예측적 앎에서 가장 중요한 개념은 바로 '상태(state)'입니다.

거의 100년 전(1925년 무렵)에 등장한 양자역학은 고전역학과 달리 상태 규정의 방식이 다르다는 것이 가장 중요한 핵심입니다.

표준화된 양자역학 정식화에서는 다음과 같이 말합니다.

결국 모든 기본동역학은 다음 세 가지 요소 $\langle s, A, p \rangle$를 반드시 확정해야 합니다.

(a) 대상에 대한 상태 규정: $s$
(b) 대상으로부터 얻을 수 있는 물리량에 대한 규정: $A$
(c) 물리량에 대한 확률분포의 규정: $p$

고전역학은 다음과 같이 정의됩니다.

(aC) 대상의 상태는 특정 시간의 위치와 운동량(또는 속도)의 값 $(x(t), p(t))$로 규정된다.
(bC) 대상에 대한 물리량은 특정 시간의 상태에 대한 실수값 함수로 주어진다.
(cC) 물리량에 대한 확률분포는 0 또는 1이다

이와 달리 양자역학은 다음과 같이 정의됩니다.

(aQ) 대상의 상태 $s$는 특정 시간의 힐버트 공간의 벡터 $|\psi\rangle$로 규정된다.
(bQ) 대상에 대한 물리량 $A$는 그 힐버트 공간에서 작용하는 자기수반 연산자 $\hat{A}$로 규정된다.
(cQ) 물리량에 대한 확률분포는 보른의 규칙에 따라 규정된다.

보른의 규칙은 다음과 같습니다.

(i) 물리량으로서 가능한 값은 연산자의 고유값만이다.
(ii) 그 고유값 $a$에 대응하는 고유벡터를 $|a\rangle$이라고 하고, 대상의 상태 $s$가 $|\psi\rangle$로 주어진다면, 물리량 $A$의 값이 $a$가 될 확률은 $$ p(a | s) = \left|\langle a| \psi\rangle \right|^2$$로 주어진다.

보른의 규칙은 물리량의 기대값(평균)이 $$ \langle A \rangle = \langle \psi | \hat{A} |\psi\rangle $$으로 주어진다는 말과 동등합니다.

이와 같은 표준적인 정식화의 단점은 무엇보다도 꽤 화려하고 전문적인 수학이론인 힐버트 공간의 이론을 알아야 한다는 점일 겁니다. 물리학을 전공한다면 긴 수련 기간 동안 이 힐버트 공간의 다양한 측면을 여러 가지 방식으로 배웁니다. 그냥 한두 번 강의를 듣는 게 아니라 수없이 연습문제를 풀고 숙제를 하고 여러 차례 시험을 보는 과정에서 거의 손에 익을 정도로 익숙해져 버립니다.

전문적인 물리학자들이 하는 일은 바로 그렇게 익숙해진 도구를 써서 새로운 물질을 찾아내고 신기한 현상을 설명하고 우주의 근원에 대해 말하는 것입니다.

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장회익 선생님의 접근의 기본 동기는 힐버트 공간 이론을 사용하지 않고 양자역학을 설명해 보자는 것이라 할 수 있습니다. 왜냐하면 힐버트 공간이라는 매우 추상적인 이론에 익숙해지기까지 상당히 시간이 걸리기 때문입니다.

그에 비해, 맨 처음부터 상태는 '상태함수'로 주어지며, 이것은 다름 아니라 "사건을 일으키는 성향"이라고 시작한다면, 양자역학이라는 자연철학적 사유를 이해하는 것이 더 쉬워질 수 있을 것 같습니다.

아래에는 대담에서 오고간 이야기 중에서 제가 조금 더 보충이 필요하다고 느낀 대목을 더 상세히 풀어보려 합니다.

(A) 최우석님의 질문: "측정을 통해 상태를 알아낼 수 있는가?"



장회익 선생님의 대답이 다소 모호하게 들릴 수도 있습니다만, 명료하게 답한다면 측정, 즉 변별체와 만나게 하는 것이야말로 상태를 얻는 유일한 방법입니다. 더 어려운 점은 측정결과 하나만 가지고 이른바 '처음 상태'를 제대로 규정할 수 없다는 것에 있습니다.

만일 측정결과로부터 상태를 알아내는 것이 유일하게 결정될 수 있다면, 양자역학이 자연철학적 사유에서 새삼 새롭게 부각될 필요가 없을 수도 있습니다. 그저 더 세련되고 더 정교한 또 하나의 역학에 지나지 않을 수도 있는 거죠. 그러나 양자역학은 근본적으로 새로운 이야기를 합니다.

고전역학에서 상태의 변화는 뉴턴 방정식을 풀어냄으로써 온전히 알 수 있습니다. 이와 달리 양자역학에서는 상태의 변화에 두 가지 방식이 있습니다. 하나는 슈뢰딩거 방정식을 풀어내 알 수 있는 결정론적인 과정입니다. 처음 상태가 주어지면 나중 상태를 알아내는 것은 그냥 방정식을 멋지게 풀어내는 수리물리학 연습문제에 불과합니다.

그러나 두 번째 상태 변화는 이와 다릅니다. 변별체라는 이상한 대상을 만나 사건을 일으키거나 일으키지 않으면, 장회익 선생님의 "공리 4"에 따라 새롭게 상태함수가 할당됩니다.

그런 점에서 "측정으로부터 상태를 알아낼 수 있는가?" 하는 질문을 더 다듬어 대답하면 다음과 같습니다.

상태를 알아내는 방법은 두 가지가 있습니다. 하나는 처음 상태로부터 수리물리학적으로 방정식을 풀어내서 나중 상태를 구하는 것입니다. 두 번째는 변별체와의 만남에 대한 결과, 즉 사건으로부터 새로운 상태를 대상에게 부여하는 것입니다.

여기에서 아주 미묘한 문제가 생깁니다. 지난 번 온라인 세미나에서 나온 이야기이기도 합니다. 기존의 서울 해석, 적어도 제가 이해하고 옹호하는 해석에서는 변별체와의 만남으로부터 서술 주체가 새롭게 대상의 상태에 대한 지식을 갱신하는 것으로 봅니다. 그것만이라면 양자 베이즈주의(QBism)와 쉽사리 연결됩니다. 즉 인식적(epistemic) 접근입니다.

그런데 장회익 선생님께서는 인식적 접근으로 만족할 수 없다고 보시는 듯 합니다. 실제로 대상에서 뭔가가 달라진다고 봐야 한다는 겁니다. 즉 존재적(ontic) 접근입니다.

이 문제는 이미 양자역학에 대한 근원적 해석으로 연결되는 것입니다. 또 양자역학과 관련된 물리학자들이나 철학자들도 공감대를 갖고 있지 않은 첨예한 쟁점입니다.

(B) 황승미님의 질문: "이중슬릿이나 고양이의 사고실험에서 혼동되는 것은 존재물이 변별체에 사건을 일으키는 성향이 확률로 이어지는 복소함수이기 때문일 것이다. 그러나 사건을 일으키는 것 자체는 0부터 1까지의 확률이 아니라 사건이 일어나는가 아닌가의 문제이다. 즉 고양이 사고실험에서 반생반사 상태 같은 것은 없다.

사건 야기 성향(상태)에서 얻을 수 있는 확률은 0부터 1까지의 실수이지만, 사건은 그와 같이 흐려지는 것이 아니라고 보아야 하는가?"

장회익 선생님의 대답 "그 위치에 변별체를 두었을 때 변화가 생기는가 안 생기는가 하는 것이 사건이다."



실상 1935년에 슈뢰딩거가 그 고양이 사고실험을 처음 제기할 때 말한 것이 바로 정확히 이 문제였습니다. 당시 양자역학에 대한 여러 이야기가 10년 가까이 오고가면서 뭔가 구름이나 안개가 자욱한 제방의 이미지가 널리 퍼졌습니다. 심지어 지금도 가령 화학교과서에는 '전자구름'이란 말이 버젓이 실려 있습니다. 슈뢰딩거는 명확하게 그 이미지가 잘못된 것임을 주장합니다. 구름이나 안개가 아니라 흔들리거나 초점이 흐려진 사진으로 보는 게 더 맞다는 겁니다.

"An sich enthielte es nichts Unklares oder Widerspruchsvolles. Es ist ein Unterschied zwischen einer verwackelten oder unscharf eingestellten Photographie und einer Aufnahme von Wölken nnd NebeIschwaden." (S. 812)

("그 자체로 불분명하거나 모순되는 것은 들어 있지 않다. 흐릿하거나 초점이 맞지 않는 사진과 구름이나 안개의 사진은 다르다.")

그런 점에서 장회익 선생님의 대답을 더 분명하게 할 필요가 있어 보입니다. 장회익 선생님께서는 확률을 설명하는 대목에서 여러 개의 똑같은 대상이 변별체와 만날 때 확률이 가령 0.7이라는 말은 열 개 중 셋은 변별체에 흔적을 남기지 않고 일곱은 흔적을 남기는 것이라고 대답하고 계십니다.

명확히 하자면, 슬라이드에 표시된 것처럼 스크린에 찍히는 점은 둘 중 하나입니다. 찍히거나 안 찍히거나이죠. 여기에서 변별체는 겹실틈(이중 슬릿) 뒤에 늘어 놓은 스크린입니다. 실제로는 사진건판 같은 것을 씁니다. 그 사진건판에 전자가 닿아서 흔적을 남길 수도 있고 남기지 않을 수도 있습니다. 말 그대로 '온/오프'의 둘 중 하나입니다.

(C) 황승미님의 질문: "그러면 사건이란 무엇인가? 스크린에 표시가 나오는가 아닌가 하는 것인가?"

그렇습니다. 바로 정확히 그것이 사건의 의미입니다. 변별체(측정장치)와 만나서 이루는 무늬의 결과는 아래 그림처럼 알록달록한 모양입니다.




(그림 출처: Norsen (2017). Foundations of Quantum Mechanics. Springer. p. 49)



그러나 모든 점은 한번에 하나씩이고 스크린의 특정 위치에서는 점이 찍히는가 안 찍히는가의 양자택일입니다. 이것을 다 모아 보면 위의 그림처럼 됩니다. 이것은 히다치에서 토노무라 그룹에서 1989년에 한 실험을 잘 보고 있으면 매우 명확합니다. 여러 면에서 아래 동영상을 차분하게 다시 보는 것이 매우 유익합니다.

" target="_blank" rel="noopener">One electron double slit experiment by Akira Tonomura

그런데 무척 신기한 일은 이렇게 특이해 보이는 알록달록 무늬를 계산을 통해 예측하고 설명할 수 있다는 점입니다. 양자역학을 써서 그러한 사건들의 집합을 일으킬 수 있는 성향, 즉 상태를 계산해 보면 $$ \Psi (x, y) = A \frac{1}{\sqrt{\sigma^2 + i \frac{\hbar y}{2mv}}} \left[ e^{-\frac{(x-a)^2}{4(\sigma^2+i \hbar y / 2mv)}} +e^{-\frac{(x+a)^2}{4(\sigma^2+i \hbar y / 2mv)}} \right] $$와 비슷한 함수가 됩니다. 이를 그래프로 그려보면 아래와 같습니다.

(그림 출처: Norsen (2017). p. 47)

그래프로 보면 스크린 상에 입자가 찍힐 확률이 더 높은 곳과 더 낮은 곳이 명확하게 보입니다. 그리고 이 계산 결과는 실험 결과와 정확히 일치합니다. 이것이 양자역학의 힘입니다.

이제는 다음과 같이 분명하게 말할 수 있습니다.

변별체와 만나서 흔적을 남기는가 여부는 '점유'에 해당합니다. 일상에서 만나는 상황입니다. 눈 앞에 있는 컵은 거기 있거나 아니면 없거나 둘 중 하나입니다. 이것이 가능하기 때문에 궤적을 찾아낼 수 있고, 그 궤적의 순간순간 위치와 운동량(또는 속도)를 알아낼 수 있는 것입니다.

고전적으로는 그것으로 충분하다고 믿었습니다. 그래서 라플라스의 결정론도 언급될 수 있었던 것입니다. 그러나 라플라스가 그 이야기를 펼친 곳이 다름 아니라 [확률의 해석이론]의 서문이었습니다. 확률이 등장하는 순간 문제가 꼬여 버립니다.

그런데 더 당혹스러운 것은 단지 확률이 도입되는 게 아니라는 점입니다. 확률보다도 더 근본적인 것이 도입되어야 합니다. 그것을 장회익 선생님은 "사건 야기 성향"이라고 불렀습니다.

위치와 시간의 함수로 주어지는 상태함수의 경우는 각 위치와 각 시간마다 "사건을 일으키는 성향"이 따로따로 주어집니다. 흔하게 생각하는 이미지는 온도의 분포입니다. 공간의 각 위치마다 그리고 각 시간마다 온도의 값이 달라질 수 있죠. 이것을 $T(x, y, z, t)$라고 쓸 수 있습니다. 흔히 온도마당 또는 온도장이라고 부릅니다.

조제프 푸리에가 밝힌 열 방정식 또는 열 확산 방정식은 $$ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right)$$으로 주어집니다.

슈뢰딩거의 방정식은 $$ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2}\right)+V(x, y, z) \Psi$$의 꼴입니다.

모양이 상당히 유사하죠. 다만 복소수 $i$가 들어 있어서 근본적으로 다른 성격을 드러냅니다. 또 괄호 앞에 있는 인수가 음수라서 뭔가 크게 다릅니다.

요약하면, 양자역학의 ‘상태’는 '사건을 일으킬 성향'이며, '상태함수' $\Psi (x, y, z, t)$로 표현됩니다. 그리고 그 함수는 소위 슈뢰딩거 방정식를 충족시켜야 합니다. 이 방정식을 풀어내면 공간의 각 점, 각 시간에서 상태가 어떻게 주어지는지 알아낼 수 있습니다.

상태함수로부터 공간의 각 점, 각 시간에서 사건이 일어날 확률을 정확히 계산할 수 있습니다. 왜 그런가 물어야 하겠지만, 여하간 그 함수를 절대값 제곱하면 확률이 됩니다.

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고전역학의 ‘점유’ 개념: 사건야기 확률 1 또는 0
양자역학의 ‘성향’ 개념 : 사건야기 확률 0~1까지 연속적
공간 전체의 모든 점에 대해 확률을 가지고 있다
여러 점들마다의 확률(성향)값을 하나로 나타내려면 공간의 함수가 되어야 함
양자역학의 상태는 사건야기 성향을 나타내는 함수



-----> 더 정확히 말하면 상태함수가 "사건 야기 성향"을 나타내는 반면, 장회익 선생님께서 '성향'이라 부르시는 것은 '확률'과는 다릅니다. 물리학자들이 '확률진폭'이라 부르는 것에 더 가깝습니다. 이것을 절대값 제곱해야 비로소 확률이 됩니다.



Q3-5. 양자역학의 미래 (상태) 예측 과정?



현재의 사건야기 성향을 가지고 슈뢰딩거 방정식을 풀면 미래의 사건야기 성향을 알 수 있다



Q3-6. 슈뢰딩거 방정식의 해는 상태함수인 Ψ?



슈뢰딩거 방정식은 시간으로 미분한 것이 공간으로 미분한 것과 어떻게 연결되는지 관계식을 준다
초기 상태함수를 알면 슈뢰딩거 방정식을 통해서 원하는 시점의 상태함수를 알 수 있다



----> 마치 푸리에 열 방정식을 풀면 열의 분포가 어떻게 달라지는지 알 수 있는 것처럼, 슈뢰딩거 방정식을 풀면 지금 상태로부터 나중 상태를 확실하게 계산할 수 있습니다.



Q3-7. 사건을 야기시킬 가능성, 또는 확률이 아니라 성향이라고 한 것은 상태함수가 복소수이기 때문?



Q4. 양자역학의 ‘측정’ 문제 – 두 가지 변화의 원리, 그리고 변별체의 역할



Q4-1. 양자역학에서는 측정을 해서 상태를 곧바로 알 수 없는건가?



Q4-2. 겹실틈(이중 슬릿) 실험 해석 – 변별체와 사건야기 성향



Q4-3. 사건과 위치 측정은 어떤 관계?



Q4-4. 고전역학과 양자역학의 변화의 원리 비교?



대상의 특성?
변화의 원리?
측정의 문제(변별체의 역할)?
상태 전환 : 측정하는 순간 상태가 바뀐다
양자역학에서는 상태가 바뀌는 방법이 두 가지
심학 제4도 – 두 가지 변화의 원리
사건과 빈-사건 모두 상태 전환을 일으킨다
빈-사건(null-event)의 중요성



Q4-5. 측정의 개념?



측정은 변별체에 흔적이 남거나 안 남거나 하는 것에 관계될 뿐
사람이 보는가 안 보는가에 따라서 상태가 달라진다는 것은 잘못된 이해



Q4-6. 변별체, 존재론적인 영역과 인식론적인 영역을 잇는 다리?



변별체, 존재론적인 존재이면서 우리에겐 인식론의 출발점
우리는 변별체에서부터만 볼 수 있다
변별체는 존재론적인 역할과 인식론적인 역할, 두 가지 역할을 한다



Q4-7. 슈뢰딩거의 고양이 문제?

변별체, 대상과 관계해 사건이 일어날 수 있는 모든 것
변별체는 무수히 많고 사건과 빈-사건은 끊임없이 계속 일어난다


Q4-8. 변별체로 가득찬 세계에서의 미래 예측?

통계역학…
주변에 먼지가 많으면 고전역학적으로 움직인다

-----> 이 대목은 저로서는 동의하지 않는 곳입니다. 실상은 더 근본적으로 변별체를 따로 두어야 하는가 여부가 쟁점이기도 합니다. 즉 변별체라는 이상한 종류의 존재물을 따로 도입해야만 비로소 양자역학을 이해할 수 있다는 것은 무척 못마땅한 일입니다. 쉽게 말해 변별체는 양자역학을 초월해 있는 존재물이거나 기껏해야 고전역학으로 서술되는 존재물입니다.



양자역학이 스스로 자립한 이론이면 좋겠는데, 아직 제대로 독립을 못 하고 여전히 부모(고전역학)의 신세를 지고 있는 것처럼 보는 관점이 마뜩치 않다는 뜻입니다.

저는 고전역학과는 완전히 분리된 제 발로 서 있는 양자역학적 자연철학을 신봉합니다.

이 문제는 따로 더 이야기가 필요하겠습니다.