[장회익의 자연철학 강의] 제4장에서 다루는 양자역학과 관련된 자연철학의 문제, 즉 심학제4도를 제대로 이해하기 위해서는 역사지평과 내용정리를 구별하는 것이 편리합니다.

심학제1도의 핵심은 우리의 앎을 예측적 앎으로 규정하는 것입니다. 심학제2도에서 대상을 규정하는 특성과 그 상태를 알다면, 뉴턴 방정식을 풀어내서 현재상태로부터 미래 상태를 알아낼 수 있다는 것이 핵심입니다. 심학제3도에서 시간과 공간의 문제가 달라지긴 하지만, 상대성이론도 고전역학의 도식에서 근본적으로 크게 다른 것은 아닙니다.

고전역학에서는 대상의 상태를 위치 $x$와 운동량 $p$로 규정합니다. 3차원 공간을 고려하면 $(x_1, x_2, x_3)$과 $(p_1 , p_2, p_3)$입니다. 심학제3도에서는 시간과 공간을 합하여 4차원 시공간이 되기 때문에 대상의 상태를 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$와 $(p_1 , p_2, p_3, p_4)$로 나타내야 함을 주장합니다. 여기에서 $x_4= i c t$라는 수식을 통해 시공간의 네 번째 성분이 그 전까지 시간이라 불렀던 것이 됩니다. 또 $p_4 = i E / c$라는 수식을 통해 그 전까지 에너지라 불렀던 것이 됩니다.

약간 과장하면, 심학제3도의 상대성이론에서는 상태를 (위치, 시간; 운동량; 에너지)로 나타낸다고 말해도 됩니다.

여기에서 가장 중요한 것은 물리학이 중심이 되는 자연철학은 세계를 숫자, 즉 값으로 이해하기로 작정한 접근이라는 점입니다. 위치이든 운동량이든 모두 특정의 값으로 정해집니다. 따라서 현재의 상태를 알면 미래의 상태는 온전히 확정되며, 이를 결정론적 예측이라 부릅니다.

하지만 양자역학에서는 상태를 $\psi$는 특별한 수학적 장치로 나타냅니다. [장회익의 자연철학 강의]에서 이 수학적 장치는 $\psi(x, t)$라는 함수가 됩니다. 괄호 안의 변수가 독립변수이므로, 양자역학에서 상태는 위치와 시간의 함수입니다. 그런데 이것이 다가 아닙니다. $\phi (k, \omega)$라는 다른 함수도 $\psi(x, t)$라는 함수와 완전히 동등하게 같은 상태를 서술해 줍니다. 여기에서 $k$와 $\omega$는 푸리에 변환이라는 특별한 수학적 방식을 따라 위치 $x$와 시간 $t$로부터 정의됩니다.

푸리에 변환은 "푸리에 변환과 이중공간"이란 제목의 글에서 더 상세하게 배경지식을 소개했습니다만, 여하간 어떤 간명한 수학적 장치라고 받아들이면 충분합니다. 시간을 독립변수로 하는 시계열 신호의 경우에는 푸리에 변환을 거쳐 새로운 독립변수 $\omega$를 독립변수로 하는 새로운 신호를 만들어내 줍니다. 이를 '변환'이라고 부릅니다. 그 이름을 '각진동수'라고 하지만 이름은 별로 중요하지 않습니다. 마찬가지로 $x$에 대응하는 새로운 독립변수 $k$는 '각파수'라고 부르지만 이름은 큰 의미가 없습니다.

그런데 앞뒤를 따지면 흥미롭게도 $$p = \hbar k , \quad E = \hbar \omega$$와 같이 푸리에 변환의 새로운 변수 $(k, \omega)$가 다름 아니라 운동량과 에너지에 대응합니다.

고전역학에서는 위치와 운동량이 상태를 나타내고, 상대성이론에서는 위치와 운동량에 덧붙여 시간과 에너지까지 4차원 상태를 나타냅니다. 그런데 양자역학의 상태서술을 푸리에 변환이라는 수학적 장치를 통해 보니까, (위치, 시간)의 함수 $\psi (x, t)$만 있으면, 여기에 대응하는 (운동량, 에너지)의 함수 $\phi (p/\hbar , E / \hbar)$라는 새로운 함수도 상태를 똑같이 말해 줍니다.

[장회익의 자연철학 강의]에서는 이것을 '맞공간'이란 용어와 개념으로 상술하고 있습니다.

그리고 이 상태서술에서는 물리량의 값을 확정적으로 알 수 없고, 언제나 확률적으로만 알 수 있습니다. 그래서 [공리1]에서 위치, 운동량, 시간, 에너지 등의 '기대값'이라는 용어와 개념이 새로 등장합니다.

한 가지 더 언급하자면, 심학제3도에서 $c$이라는 보편상수가 중요한 역할을 한 것처럼 심학제4도에서도 $\hbar$이라는 보편상수가 중요한 역할을 합니다. $c=1$이라 하면, 시간과 공간이 대등하다는 것을 말해 주는 중요한 단계가 되는데, 마찬가지로 $\hbar=1$이라 하면 운동량-에너지와 각파수-각진동수가 같은 것이 되며, 이는 곧 운동량과 에너지가 위치와 시간과 맞대응한다는 점을 잘 보여줍니다.