시지프스님의 질문 2: 등가원리와 중력장 방정식
작성자
자연사랑
작성일
2020-04-18 21:59
조회
3713
두 번째 질문은 다음과 같습니다.
일상의 말로 표현하면 등가원리 또는 동등성 원리는 다음과 같습니다.
이 세 가지 표현이 완전히 같은 것은 아니고 조금씩 차이도 있고 함축도 다르긴 합니다만, 사실상 비슷합니다.
세 번째 (c)의 표현을 수학적으로 표현하면, 국소관성계에서는 가속도가 0입니다.
$$ \frac{d^2 z^\alpha}{d\lambda^2}= 0 \qquad ( \ddot{z^\alpha} =0 )$$
이를 일반적인 좌표에서 다시 쓰면
$$\frac{d^2 x^\alpha}{d\lambda^2}+\Gamma^\alpha_{\mu\nu}\frac{d x^\mu}{d\lambda}\frac{d x^\nu}{d\lambda}=0 \qquad (\ddot{x^\alpha}+\Gamma^\alpha_{\mu\nu}\dot{x^\mu}\dot{x^\nu}=0 )$$
을 얻습니다. 이것이 측지선 방정식입니다.
그 유도과정은 (*) 일반상대성이론 입문 5 (측지선 방정식)에 상세하게 적어 놓았습니다.
이제 등가 원리 또는 동등성 원리를 조금 더 정확하게 표현하면 다음과 같습니다.
이 말을 조금 더 확장하면, 다음과 같이 말할 수 있습니다.
그래서 시지프스님의 질문을 약간 고칠 필요가 생깁니다. 등가원리는 중력장 방정식에 직접 작용하는 것은 아닙니다. 중력장 방정식으로 가기 전에 측지선 방정식에 적용됩니다.
그런데 실상 아인슈타인 중력장 방정식을 유도하는 과정에서 틈틈이 (아인슈타인 등가원리)를 사용해야 합니다. 원래 과학이론에서 '원리'라는 것이 그런 식으로 작동하기 마련인데, 구체적으로 어디에 어떻게 작용하는지 설명드리기가 쉽지는 않은 것 같습니다.
대략 말씀드리면, 아인슈타인 중력장 방정식이
$$R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{ab}$$
와 같은 꼴이 되는 것을 유도할 때 왼쪽편의 모습을 정할 때 아인슈타인 등가원리가 중요한 역할을 합니다.
아인슈타인은 처음에 리치 텐서만 가지고
$$R_{ab} =\kappa T_{ab}$$
가 되지 않을까 생각했습니다. 그런데 아인슈타인 등가 원리를 생각하면,
$$T^{ab}_{\ \ \ ;b}=0$$
이 되어야 합니다. 여기에서 ${}_{;b}$라고 표기한 것은 공변미분입니다. (상세한 설명은 일단 생략하겠습니다.) 그러나
$$R^{ab}_{\ \ \ ;b}\not=0$$
입니다. 그러니까 $$R_{ab} =\kappa T_{ab}$$는 올바른 중력장 방정식이 아닙니다. 여러 조건들을 가지고 조율하다 보니
$$R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{ab}$$
가 되어야 한다는 결론을 얻게 됩니다. 1913년부터 1915년말까지 꽤 긴 기간 동안 우여곡절 끝에 중력장 방정식을 얻을 수 있었던 것입니다.
(2) 등가원리는 장 방정식의 어디에 적용되었나?
일상의 말로 표현하면 등가원리 또는 동등성 원리는 다음과 같습니다.
(a) 중력을 만들어내는 질량(중력질량)과 힘을 받을 때 영향을 받는 정도를 나타내는 질량(관성질량)은 같다.
(b) 중력의 효과는 좌표계의 가속이 만들어내는 효과와 동등하며, 중력을 다름 아니라 좌표계의 가속이다.
(c) 자유낙하하는 물체는 중력을 받지 않는다. 떨어지고 있는 물체는 순간적으로 언제나 힘을 받지 않는 관성계에 있다. 이 관성계를 국소 관성계라 부른다.
이 세 가지 표현이 완전히 같은 것은 아니고 조금씩 차이도 있고 함축도 다르긴 합니다만, 사실상 비슷합니다.
세 번째 (c)의 표현을 수학적으로 표현하면, 국소관성계에서는 가속도가 0입니다.
$$ \frac{d^2 z^\alpha}{d\lambda^2}= 0 \qquad ( \ddot{z^\alpha} =0 )$$
이를 일반적인 좌표에서 다시 쓰면
$$\frac{d^2 x^\alpha}{d\lambda^2}+\Gamma^\alpha_{\mu\nu}\frac{d x^\mu}{d\lambda}\frac{d x^\nu}{d\lambda}=0 \qquad (\ddot{x^\alpha}+\Gamma^\alpha_{\mu\nu}\dot{x^\mu}\dot{x^\nu}=0 )$$
을 얻습니다. 이것이 측지선 방정식입니다.
그 유도과정은 (*) 일반상대성이론 입문 5 (측지선 방정식)에 상세하게 적어 놓았습니다.
이제 등가 원리 또는 동등성 원리를 조금 더 정확하게 표현하면 다음과 같습니다.
(약한 등가 원리) 자유낙하하는 물체는 측지선을 따라 움직인다.
이 말을 조금 더 확장하면, 다음과 같이 말할 수 있습니다.
(아인슈타인 등가 원리) 어떤 국소적인 물리법칙이 민코프스키 시공간에서 텐서로 표현된다면, 중력이 작용하여 민코프스키 시공간이 아니게 되더라도 그 텐서로 표현된 법칙은 똑같은 방식으로 주어진다.
그래서 시지프스님의 질문을 약간 고칠 필요가 생깁니다. 등가원리는 중력장 방정식에 직접 작용하는 것은 아닙니다. 중력장 방정식으로 가기 전에 측지선 방정식에 적용됩니다.
그런데 실상 아인슈타인 중력장 방정식을 유도하는 과정에서 틈틈이 (아인슈타인 등가원리)를 사용해야 합니다. 원래 과학이론에서 '원리'라는 것이 그런 식으로 작동하기 마련인데, 구체적으로 어디에 어떻게 작용하는지 설명드리기가 쉽지는 않은 것 같습니다.
대략 말씀드리면, 아인슈타인 중력장 방정식이
$$R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{ab}$$
와 같은 꼴이 되는 것을 유도할 때 왼쪽편의 모습을 정할 때 아인슈타인 등가원리가 중요한 역할을 합니다.
아인슈타인은 처음에 리치 텐서만 가지고
$$R_{ab} =\kappa T_{ab}$$
가 되지 않을까 생각했습니다. 그런데 아인슈타인 등가 원리를 생각하면,
$$T^{ab}_{\ \ \ ;b}=0$$
이 되어야 합니다. 여기에서 ${}_{;b}$라고 표기한 것은 공변미분입니다. (상세한 설명은 일단 생략하겠습니다.) 그러나
$$R^{ab}_{\ \ \ ;b}\not=0$$
입니다. 그러니까 $$R_{ab} =\kappa T_{ab}$$는 올바른 중력장 방정식이 아닙니다. 여러 조건들을 가지고 조율하다 보니
$$R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{ab}$$
가 되어야 한다는 결론을 얻게 됩니다. 1913년부터 1915년말까지 꽤 긴 기간 동안 우여곡절 끝에 중력장 방정식을 얻을 수 있었던 것입니다.
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