z}$$가 된다.
그러면 $(12)$식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\vec{{v}_{\mu}}=\frac{d\vec{s}}{d\tau}=\gamma({v}_{x}\vec{{e}_{x}}+{v}_{y}\vec{{e}_{y}}+{v}_{z}\vec{{e}_{z}}+ic\vec{{e}_{t}}) \tag{NP3-12}$$
이렇게 『자연철학 강의』 3-12식이 유도된다. 여기서 흥미로운 것은 4차원 속도의 크기가 $c$로 일정하다는 것이다. 단위벡터들은 모두 직교하므로 피타고라스의 정리를 이용할 수 있다. $\vec{{v}_{\mu}}$의 크기의 제곱은
$$\left\vert \gamma^{2} ({{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}+{{v}_{z}}^{2}+{(ic)}^{2})\right\vert = \left\vert \gamma^{2} ({{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}+{{v}_{z}}^{2}-{c}^{2})\right\vert = \left\vert \gamma^{2} ({v}^{2}-{c}^{2})\right\vert = \left\vert -{c}^{2} \right\vert $$
가 되어 $\vec{{v}_{\mu}}$의 크기는 $c$가 된다. 내 좌표계에 대해 정지해 있는 물체는 시간축으로 $c$의 속도로 이동하고 있으며, 물체가 공간축으로 움직인다면 시간축의 속도가 일부분 공간축으로 할당되어 시간축 이동속도는 느려지고 시간팽창(시간지연)이 나타나게 된다.
『자연철학 강의』에 기존 3차원 개념들을 4차원 개념들로 재정립하는 과정 및 $E=m{c}^{2}$의 유도 과정이 나온다. 여기서 잘 이해가 안 갔던 부분은 4차원 운동량 $\vec{{p}_{\mu}}$의 시간 성분을 $E/c$ (시간을 허수축으로 보면 $iE/c$)로 놓는 부분이었다 [7]. 이 부분에 대해 살펴본 내용을 기술하고자 한다.
4차원 운동량 $\vec{{p}_{\mu}}$의 시간 성분은 $$\gamma{m}_{0}c=\frac{{m}_{0}c}{\sqrt{1-{v}^{2}/{c}^{2}}} \tag{NP3-14}$$이다. $v/c=\beta$로 놓으면 $$\gamma{m}_{0}c=\frac{{m}_{0}c}{\sqrt{1-{v}^{2}/{c}^{2}}}=\frac{{m}_{0}c}{\sqrt{1-{\beta}^{2}}}$$이 된다. 그런데 $\gamma=1/\sqrt{1-{\beta}^{2}}$을 테일러 급수로 풀면
$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta}^{2}}}=1+\frac{1}{2}{\beta}^{2}+\frac{3}{8}{\beta}^{4}+\frac{5}{16}{\beta}^{6}+\dots$$
가 된다. 따라서 양변에 ${m}_{0}c$를 곱하면 다음과 같은 식이 나온다.
$$\gamma{m}_{0}c={m}_{0}c(1+\frac{1}{2}{\beta}^{2}+\frac{3}{8}{\beta}^{4}+\frac{5}{16}{\beta}^{6}+\dots)={m}_{0}c+\frac{1}{2}{m}_{0}c{(\frac{v}{c})}^{2}+\frac{3}{8}{m}_{0}c{(\frac{v}{c})}^{4}+\frac{5}{16}{m}_{0}c{(\frac{v}{c})}^{6}+\dots$$
그런데 이식을 가만히 보면 $$\frac{1}{2}{m}_{0}c{(\frac{v}{c})}^{2}=\frac{1}{2}\frac{{m}_{0}{v}^{2}}{c}$$이고, 여기에 $c$를 곱하면 익숙한 운동에너지 식인 $$\frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2}$$이 나온다. 따라서
$$\gamma{m}_{0}c={m}_{0}c+\frac{1}{2}{m}_{0}c{(\frac{v}{c})}^{2}+\frac{3}{8}{m}_{0}c{(\frac{v}{c})}^{4}+\frac{5}{16}{m}_{0}c{(\frac{v}{c})}^{6}+\dots$$ (즉, 운동량의 시간 성분) 양변에 $c$를 곱해주면
$$\gamma{m}_{0}{c}^{2}={m}_{0}{c}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2}+{m}_{0}{c}^{2}(\frac{3}{8}{(\frac{v}{c})}^{4}+\frac{5}{16}{(\frac{v}{c})}^{6}+\dots)$$이 된다.
내 기준계에서 정지질량 ${m}_{0}$의 물체가 속도 $v$로 움직일 때, 그 물체의 4차원 운동량 시간 성분에 $c$를 곱한 값은 위와 식과 같다. 그리고 위의 식은 기존의 운동에너지 식인 $\frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2}$를 포함하고 있으며, ${m}_{0}{c}^{2}$은 정지질량이 갖는 에너지를 의미한다고 가정해 볼 수 있다. $\frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2}$ 뒤의 항들은 물체의 속도가 광속에 가깝지 않는 이상 무시할 수 있으므로, 내 좌표계를 기준으로 속도 $v$로 움직이는 물체의 에너지는 정지질량이 갖는 에너지 ${m}_{0}{c}^{2}$과 고전적인 운동에너지 $\frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2}$을 합한 값이라고 가정해 볼 수 있다. 내 좌표계에 대해 정지해 있는 물체는 아무런 에너지를 갖지 않는 것이 아니라 정지질량이 갖는 에너지 ${m}_{0}{c}^{2}$를 가지고 있다. 마치 시간축을 따른 운동에 의한 운동에너지와 같다고 간주할 수도 있을 것이다. 그리고 이러한 가정은 『자연철학 강의』 (3-25)식에 의해 단순한 가정을 넘어선 정당성을 획득한다. 따라서 운동량의 시간성분에 $c$를 곱한 값은 에너지라 볼 수 있고, 운동량의 시간 성분은 $E/c$가 된다. (→ 글머리로)
각주
[1] 속도의 단위 포함, 이에 대한 자세한 기술적 논의는 뒤에서 다룬다. (→ 본문으로 돌아가기)
[2] 시간축과 공간축의 이동속도 총합이 광속 $c$로 일정하다는 것 역시 뒤에서 다룬다. (→ 본문으로 돌아가기)
[3] $OB$와 $OA$는 같다. 시간축을 기울일 때 새로운 시간축의 단위눈금은 새롭게 정할 수 있으며, 갈릴레이 변환에서는 시간의 변화가 없어야 하므로 단위격자의 시간축성분(시간축 단위벡터)를 기존 시간축과 동일하게 유지하였기 때문이다. 만약 $OA$ 길이 그대로를 새로운 시간축의 단위 눈금으로 정한다면 단위격자인 평행사변형의 높이는 $OA$보다 낮아질 것이며, 그렇게 되면 내 좌표계에서의 1초는 $K^{\prime }$좌표계 입장에서는 1초보다 클 것이다. (→ 본문으로 돌아가기)
[4] $K^{\prime }$ 좌표계의 시간축과 공간축은, $K$ 좌표계의 시간축과 공간축에 대해 같은 각도 $\theta$($tan\theta=\beta$)만큼 기울어져 있다. 따라서 시간축과 공간축이 기울어져 발생한 거리는 각각 $ct$와 $x$에 $\beta$를 곱한 값이다. (→ 본문으로 돌아가기)
[5] <A.아인슈타인, 『상대성이론』, 김종오 옮김, 2000, 미래사, 137-143P> (→ 본문으로 돌아가기)
[6] 『자연철학 강의』에서는 시간축을 $kt$로 두었으나, 광속 $c$값이 경험적인 값이라는 점을 강조하기 위해 $ikt$로 두었다. (→ 본문으로 돌아가기)
[7] 『자연철학 강의』 (3-13), (3-16)식 (→ 본문으로 돌아가기)
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조회 146
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자연사랑 | 2025.01.28 | 1 | 146 |
678 |
[자료] 우주와 물질 - 개요 (4)
자연사랑
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2025.01.27
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조회 156
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자연사랑 | 2025.01.27 | 1 | 156 |
677 |
[자료] 고립계, 닫힌 계, 열린 계
자연사랑
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2025.01.20
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추천 1
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조회 152
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자연사랑 | 2025.01.20 | 1 | 152 |
676 |
[자료] 열역학 영째 법칙과 온도의 정의 (2)
자연사랑
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2025.01.19
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조회 179
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자연사랑 | 2025.01.19 | 0 | 179 |
675 |
상호작용 없는 측정(엘리추르-바이드만)과 겹실틈 실험
자연사랑
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2024.12.25
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조회 165
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자연사랑 | 2024.12.25 | 0 | 165 |
674 |
[자료] 푸리에 변환과 힐버트 공간
자연사랑
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2024.12.10
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조회 217
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자연사랑 | 2024.12.10 | 0 | 217 |
673 |
양자역학이 답하고 있는 문제: 상태를 어떻게 서술할까?
자연사랑
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2024.12.09
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조회 194
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자연사랑 | 2024.12.09 | 0 | 194 |
672 |
양자역학이 답하려 했던 문제 (4)
자연사랑
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2024.12.04
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추천 3
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조회 285
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자연사랑 | 2024.12.04 | 3 | 285 |
671 |
[질문에 대한 의견] 시간, 공간, 시공간의 휘어짐과 중력 (5)
자연사랑
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2024.11.26
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조회 257
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자연사랑 | 2024.11.26 | 2 | 257 |
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[질문에 대한 의견] 만유인력 vs 중력장 (3)
자연사랑
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2024.11.26
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자연사랑 | 2024.11.26 | 1 | 237 |
$E=mc^2$이라는 유명한 공식이 정확히 무엇을 의미하는지를 놓고 실상 꽤 논쟁이 있었고, 지금은 잘 정리된 상태입니다. 작년 1월에 올린 글(https://bit.ly/3yOy3zq)에서 이 문제를 상세하게 다루었습니다. 제 나름대로는 최대한 잘 정리한 글이라 한번 읽어보시길 권하고 싶습니다.
게시판에도 잘 뜨네요~ 옮기느라 수고하셨습니다! ^^
수고 많으셨습니다. 이젠 편하게 답글을 달 수 있겠네요.
이 글에서 사인 함수와 코사인 함수라는 삼각함수를 이용하여 회전변환을 잘 설명하고 있습니다. 수학이 더 들어오긴 하지만, 저는 쌍곡사인 함수와 쌍곡코사인 함수라는 쌍곡삼각함수를 도입하는 것이 훨씬 더 간단하고 명료하다고 생각합니다. 그에 대한 글을 작년 1월에 올려 놓은 게 있습니다. (https://bit.ly/3BHG0bG)