그림을 이용한 삼각함수 극한과 미분
<양자역학을 어떻게 이해할까?> 68쪽 12째 줄에서 $$\frac{d}{dt}\cos t = -\sin t$$를 이용하는 것이 나옵니다. 삼각함수의 개념을 이해하는 것 자체도 그리 만만하지 않은데, 그 도함수는 더 낯선 이야기일 것 같습니다.
이전에 <자연철학 강의> 세미나를 위해 neomay3님이 예쁜 글씨와 그림이 담긴 그림노트를 올려주셨습니다.
자연철학 그림노트 4 - 삼각함수의 미분 (부록 A9 & A5)
그런데 이 유도과정에는 삼각함수의 덧셈정리라 부르는 것을 이용해야 하기 때문에 조금 덜 직관적인 느낌이 있습니다. 그래서 마지막에 적혀 있는 것처럼 "<자연철학 강의> 585쪽에도 나와 있지만 여기는 잘 모르겠습니다."가 자연스럽습니다.
이 부분을 아래 그림을 이용하여 증명할 수 있습니다.
이 그림에서 초록색 원호가 포함된 곡선은 반지름이 1인 원입니다. 각은 '한 바퀴'를 360도로 놓을 수도 있지만, 반지름 1인 원의 원호의 길이를 그냥 각의 정의로 삼으면, '한 바퀴'가 $2\pi$가 됩니다. 위의 그림에서 초록선 원호, 즉 두 선분 OA, OB이 끊어내는 초록색 원호의 길이는 곧 $\theta$가 됩니다.
위의 그림을 이용하여 $$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$$임을 증명할 수 있습니다.
자주색 삼각형 밑변의 길이가 1이고 높이가 $\sin\theta$이므로 그 넓이는$\frac{1}{2} 1\cdot \sin\theta = \frac{1}{2}\sin\theta$가 됩니다. 초록색 원호와 자주색 삼각형의 두 변으로 만들어지는 부채꼴 모양의 넓이는 $\pi \cdot 1^2 \cdot (\theta /2\pi) = \frac{1}{2}\theta$입니다. 이제 보라색 삼각형의 넓이는 밑변이 1이고 높이는 $\tan\theta$이므로 넓이가 $\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \tan\theta=\frac{1}{2}\tan\theta$가 됩니다.
세 넓이를 비교하면 $$\frac{1}{2}\sin\theta \le \frac{1}{2}\theta \le \frac{1}{2}\tan\theta$$ 즉 $$\sin\theta \le \theta \le \tan\theta$$입니다. $$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$이므로 $$\sin\theta \le \theta \le \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$이고 이 부등식을 $\sin\theta$로 나누면 $$1 \le \frac{\theta}{\sin\theta} \le \frac{1}{\cos\theta}$$을 얻습니다. $\theta$가 아주 작다면 $$1 \le \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\theta}{\sin\theta} \le \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{\cos\theta}$$이 될 겁니다. 그런데 $$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{\cos\theta}=1$$이므로, 결국 $$1 \le \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\theta}{\sin\theta} \le 1$$이 됩니다. 부등식의 양쪽이 모두 1이니까, 가운데 있는 것도 1이 되어야 합니다. 따라서 $$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\theta}{\sin\theta}=1$$ 또는 $$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$$을 증명한 것이 됩니다.
유도 과정에서 $$1 \le \frac{\sin\theta}{\theta} \le \frac{1}{\cos\theta}$$로부터 $$\cos\theta \le \frac{\sin\theta}{\theta} \le 1$$를 먼저 얻은 뒤, 부등식의 양쪽에 극한을 취하는 방법도 있습니다.
도함수의 정의는 $$\frac{d}{dt} f(t) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$$이므로 코사인 함수의 경우에 $$\begin{align}\frac{d}{dt}\cos t &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos(t+h)-\cos t}{h} \\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ - 2 \sin (t+h/2) \sin (h/2)}{h} \\ &= - \left(\lim_{h\rightarrow 0} \sin (t + h/2)\right)\cdot \left(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \sin (h/2)}{h/2} \right)\\ &= - \sin t \left( \lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{ \sin \theta }{\theta}\right) \\ &= -\sin t \end{align}$$임을 증명할 수 있습니다. 마지막 등호에서 위에서 유도한 극한 공식을 사용했습니다. 그 직전의 등식에서는 $\theta = h/2$로 바꾸었습니다.
삼각함수의 공식 중 $$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ 또는 $$\cos (t+h)=\cos t \cos h - \sin t \sin h$$를 이용하면, 다음과 같이 유도할 수도 있습니다. $$\begin{align} \frac{d}{dt}\cos t &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos(t+h)-\cos t}{h} \\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \cos t \cos h - \sin t \sin h -\cos t}{h} \\ &= \cos t \left(\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos h - 1}{h}\right) - \sin t \left(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \sin (h)}{h} \right)\\ &= 0 - \sin t \cdot 1 \\ &= -\sin t \end{align}$$ 여기에서 위에서 유도한 극한 공식 $$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$$과 함께 $$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$$을 이용했습니다. 뒤의 공식은 다음과 같이 유도할 수 있습니다. 먼저 $$\begin{align} \frac{1-\cos h}{h} &= \frac{(1-\cos h)(1+\cos h)}{h(1+\cos h)} \\ &= \frac{1-\cos^2 h}{h(1+\cos h)} \\ &= \frac{\sin^2 h}{h(1+\cos h)} \\ &=\frac{\sin^2 h}{h^2}\cdot \frac{h}{1+\cos h} \\ &= \left(\frac{\sin h}{h} \right)^2 \cdot \frac{h}{1+\cos h}\end{align}$$이므로, $$\begin{align} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos h - 1}{h} &= - \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1-\cos h}{h} \\ &= - \left( \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \right)^2 \cdot \lim_{h\rightarrow 0} \left( \frac{h}{1+\cos h} \right) \\ &= -1^2 \cdot 0 = 0\end{align}$$
더 상세한 것은 가령 https://bit.ly/3xz8Fj5를 참조할 수 있습니다.
번호 | 제목 | 작성자 | 작성일 | 추천 | 조회 |
공지사항 |
[자료] 유튜브 대담영상 "자연철학이야기" 녹취록 & 카툰 링크 모음 (2)
neomay33
|
2023.04.20
|
추천 2
|
조회 8174
|
neomay33 | 2023.04.20 | 2 | 8174 |
공지사항 |
<양자역학을 어떻게 이해할까?> 강독모임 계획 안내 (1)
시인처럼
|
2023.01.30
|
추천 0
|
조회 7891
|
시인처럼 | 2023.01.30 | 0 | 7891 |
공지사항 |
『양자역학을 어떻게 이해할까?』 정오표 (10)
시인처럼
|
2022.12.22
|
추천 3
|
조회 10315
|
시인처럼 | 2022.12.22 | 3 | 10315 |
공지사항 |
[공지] 게시판 카테고리 설정에 대해서 (4)
시인처럼
|
2022.03.07
|
추천 0
|
조회 9388
|
시인처럼 | 2022.03.07 | 0 | 9388 |
공지사항 |
새 자연철학 세미나 보완 계획 (3)
시인처럼
|
2022.01.20
|
추천 0
|
조회 10205
|
시인처럼 | 2022.01.20 | 0 | 10205 |
공지사항 |
새 자연철학 세미나 - 안내
neomay33
|
2021.10.24
|
추천 0
|
조회 9917
|
neomay33 | 2021.10.24 | 0 | 9917 |
536 |
그림을 이용한 삼각함수 극한과 미분
자연사랑
|
2023.02.20
|
추천 1
|
조회 2777
|
자연사랑 | 2023.02.20 | 1 | 2777 |
535 |
[자료] 자연철학 그림노트 4 - 삼각함수의 미분 (4)
neomay33
|
2023.02.14
|
추천 0
|
조회 2603
|
neomay33 | 2023.02.14 | 0 | 2603 |
534 |
큐비트, 블로흐 구, 양자정보 (1)
자연사랑
|
2023.02.13
|
추천 1
|
조회 4312
|
자연사랑 | 2023.02.13 | 1 | 4312 |
533 |
양자얽힘과 측정의 문제 (양자정보) (4)
자연사랑
|
2023.02.13
|
추천 3
|
조회 4747
|
자연사랑 | 2023.02.13 | 3 | 4747 |
532 |
양자역학과 철학의 관계에 대한 스티븐 와인버그의 글
자연사랑
|
2023.02.06
|
추천 2
|
조회 4620
|
자연사랑 | 2023.02.06 | 2 | 4620 |
531 |
물리학과 실재 (아인슈타인 1936) - 독일어본 (2)
자연사랑
|
2023.01.17
|
추천 5
|
조회 5220
|
자연사랑 | 2023.01.17 | 5 | 5220 |
530 |
<양자역학 이해하기>라는 제목의 책 몇 가지 (1)
자연사랑
|
2023.01.17
|
추천 5
|
조회 4155
|
자연사랑 | 2023.01.17 | 5 | 4155 |
529 |
양자와 마음: 양자역학과 의식 사이의 연결에 관한 논문들 (1)
자연사랑
|
2023.01.16
|
추천 3
|
조회 4889
|
자연사랑 | 2023.01.16 | 3 | 4889 |
528 |
물리적 개념과 인간의 경험 기반 (2)
자연사랑
|
2023.01.10
|
추천 4
|
조회 4361
|
자연사랑 | 2023.01.10 | 4 | 4361 |
527 |
양자역학의 존재론
자연사랑
|
2023.01.10
|
추천 3
|
조회 6010
|
자연사랑 | 2023.01.10 | 3 | 6010 |