2. 시공간이 아닌 각각의 휘어짐에도 중력이 발생할까요? 시간이 휘어진다는 것은 상상하기 어렵지만, 일반상대성이론을 설명할 때 자주 보여주는 그림이 공간이 움푹 파여있고 공이 굴러가는 그림들인데, 만약에 공간만 휘어져도 중력이 발생할지 궁금합니다. (사실 현실 세계에서 시간, 공간이 각각 휘어질 수 있는지는 잘 모르겠습니다.)

==> 시간이 휘어져 있다는 것을 상상하고 느끼는 것은 실상 그리 어렵지 않습니다. 이를 위해서는 '세계선'이라는 개념을 도입하는 것이 편리합니다. 하지만 그보다 먼저 시간-거리 그래프를 살펴보는 것이 도움이 됩니다. 아래 그림은 전형적인 시간-거리 그래프입니다.

(그림출처: 위키피디어)

여기에서 멈춰 있거나 일정한 속도로 반듯하게 움직이는 물체의 운동을 서술하는 '선'은 직선입니다. 그와 달리 점점 더 빨라지는 소위 가속운동을 서술하는 '선'은 곡선입니다. 이를 수식으로 쓰면 $x (t) = 5 t^2$과 같은 꼴입니다.

[장회익의 자연철학 강의] 113-114쪽에서 다룬 낙하문제에서는 $$x(t)=h-\frac{g}{2} t^2$$이라는 수식이 나옵니다. 이 식을 그래프로 그리면 그 '선'은 곡선이 되어야 합니다.

이번에는 비스듬히 던진 물체의 운동을 생각해 봅니다. 아리스토텔레스주의 자연철학에 따르면, 대포알의 궤적도 직선이어야 합니다. 옆으로 물체를 던지거나 대포알을 쏘면 그 물체에 코나투스(아베로에스) 내지 임페투스(장 뷔리당, 운동량 개념과 유사함)를 전달해 주게 됩니다. 그 코나투스 내지 임페투스는 물체가 전진할수록 점점 빠져나갑니다. 임페투스가 다 떨어지면 물체는 지구 중심, 즉 세계의 중심을 향해 떨어지게 됩니다. 아래 그림이 그런 믿음을 대표적으로 보여줍니다.

이 궤적을 수식으로 나타내려 한다면, [장회익의 자연철학 강의] 118쪽의 (2-18)식에 있는 것처럼 $$x (t) =v_0 t , \quad y (t) = h - \frac{g}{2} t^2$$으로부터 $$y= h - \frac{g}{2{v_0}^2} x^2$$과 같은 궤적의 수식을 유도해야 합니다.

여기 두 가지 곡선이 나옵니다. $$ y(t)= h -\frac{g}{2} t^2$$ $$ y = h - \frac{g}{2{v_0}^2} x^2$$입니다. 뒤의 것은 갈릴레오가 그린 그림을 수식으로 표현한 것이 됩니다. 우리가 직관적으로 물체를 비스듬하게 던졌을 때 물체가 그리는 궤적과 같고 곡선입니다. 그 위의 수식은 $(x, y)$가 아니라 $(t, y)$라는 좌표계에서 표현되었습니다. 직관적으로 시간을 볼 수는 없지만, 맨 위에 있는 시간-거리 그래프와 같은 수학적 장치를 이용하면, 낙하할 때 아래쪽으로 갈수록 점점 더 빨라진다는 사실을 $t^2$이 들어 있는 항으로 이해할 수 있고, 이 경우 그래프는 곡선이 됩니다.

이제 과감하게 $(x, y)$ 좌표계에서 곡선이 된다는 것, 즉 공간이 휘어진다는 것과 마찬가지로 $(t, y)$ 좌표계 다시 말해 시공간 좌표계에서 곡선이 된다는 것을 시공간이 휘어진다고 말해도 틀리지 않습니다. 후자의 경우에는 수평방향이 없고 수직방향 $y$만 가지고도 세계선이 곡선이 되는 셈이므로, 눈에 보이는 곡선은 없는 셈입니다.

이와 관련하여 일반상대성이론을 쉽게 설명한다고 하면서 도입되는 고무판 또는 트램폴린 비유의 심각한 문제를 생각해 볼 수 있습니다.

예를 들어 다음과 같은 그림이 있고, 지구 주변의 공간이 일그러져 있는, 즉 휘어 있는 것을 볼 수 있습니다.

[그림 출처: https://www.space.com ]

이 그림은 직관적이기도 하고 뭔가 중력장을 느끼게 해 주는 것처럼 보이지만, 일반상대성이론에서 서술하는 이야기와는 거의 무관합니다. 트램폴린 내지 고무판이 아래로 쑥 내려가는 것은 지구상의 중력현상 때문입니다. 그러니까 이 그림에서는 지구 쪽으로 곡선이 되게 만드는 것에 추가하여 아래 쪽으로 뭔가 원형 바둑판 모양을 곡선으로 만들어 주는 것이 있어야 합니다. 그러면 중력은 어디에서 어떻게 작용한다는 말이 될까요?

[그림 출처: https://xkcd.com/895/]

이 만화는 중력현상을 이해하기 위해 시공간을 일종의 고무판 내지 트램폴린으로 비유하는 것이 엉터리이거나 오해를 불러일으킨다는 점을 재미있게 풍자하고 있습니다.

현실세계에서 시간이나 공간이 휘어질 수 있는가 하고 생각하기보다는 시간과 공간을 함께 그린 시공간 좌표계에서 세계선이 휘어져서 곡선이 될 수 있는가 생각해 보는 것이 더 정확하고 적절합니다.

민코프스키의 1908년 논문에서는 세계선 개념을 전혀 새로운 것으로 제안했습니다.

[그림 출처: https://de.wikisource.org/wiki/Raum_und_Zeit_(Minkowski)]

위의 그림 중 오른쪽 그림은 수직축을 시간으로 하고 수평축을 공간으로 놓았을 때 정지해 있거나 일정한 속력으로 반듯하게 움직이는 (소위 등속운동) 물체의 세계선을 보여줍니다.

이와 달리 아래 그림에 있는 세계선은 가속운동을 하는 물체를 보여줍니다.

[그림 출처: https://de.wikisource.org/wiki/Raum_und_Zeit_(Minkowski)]

요약하자면, 중력이 있다는 것은 물체가 가속운동한다는 말이 되고, 그 경우 세계선은 곡선이 됩니다. 이것을 상징적으로 "시공간이 휘어 있다"라는 말로 표현합니다.

유튜브에 있는 다음 영상이 도움이 될 수도 있겠습니다.

What is General Relativity? Lesson 2: Worldlines

The Maths of General Relativity (1/8) - Spacetime and Worldlines

참고를 위해 덧붙이자면, 수학적으로 더 정확한 서술은 다음과 같습니다.

중력이 존재하는가 여부를 말해 주는 것이 거리함수 $g_{\mu\nu} (x)$인데, 물체의 운동은 소위 측지선 방정식 $$ \frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d} \lambda}\frac{\mathrm{d} x^\beta}{\mathrm{d} \lambda}=0$$으로 서술됩니다. 이 방정식에서 $\lambda$는 아핀 맺음변수로서 질량이 있는 물체의 경우 고유시간 $\tau$로 선택합니다. (고유시간은 [장회익의 자연철학 강의] 174쪽에 설명되어 있고, 거기에서는 $t_0$로 표기되었습니다.)

측지선 방정식은 [장회익의 자연철학 강의] 189쪽에 간략하게 소개되어 있습니다.

그런데 이 방정식에 나오는 크리스토펠 접속 $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$가 $g_{\mu\nu} (x)$의 도함수로부터 나옵니다. ([장회익의 자연철학 강의] 187쪽 참조) 따라서 중력을 서술하는 것은 거리함수뿐 아니라 크리스토펠 접속도 됩니다.

중력이 없으면 $g_{\mu\nu}$가 상수가 되고, $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}=0$이 되므로, $$ \frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}=0$$이 되는데, 두 번 미분해서 0이 되는 함수는 일차함수밖에 없습니다. 즉 $$x^\mu (\lambda) = a^\mu \lambda + b^\mu$$와 같고, 이것은 직선을 나타냅니다. 이와 같이 중력의 유무에 따라 세계선의 곡선 여부가 달라집니다. 그래서 시공간이 휘어 있는지 여부도 직관적으로 세계선의 곡선 여부로 판단할 수 있습니다.

그리고 조금 더 정확하게 서술할 필요가 있겠는데, 정확하게 서술할수록 직관적 이해와는 거리가 생기는 듯 합니다. 구대칭인 공간에서 특별한 조건을 부여한 것이 슈바르츠쉴트 시공간입니다. 이 시공간의 4차원 간격은 $$ ds^2 = - \left(1-\frac{R_S}{r} \right)c^2 dt^2 + \left(1-\frac{R_S}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2 $$으로 주어집니다. 여기에서 $R_S =  \frac{2GM}{c^2}$으로서 슈바르츠쉴트 반지름이라는 이름이 붙어 있습니다. 이와 달리 중력장이 없는 민코프스키 시공간은 $$ds^2 = - c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2 $$으로 주어집니다.

이제 이 둘을 비교해 보면 시공간이 휘어있다는 말이 더 명확해집니다. 대략 위도와 경도를 나타내는 부분 $r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2$은 똑같고 표준적이므로 이 부분은 고려하지 않기로 합니다. 그러면 비교할 것은 $$ ds^2 = - \left(1-\frac{R_S}{r}\right) c^2 dt^2 + \frac{1}{1-\frac{R_S}{r}} dr^2$$과 $$ds^2 = - c^2 dt^2 + dr^2$$입니다.

시간 부분만을 보면, 민코프스키 시공간과 달리 슈바르츠쉴트 시공간에서는 시간이 중심으로부터의 거리 $r$에 따라 달라집니다. 특히 $r=R_S = \frac{2GM}{c^2}$일 때에는 $dt^2$ 앞에 있는 인수가 0이 됩니다. 또 $r< R_S$인 곳에서는 $dt^2$에 붙은 인수가 음수가 됩니다. 이와 관련하여 슈바르츠쉴트 반지름보다 안쪽으로 가면 빛조차도 빠져나올 수 없게 된다는 말을 흔히 합니다. 게다가 $dr^2$에 곱해져 있는 인수도 좀 특이합니다. 이 시공간을 잘 분석해 보면, $r=R_S$에서는 마치 시간이 흐르지 않는 듯이 보입니다. 또 이 면을 넘어서면 빛이 되돌아나올 수 없다는 것도 보일 수 있습니다. 그래서 이 면을 '사건의 지평면(event horizon)'이라 부릅니다.

이런 것을 가리켜 시공간이 휘어져 있다고 말합니다. 여기에서 핵심은 시간과 공간의 네 좌표가 다른 좌표의 값에 따라 달라진다는 점에 있습니다.

참고로 흔히 그리는 고무판 내지 트램폴린의 그림은 대략 플람의 포물면(Flamm's paraboloid)을 중간 설명 없이 가져다 쓴 것이라 할 수 있습니다. 오스트리아의 물리학자 루트비히 플람은 1916년 "아인슈타인 중력 이론에 대한 논평"에서 이 포물면을 처음 도입했습니다.

Ludwig Flamm (1916) Beiträge zur Einsteinschen Gravitationstheorie , Physikalische Zeitschrift 17, 448.

아래 그림은 슈바르츠쉴트 시공간에서 $t=\rm{const.}$, $\theta=\pi/2$로 두 좌표를 고정한 뒤, $r=r(\varphi)$와 같이 중심으로부터의 거리를 경도를 나타내는 각의 함수로 그린 것입니다. 그냥 그리면 평평한 모양이라 곡률을 드러내기 위해 가상의 좌표 $w=2\sqrt{R_S (r-R_S)}$를 도입한 것입니다. 아래 그림의 수직방향을 나타내는 $w$는 시공간 좌표와 아무 관련이 없는 추상적인 방향입니다.

[그림 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric ]

위의 그림에서 맨 아래 바닥 부분은 $r=R_S$인 구에 해당합니다. 슈바르츠쉴트 시공간의 내부풀이를 고려하면 아래와 같이 막힌 포물면을 얻을 수 있습니다.

[그림 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Interior_Schwarzschild_metric ]

구면좌표계는 아래의 그림을 참조할 수 있습니다.