1. 절대적 기준의 문제

세미나 시간에 짧게 말씀드렸습니다만, 그 도표에서 핵심은 OA 즉 원점 O와 자동차의 위치 A를 잇는 선분의 길이가 어느 좌표계(빨간색 좌표계/검은색 좌표계)에서 보더라도 같다는 점에 있습니다. 그런 점에서 절대적인 면이 있습니다.

1차원인 좌표축에 드리운 그림자만 생각하면 $x$와 $x'$, 그리고 $y$와 $y'$이 제각기여서 '상대적'이라고 말할 수 있습니다.

그러나 2차원에서 그 선분의 길이를 보면 $\sqrt{x^2 + y^2}=\sqrt{x'^2 + y'^2}$이 되어 오히려 '절대적'입니다. 더 상세한 것은 "3-벡터와 4-벡터"를 참조하시기 바랍니다.

2. 세 방향의 공간축과 독립된 시간축 문제

공간과 시간이 철저하게 분리되어 있다는 믿음은 뉴턴의 자연철학 이래 20세기 초까지 거의 의심되지 않았습니다. 따라서 시간이 흘러감에 따라 물체의 위치는 $(x(t), y(t), z(t))$와 같이 세 개의 시간 함수로 규정되었습니다. 여기에서 $x(t)$라는 표현은 $t \rightarrow x(t)$와 같이 특정의 시간 값이 주어지면, 거기에 대응하여 $x$라는 값이 규정된다는 의미입니다. 그런 점에서 공간축을 시간에 대한 방정식으로 정의할 필요도 없이, 그냥 공간축 세 개가 있고, 특정 시간에 그 공간 어딘가에 물체가 위치를 차지한다고 서술하면 충분했습니다. 상대성이론이 들어오면서 시간과 공간이 분리되어 있지 않다는 새로운 상황이 전개된 것입니다.

3. 공간의 세 축이 대등한가 하는 문제는 힘이 들어오기 전과 힘을 포함하는 상황을 구별하는 문제입니다. 힘이라든가 다른 물체의 배치 같은 것을 고려하기 전에 그 어떤 것보다 먼저 아무 것도 없는 허공 속에 공간을 배치해야 비로소 안심하고 위치를 모호함 없이 규정할 수 있습니다. 전문적으로는 이런 것을 아핀(affine) 구조라고 부릅니다. 비유를 하자면, 캔버스에 그림을 그리기 전 우선 흰색 바탕으로 모든 곳을 정리해 둔 뒤, 거기에다 세부적인 스케치를 시작하는 것과 비슷합니다.

이와 같이 아무런 힘도 없는 상황에서는 우선 공간의 세 방향이 완전히 대등하다고 가정을 해야 합니다. 상대성이론으로 가서 4차원 시공간을 출발점으로 삼는다면, 공간의 세 방향뿐 아니라 시간 방향도 포함하여 네 방향이 완전히 대등하다고 가정해야 제대로 운동을 서술할 수 있습니다.

4. 19세기 초 아일랜드의 수학자 윌리엄 로원 해밀턴은 사원수(四元數, quaternion)이라는 전혀 새로운 수 개념을 만들었습니다. ("복소수에서 사원수로" 참조) 복소수에서는 실수축이 하나 허수축이 하나 있습니다. 일반적인 복소수는 $z = x + i y = z_0 + i z_1$과 같이 쓸 수 있습니다. 여기에서 $x=z_0$, $y=z_1$은 모두 실수입입니다. 복소수(複素數)의 '복(複)'이란 글자가 "두 개의 축"이란 의미를 담고 있습니다.

이와 달리 사원수는 $q= q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3$과 같이 항상 네 개의 실수를 함께 정해 주어야 정의되는 수입니다. 사원수에서는 허수가 3차원이 된다고 말해도 됩니다.

약간 상상을 발휘하면, $q_0$를 시간으로, $(q_1 , q_2, q_3)$을 공간상의 위치로 삼으면, 1차원 시간과 3차원 공간을 함께 서술할 수 있습니다.

다만 실제의 역사에서는 이런 식으로 발전하지는 않았습니다. 해밀턴이 사원수를 고안할 때에도 시간과 공간에 대한 관념이 아니라 그냥 복소수 개념을 더 확장하려는 순전히 사변적인 사유에 지나지 않았습니다. 결과적으로는 사원수가 더 발전하지 못하고, 이를 대치하는 스칼라-벡터 이론이 발전하면서, 결국 벡터가 시간과 공간을 서술하는 수학적 언어가 되었습니다. ("사원수에서 벡터로" 참조)