[정리 : 책+세미나] 양자역학을 어떻게 이해할까? : 패자부활전 (6) - 3장.상대성이론
모임 정리
양자역학
작성자
neomay33
작성일
2023-06-05 20:16
조회
2813
책 : 『양자역학을 어떻게 이해할까?』 장회익. 2022. 한울아카데미.
세미나 : 9~11회 (2023. 3/13, 3/20, 3/27)
범위 : "제3장 상대성이론" (pp.103-126)
이 글은 책 『양자역학을 어떻게 이해할까?』(장회익. 2022. 한울아카데미)와 강독 세미나의 내용 중 장회익선생님께서 설명해주신 부분을 중심으로 함께 정리한 것입니다.
강독 세미나를 시작한지 5개월 정도 됐는데요. 점점 어려워지고 있어서 심기일전한다는 생각으로 1장부터 현재 진도(5장)까지 정리하고 있습니다. 책 읽으시는 데 도움이 되면 좋겠습니다.
많이 봐주시고요. 우리 함께 부활해보아요~
아래 글에서
- 검정색글씨는 책에서 발췌,
- 보라색 글씨는 세미나에서 장회익선생님께서 말씀해주신 부분을 녹취해 요약한 것입니다.
* 아인슈타인의 특수상대성이론은 민코프스키의 4차원 선언을 통해 비로소 세계에 널리 알려졌다. 민코프스키의 4차원 해석은 우리 사고의 '바탕'에 깔려 있던 '3차원 공간+1차원 시간'을 '4차원 시공간' 개념으로 대치해준 것이다. 이와 같이 혁명적 새 이론을 수용하기 위해서는 새로운 '바탕 관념'이 필요하며 의식적인 존재론적 수정이 필요하다.(책 pp.106-108)
제3장 목차
제3장 상대성이론
3.1 특수상대성이론의 출현
- 아인슈타인과 민코프스키
3.2 복소수 공간과 4차원 위치-시각 공간
- 2차원 이해하기
- 상대속도로 본 2차원 T-X 공간의 의미
- 아인슈타인의 두 기본 명제들
3.3 4차원 운동량과 에너지의 정의
- 시간 간격의 상대성과 고유시간
- 4차원 속도와 4차원 운동량
- 고전적 근사와 에너지 표현
- 대상의 특성과 상태의 4차원적 확장
제3장 상대성이론
pp.103-126.
3.1 특수상대성이론의 출현
❖ 아인슈타인과 민코프스키
1905년 아인슈타인의 '특수상대성이론'이 학계에 출현.
- 아인슈타인은 빛의 성질을 이용했다. 그러나 특수상대성이론은 '빛'과 직접 관련이 없는 이론. 특수상대성이론은 시간과 공간이 특정한 방식으로 서로 엮여 있다고 하는 이론이다. 시간과 공간 변수들이 4차원으로 연결되는 구조 속에 하나의 보편상수 $c$가 관여되고 있는 것 뿐.
- 그렇다면 빛이 어째서 이 보편상수 $c$에 해당하는 속도로 움직이느냐? 이것은 시간과 공간이 지닌 이러한 성격을 바탕으로 별도로 규명해야 할 사안.
- 그러나 아인슈타인의 이론에서는 "광속일정"이라는 '빛의 성질'로서 하나의 '목마'를 만들고, 시간과 공간의 개념을 각각 '조작적 정의'라고 하는 특수한 방식으로 분쇄하여 이 목마 속에 감추고는 입성을 시도한다. 그 후에는 '로렌츠 변환'이라는 방식으로 이것을 다시 짜 맞추어 시간-공간 개념의 혁명을 일으킨다.
민코프스키의 논문. 1907.
- 아인슈타인의 논문이 발표된 지 2년 후인 1907년 민코프스키는 상대성이론을 시간-공간의 4차원적 성격으로 해석한 논문을 쓴다.
- 다음 해인 1908년 9월, 쾰른에서 제80차 독일자연과학자 및 의사학회에서 "공간과 시간"이라는 유명한 강연을 하고 ==> 이로써 특수상대성이론이 세계에 알려졌다.
아인슈타인의 불편한 가정 ==> 민코프스키가 해결
- 빛은 상대적으로 운동하는 두 좌표계에서 모두 같은 값을 가진다.(광속불변 가정)
- 아인슈타인의 '광속불변' 가정은 우리의 상식에 어긋난다. 시간과 공간의 개념은 우리 사고가 이루어지는 '바탕 관념' 곧 존재론의 일부를 형성하는데, 이 관념에 부합하는 것을 우리는 '사리'라고 의식.
- 이는 칸트가 말하는 이른바 '직관의 형식'이란 모습으로 우리의 사고를 지배한다. '광속불변' 가정은 바로 이 직관에 위배된다.
- 민코프스키의 4차원 해석은, 우리 사고의 '바탕'에 깔려 있던 '3차원 공간과 이와 독립된 1차원 시간'이라는 직관을 '4차원 시공간'이라는 개념으로 대치하는 것이 더욱 적절하다고 '의식적으로' 확인시켜준 것이다. ==> 혁명적 새 이론을 수용하기 위해서는 의식적인 존재론적 수정이 필요하다.
3.2 복소수 공간과 4차원 위치-시각 공간
위치-시각 공간 4차원 / 복소수 공간
- 특수상대성이론의 핵심은 위치 공간과 시각 공간이 합쳐서 4차원을 형성한다는 것.
- 3차원 공간에 수직하는 또 하나의 차원인 시간 축을 어떻게 만들 것인가? ==> 복소수 공간
- 가우스(Carl Friedrich Gauss. 1777-1855) 시대부터 허수 단위 $i (i^2 = 1)$가 알려져 있었다. 허수는 실수축에 대해 수직방향으로 또 하나의 축인 허수축을 구축하면서 가우스 평면이라는 2차원 복소수 공간을 이룬다.
- 위치 공간의 한 차원을 1차원 실수 공간에 대응시킨다면, 시각 공간은 복소수 공간의 허수 공간에 대응되어, 위치-시각 2차원 구조가 될 수 있다.=> 실제로 위치 공간은 서로 수직인 3개의 실수축을 지닌 3차원 공간. 시각 공간은 이들 모두에 수직인 허수 공간.==> 결과적으로 4차원 위치-시각 공간을 이룬다!
실수 공간? 허수 공간? (세미나 9회. 2023. 3. 13.)
- 실수 공간은 실제로 있고 허수 공간은 상상에만 있다고 흔히 생각하는데, 사실 수학적으로만 보자면 실수 공간이 실제로 있는 것이 아니다. 실제로 있는 공간에 넣을 수 있게 대응을 시키는 것일 뿐이다. 예를 들어서 어떤 막대 길이가 우리가 알고 있는 실수 공간에서는 수치로 얼마가 된다하고 쓰고 있을 뿐이지, $x$라고 하는 실수 공간 자체가 실제로 있는 것은 아니다.
- 우리가 실수 공간을 먼저 알았고 그 공간을 통해서 사물을 많이 표현했기 때문에 실제로 실수 공간이 있다고 생각하는 것이고, 허수 공간은 그것을 통해서 뭔가 현상을 서술한 바가 없기 때문에 상상 속에만 존재한다고 생각하는 것이다.
- 수학 체계는 근본적으로 그 자체가 어디에 대응 된다, 안 된다가 아니라 그 체계에 우리가 대응을 시키는 것인데, 허수에는 그동안 우리가 대응시킬 대상이 없었다. 하지만 수학적으로는 정의일 뿐이기 때문에 실수 공간과 허수 공간은 대등하다.
- 2차원 실수 공간은 물리적인 평면에 쉽게 대응이 되고, 3차원도 물리적인 높이에 잘 대응이 된다. 그래서 수학적인 것은 추상이고 물리적인 세계는 현실이라고 하면서 대응시켜왔는데 잘 맞더라하는 것 외에 다른 의미가 없다. 이것이 너무나 자연스러웠기 때문에 우리는 3차원 실수 공간이 자연계에 있는 것처럼 느끼는 것이다.
- 반면 허수는 그렇지 않다 해서 '허수'(imaginary number)라는 이름을 붙인 것이다. 그런데 만약 허수도 실수가 물리적인 세계에 잘 대응되는 것만큼 명백하게 잘 대응된다면, 하나는 '실'수라고 하고 다른 하나는 '허'수라고 하는 것은 무의미하다. 재미있는 것은 허수 공간을 시간에 대응을 시켜보면 실제로 잘 맞다.
❖ 2차원 이해하기
*3차원 또는 4차원을 이해하기 위해 그 안에 내포된 2차원을 먼저 이해해보자. X, Y, Z, T 4차원 안에는 X-Y, X-Z, Y-Z, T-X, T-Y, T-Z 등 모두 6개의 평면이 있다. 여기서는 편의상 X-Z 2차원 평면과 T-X 2차원 평면의 성격을 비교해보자.
두 사다리의 상대적 기울기 (X-Z 2차원 평면)
[그림 1] 두 사다리의 상대적 기울기 구하기. 여기서 사용된 탄젠트 가법정리는 아래의 [그림 2] 참조. (책 p.111. 그림 3-1)
[그림 2] '두 사다리의 상대적 기울기 구하기'에 필요한 탄젠트 가법정리 (그림에서 부록 A.4는 『장회익의 자연철학 강의』(장회익, 2019, 추수밭)를 참조)
❖ 상대속도로 본 2차원 T-X 공간의 의미
위와 같은 방법으로 T-X 평면이 지닌 성격을 생각해보자.
=> 형식상으로 X-Z 평면상의 도식과 똑같은 관계가 성립한다.
==> 수평축 T가 시간축, 수직축 X가 공간축. 여기서 T축은 시간을 나타내는 허수축으로서, 시간변수 $t$와 $\tau = ict$의 관계로 정의된 변수 $\tau$가 지향하는 방향이다.
===> 선분 OA와 OB는 벽에 걸린 사다리가 아니라 수평축 T를 기준으로 각각 서로 다른 속도로 움직이는 물체의 운동을 나타낸다.
[그림 3] T-X 평면에서 B에 대한 A의 상대속도 구하기. 고전 존재론에서 4차원 존재론으로 바뀌면, 두 물체 A, B 사이의 상대속도 $v_A'$는 A, B의 속도 뿐 아니라 상수 $c$에도 의존함을 알 수 있다. 여기서 $c$의 단위는 속도, 즉 거리/시간.(책 p.114)
상수 $c$의 본질적 의미?
- 결론적으로 말해서 상수 $c$는 빛의 속도와 같다.
- 그러나 상수 $c$ 도입 과정이나 식 (3-4)를 도출하는 과정에서 빛과 관련된 어떤 성질이나 가정을 도입하지 않았다.
- $ict$로 정의된 $\tau$를 다시 보자.
- $\tau$는 공간변수 $x, y, z$와 대등한 성격을 가진다. 즉 단위량이 같다.
- 여기서 $i$는 제곱하면 -1이 되는 복소수 단위일 뿐이며 물리적 크기와는 무관하다.
- 따라서 $ict$가 $x, y, z$와 단위량이 같으려면 $ct$의 단위량이 $x, y, z$와 동일한 거리 단위가 되어야 한다.==> $ct$의 단위가 거리가 되려면 $c$의 단위는 $[x][t]^{-1}$이 되어야 한다.
- 그런데 우리는 시간 단위 $[t]$가 거리 단위 $[x]$로 얼마에 해당하는지 고려 없이 각각의 단위를 임의로 정했다. 실제로 측정해 우리가 이미 알고 있는 빛의 속도를 $c$으로 넣으면 이 식이 현실에 가장 잘 부합되는 결과가 나온다.==> 4차원 존재론을 바탕으로 물리학 이론을 정식화할 경우 빛이라고 하는 존재물은 그 속도가 이 상수 $c$의 값을 가져야 한다는 사실이 이론적으로 도출된다.(제5장 식 (5-26). 책 p.169)
❖ 아인슈타인의 두 기본 명제들
상대성이론(1905년 논문)에서 아인슈타인이 사용한 두 가지 기본 명제
- 첫째, '상대성 원리'. 즉 "모든 자연법칙은 관측자의 속도에 무관하게 일정하다."
- 둘째, '광속일정의 원리'. 즉 "빛의 속도는 관측자의 속도에 무관하게 항상 일정하다."
아인슈타인의 시간과 공간
- 아인슈타인이 이 논문에서, 시간과 공간은 시계와 자를 통해 측정되는 그 무엇 이상도 이하도 아니라고 하는 일종의 조작적 정의만 제시.==> 시간과 공간을 관측 가능한 물리량으로 대체한 것. '바탕 관념'을 대안적 '바탕 관념'으로 바꾼 것이 아니라.
아인슈타인의 접근법이 가지는 약점
- 우리의 사고는 '바탕 관념'을 토대로 이루어지는데, 이를 도외시하고 순수한 논리적 공리체계에 바탕을 둔 가설-연역적 사고에만 의존함으로써 우리 직관과의 연결 채널을 차단.
- 우리 안에서 작동하는 기존의 '바탕 관념'을 명시적으로 해체하지 않았기 때문에, 우리는 무의식적으로 "사리에 맞지 않다"고 생각하게 된다.
==> 그러나 '4차원 시공간'을 바탕 관념, 즉 존재론을 새롭게 설정하고 나면, 그 안에 이미 아인슈타인이 제시한 두 가지 기본명제가 함축되어 들어간다는 것을 확인할 수 있다.(책 pp.114-115, p.118)
3.3 4차원 운동량과 에너지의 정의
이제 남은 문제는
- 이러한 4차원적 성격을 활용해 모든 자연법칙을 4차원적 성격에 맞는 형태로 재설정하는 일. 즉 4차원의 모든 방향에서 대등한 형태를 취하도록 만드는 작업을 의미.
- 이미 4차원의 한 성분이 된 시간변수를 어떻게 다룰 것이냐 ==> 4차원 좌표변환에 따라 시간의 간격이 어떻게 달라지는지 정리.
- 4차원 안에 놓인 모든 존재물들의 상태와 상태변화의 법칙들을 4차원 물리량 곧 4차원 벡터 형태로 표현하기.
- 4차원에서 에너지 표현
- 대상의 특성과 상태를 4차원적으로 확장하기
❖ 시간 간격의 상대성과 고유시간
4차원 좌표변환에 따라 시간의 간격은 어떻게 달라지는가
[그림 4] 움직이는 대상의 고유 시간 계산. $t_0$는 속도 $v$ 로 움직이는 대상 자체가 경험하는 시간. 즉 움직이는 대상이 차고 있는 시계에 나타나는 시간. 움직이는 대상의 '고유시간'으로, 정의상 관측 좌표계에 무관한 스칼라 양이다. (책 pp.119-121)
❖ 4차원 속도와 4차원 운동량
4차원 안에 놓인 모든 존재물들의 상태와 상태변화의 법칙들을 4차원 물리량(4차원 벡터 형태)으로 나타내기
[그림 5] 4차원 위치-시간 벡터를 바탕으로 4차원 물리량 구하기 : 4차원 속도 벡터 구하기 (책 pp.121-122)
[그림 6] 4차원 운동량 벡터 구하기 (책 p.123)
❖ 고전적 근사와 에너지 표현
[그림 7] 3차원 운동량의 크기 $p$와 에너지의 크기 $E$는 4차원 구조를 통해 서로 엮여 있다. (책 pp.124-125)
대상입자가 주변의 영향에 의해 받는 힘과 에너지
- 받는 힘의 효과는 정지질량의 위치 의존성으로 나타낼 수 있다. 이는 대상 입자를 둘러싼 주변의 영향을 실효질량(effective mass) 형태로 흡수한 것.
- 어떤 대상이 퍼텐셜 에너지 $V(x)$에 의한 힘을 받고 있을 때 실효질량 $m(x)$는 다음과 같이 표현한다.(이렇게 보존력을 입자에 반영하면 간단해진다.)
- $m(x) c^2 = mc^2 + V(x) $ (3-22)
- $m$ : 대상이 아무 힘도 받지 않을 경우에 해당하는 질량.
- $mc^2$에 해당하는 에너지는 운동과 무관. 에너지 $E$의 기준치는 임의로 설정할 수 있으므로, 에너지 $E$의 기준을 $mc^2$으로 잡으면(즉 $mc^2=0$) ==> 식 (3-1)은 좋은 근사로 다음과 같이 표현된다.
- $E \approx \frac{p^2}{2m} + V(x)$ (3-23) : 이 식은 고전역학에서 얻은 역학적 에너지 (2-22)식과 일치한다.
❖ 대상의 특성과 상태의 4차원적 확장
지금까지의 논의에 의거해 규정한 특성
- 고전역학에서 규정하는 단일 입자로 구성된 대상의 특성
- 대상의 질량
- 대상이 받고 있는 힘
- 보존력을 받고 있는 경우에는 공간의 퍼텐셜 에너지
- 대상의 질량 $m$을 (3-22)식의 방식으로 일반화해본다면
- $m(x) = m_0 + \frac{V(x)}{c^2}$ (3-24) <=== $m(x) c^2 = mc^2 + V(x) $ (3-22)
- 이 질량 안에는 이미 이것이 받고 있는 힘(보존력)이 포함된다.==> 따라서 보존력을 받고 있는 대상의 경우, (3-24)식으로 정의된 질량 $m(x)$만으로 나타낼 수 있다.
지금까지의 논의에 의거해 규정한 상태 : 시각 t에서 대상이 가지게 될 상태
- 위치 : $\textbf{x} = (\vec{r}, ict)$
- 운동량 : $(\vec{p}, \frac{iE}{c})$여기서 4차원 운동량 벡터는 대상의 특성 $m=m(x)$와 관련해 다음을 만족한다.$\sum_{\mu}^{} {p_\mu}^2 = p^2 - \frac{E^2}{c^2} = -m^2c^2$
(『양자역학을 어떻게 이해할까?』 제3장 상대성이론 - 끝.)
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3장 상대성이론 부분은 수식 이해하고 정리하느라 세미나 녹취는 별로 못했습니다. 나중에 추가하도록 하겠습니다.
보시고 틀린 데나 이상한 곳이 있으면 말씀해주세요.
수고 많으셨습니다. 그림이 일취월장하는 느낌입니다. 그림이 친숙해서 어려운 내용을 다루는 상황인데도 뭔가 쉬워지는 느낌도 듭니다.
감사합니다! \^^/ (이제 4, 5장 들어가야 하는데 걱정이 태산입니다. ^^;;;)