[장회익의 자연철학 강의]와 [양자역학을 어떻게 이해할까?]에 등장하는 양자역학의 공리들은 실상 물리학계에서 다루어지는 표준적인 양자역학의 공리들과 좀 다릅니다.

이전에 이 게시판에 "(3) 양자역학의 기본공리"라는 제목으로 관련된 글을 올린 적이 있습니다.

표준적인 양자역학의 공리는 다음과 같습니다.

• (A) 대상계의 상태는 힐버트 공간의 원소인 상태벡터로 서술된다.
• (B) 물리량은 그 힐버트 공간에서 작용하는 자기수반 연산자로 서술된다.
• (C) 측정을 제외한 상태의 변화는 슈뢰딩거 방정식을 따른다.
• (D) 특정 상태에 있는 대상계에 어떤 물리량을 측정하면, 그 물리량의 연산자의 고유값 중 하나가 검출되며, 그 확률은 상태를 나타내는 벡터와 고유벡터의 곱(내적)의 제곱으로 주어진다. [보른의 규칙]
• (E) 측정 직후의 대상계의 상태는 검출된 고유값에 대응하는 고유벡터로 서술된다.

고전역학에서는 상태가 위치와 운동량 $(x, p)$로 서술됩니다. 더 일반적인 좌표나 더 일반적인 운동량을 도입해야 하는 경우도 많지만, 여하간 위치와 운동량을 알면 모든 것을 알 수 있습니다. 그리고 이렇게 위치와 운동량의 값을들 모아 놓은 수학적 집합에 이름도 붙어 있습니다. 그 이름은 위상공간(phase space)입니다.

이와 달리 양자역학에서는 상태를 서술하는 것이 약간 특별한 수학적 장치입니다. 벡터라고 부릅니다. 벡터라는 이름만으로는 거의 아무 느낌이 없지만, 벡터는 대략 서로 더할 수도 있고, 거기에다 어떤 숫자를 곱할 수도 있고, 두 벡터를 곱할 수도 있는 수학적 대상을 가리킵니다. 이런 것을 모아 놓은 수학적 집합을 벡터공간이라 부릅니다.

벡터공간에 추가적인 요소를 덧붙여 수학적으로 잘 정리해 놓은 것이 힐버트 공간(Hilbert space)입니다. 그래서 양자역학의 표준공리에서는 항상 벡터공간 또는 힐버트 공간이 등장합니다.

그런데 [장회익의 자연철학 강의]에서는 이 힐버트 공간이란 말이 단 한번밖에 등장하지 않습니다. 247쪽에 다음과 같은 구절이 있습니다.

"양자역학의 공리 체계는 힐베르트 공간을 바탕으로 하는 선형대수학의 틀 안에서 제시하는 것이 관례이나 이것은 자칫 너무 번거로워 오히려 양자역학의 핵심관념을 파악하는 데에 방해가 될 수 있으며 또 그 수학체계가 너무 방대하여 초보자들에게 문턱을 너무 높이는 폐단이 있다."

여기에서 '힐베르트 공간'이 대한수학회나 한국물리학회의 표준 용어로 '힐버트 공간'입니다. 저는 물리학과에서 공부했기 때문에 벡터공간이나 힐버트 공간이 아주 익숙하지만, 양자역학을 자연철학적으로 이해하기 위해서 그런 수학이론들을 다 이해해야 할까 하는 물음에는 대답하기가 망설여집니다.

장회익 선생님의 대안은 "공리1"에서 상태가 정의역이 위치와 시간이고 공역이 복소수인 어떤 함수로 주어진다고 말하고, 대표적인 예를 $\Psi (x, t)$와 같이 적을 수 있다고 제안하는 것입니다. 프시라는 그리스어가 익숙하지 않다면 그냥 $f(x, t)$라고 써도 됩니다. 그런데 이 함수에 맞물려서 짝이 되는 함수 $\tilde{f} (k, \omega)$를 언제나 잘 정의할 수 있습니다. 이렇게 짝이 되는 것을 푸리에 변환이라고 하는데, 이 푸리에 변환을 도입하면 양자역학의 수학을 더 쉽게 이야기해 나갈 수 있다는 것입니다.

그런데 사실 힐버트 공간이 별 게 아니라 상태함수들을 모아 놓은 수학적 집합입니다. 상태를 나타내는 함수들을 모으고 그 함수들 사이에 덧셈도 정의하고 숫자를 곱하는 것도 정의하고 곱셈도 정의하면 그것이 바로 힐버트 공간입니다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같이 됩니다. $$\mathfrak{H}=\{ \Psi (x, t) :  \int |\Psi (x,t)|^2 \mathrm{d}x < \infty \}$$

아래는 푸리에 변환과 힐버트 공간의 관계를 https://www.physicsforums.com/에 정리된 대로 설명하는 글입니다.

푸리에 변환과 힐버트 공간

Q. 푸리에 변환의 힐버트 공간 해석이란 무엇인가요?

A. 푸리에 변환의 힐버트 공간 해석은 신호의 시간과 진동수 구성 요소 사이의 관계를 설명하는 수학적 개념입니다. 이 개념은 모든 신호가 서로 다른 진동수와 진폭을 가진 사인파와 코사인파의 조합으로 표현될 수 있다는 생각에 기초합니다.

Q. 푸리에 변환의 힐버트 공간 해석은 다른 푸리에 변환 해석과 어떻게 다른가요?

A. 힐버트 공간 해석은 시간-진동수 해석과 같은 다른 해석과 달리 푸리에 변환을 두 개의 무한 차원 힐버트 공간 사이의 사상(mapping)으로 간주한다는 점에서 다릅니다. 이를 통해 푸리에 변환과 그 특성에 대한 보다 엄격하고 일반적인 이해가 가능합니다.

Q. 푸리에 변환의 힐버트 공간 해석의 실제 적용 사례는 무엇입니까?

A. 힐버트 공간 해석은 신호 처리, 이미지 및 오디오 압축, 데이터 분석 등의 분야에서 수많은 실제 응용이 가능합니다. 또한 양자역학과 양자 컴퓨팅에도 사용됩니다.

Q. 푸리에 변환의 힐버트 공간 해석의 주요 특성은 무엇입니까?

A. 힐버트 공간 해석의 몇 가지 주요 특징으로는 선형성, 시간 및 진동수 이동, 그리고 컨볼루션이 있습니다. 또한, 이중성이라는 중요한 특징도 있는데, 이는 한 공간에서 신호의 푸리에 변환이 다른 공간에서 신호의 역푸리에 변환과 동일하다는 것을 의미합니다.

Q. 푸리에 변환의 힐버트 공간 해석에 대해 자세히 알아볼 수 있는 방법은 무엇입니까?

A. 힐버트 공간 해석에 대해 더 자세히 배울 수 있는 다양한 자료가 있습니다. 교과서, 온라인 강좌, 학술 논문 등이 있습니다. 이 해석을 탐구하기 전에 푸리에 변환과 힐버트 공간에 대한 이해가 필요합니다.

참고: https://www.physicsforums.com/　

(DeepL을 이용하여 초벌번역 후 수정)