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N [자료] 푸리에 변환과 힐버트 공간	2024.12.10
양자역학이 답하고 있는 문제: 상태를 어떻게 서술할까?	2024.12.09
[책꼽문] 책새벽-화/금. 『세계철학사 3』 6장. 기학의 표현주의	2024.12.09
양자역학이 답하려 했던 문제 (4)	2024.12.04
[책꼽문] 책새벽-화/금. 『세계철학사 3』 5장. 표현주의의 두 길.	2024.11.28

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N 제가 이 두 중요한 질문에 대한 저의 의견을 위에 달아놓았었는데, 오히려 질문에는 답글을 달지 않아서 그 의견을 아직 읽지 않으셨을 수도 있겠다는 생각이 듭니다. 질문 1에 대한 저의 의견: 만유인력 vs 중력장 질문 2에 대한 저의 의견: 시간, 공간, 시공간의 휘어짐과 중력	2024.12.10
상호작용이 없는 측정(엘리추르-바이드만)을 실제로 시뮬레이션으로 확인해 볼 수 있는 사이트가 유용합니다. Quantum bomb	2024.12.09
12월 9일 세미나를 위해 "변별체 개념"이라 제목을 붙인 글이 도움이 될 수도 있겠습니다. 위의 글은 제목을 "양자역학이 답하려 했던 문제"라고 해 놓고는 "초기 양자론이 답하려 했던 문제"만 다룬 느낌이 없지 않습니다. 어떤 면에서는 양자역학이 답하려 했던 문제란 다름 아니라 세상 모든 것, 삼라만상의 작동원리라고 해도 크게 틀린 것은 아니라고 생각합니다. 종종 양자역학이 미시세계에 적용되는 물리학 이론인 듯이 말하는 경우가 있는데, 양자역학을 근원적으로 보면 실상 대상의 크기와 별개로 세상 모든 것에 적용되는 보편적 동역학 원리라고 보는 게 더 적절할 것입니다.	2024.12.08
아인슈타인 방정식의 풀이는 꽤 많습니다. 아래의 책에는 민코프스키 시공간(Minkowski space-time), 드시테르 시공간(de Sitter space-time), 반 드시테르 시공간(Anti-de Sitter space-time), 프리드만-르메트르-로버트슨 워커 시공간(Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker space-times), 슈바르츠쉴트 시공간(Schwarzschild space-time), 커-뉴먼 시공간(Kerr-Newman space-time), Taub–NUT space-time 등 여러 시공간을 차례로 설명하고 있습니다. * Jerry B. Griffiths, Jiří Podolský (2009) Exact Space-Times in Einstein's General Relativity. Cambridge University Press. (https://a.co/d/8rbvjie)	2024.12.07
비유클리드(non-Euclidean)이란 수식어는 대략 세 가지 경우에 사용됩니다. 우선 '비유클리드 기하학'이라는 표현이 있습니다. 19세기 이전까지 확고하게 믿어왔던 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에 대비하여 새롭게 나타난 기하학이란 뜻입니다. 로바체프스키, 보여이, 가우스, 리만 등이 새롭게 제안한 기하학으로서 가장 중요한 차이는 피타고라스 정리가 성립하는가 여부입니다. 참조: https://greenacademy.re.kr/archives/1224 비유클리드 공간(non-Euclidean space)이란 표현도 드물게 나오는데, 여기에서 '공간'은 수학적인 집합이란 의미입니다. 유클리드 기하학이 아닌 기하학에서 정의된 공간입니다. 유클리드 공간(Euclidean space)는 수학적으로 정확하게 정의된 개념이지만, 비유클리드 공간이라는 것은 그냥 유클리드 공간이 아닌 기하학적 또는 대수학적 공간이란 점에서 별로 유용하지 않습니다. 19세기 이전에는 물리적 공간은 당연히 유클리드 공간이라고 믿었습니다. 비유클리드 기하학이 등장했지만, 물리적 공간과는 아무 관련이 없는 수학적인 이론으로 여겨졌습니다. 여기에 찬물을 끼얹은 것이 바로 알버트 아인슈타인입니다. 순전히 사변적인 수학이론에 속했던 비유클리드 기하학을 현실의 공간에 적용해야 한다고 주장한 것이니까요. 일반상대성이론의 놀라움은 바로 여기에 있습니다. 그래서 다음으로 상대성이론에서는 비유클리드 시공간(non-Euclidean spacetime)이란 표현을 쓰기도 하는데, 이것은 유클리드 기하학이 적용되지 않을 뿐 아니라 공간과 시간을 묶어 '시공간(spacetime)'으로 보아야 한다는 믿음을 나타냅니다. 특수상대성이론에 등장하는 4차원 시공간을 민코프스키 시공간(Minkowski spacetime)이라 부르는데, 이 시공간에서는 유클리드 기하학이 일부분 적용됩니다. 유클리드 기하학에서는 $r^2 = x^2 + y^2 + z^2$이 불변입니다. 이것을 흔히 피타고라스 정리가 성립한다고 말합니다. 또 이렇게 불변인 양을 '불변 이차형식'이라 부릅니다. 이와 달리 민코프스키 기하학은 $s^2 = - t^2 + x^2 + y^2 + z^2$이 불변입니다. $t^2$ 앞에 마이너스 부호가 있어서, 민코프스키 시공간은 유사-유클리드(peudo-Euclidean)이라고 부릅니다. 만일 $t \rightarrow \tau = i t $와 같이 복소수를 도입하면 $s^2 = \tau^2 + x^2 + y^2 + z^2$이 불변이므로, 명실 공히 유클리드 공간이 됩니다. 대신 4차원이죠. 요컨대, 불변 이차형식에 마이너스가 포함되면 '유사-유클리드 시공간'이라 부르고, 복소수 좌표를 도입하여 불변 이차형식이 모두 플러스가 되면 '유클리드 시공간'이 됩니다. 즉 민코프스키 시공간은 좌표를 표현하는 선택에 따라 '유사-유클리드 시공간'이 될 수도 있고 '유클리드 시공간'이 될 수도 있습니다. 비유클리드 시공간은 비유클리드 기하학을 적용해야 하는 시공간을 가리킵니다. 일반상대성이론에서는 4차원 시공간을 사용하지만, 차원의 수는 얼마든지 바뀔 수 있습니다. 가령 칼루차-클라인 이론에서는 시공간이 5차원이 되고, 초끈 이론에서는 26차원이나 10차원이 됩니다. 그러나 유클리드 공간 또는 유클리드 시공간으로서의 성질을 잃어버리기 때문에 유클리드 기하학을 적용할 수 없습니다. "특수상대성이론에서는 시공간이 4차원을 이루며, 그 시공간은 민코프스키 시공간이며, 일반상대성이론에서는 시공간이 4차원을 이루되 그 시공간은 민코프스키 시공간뿐 아니라 비유클리드 기하학으로 서술되는 시공간이 모두 허용된다."라는 표현은 정확합니다. 동시에 시공간만 따지고 보면 아무 시공간이나 다 허용되는 것은 아니고, 반드시 아인슈타인 방정식을 충족시켜야 합니다. 적어도 현재까지의 믿음으로는 물리적 시공간이 되려면 그 시공간에서 정의된 거리함수 텐서가 아인슈타인 방정식의 풀이가 되어야 합니다. 아인슈타인 방정식의 풀이 중 대표적인 것인 슈바르츠쉴트 풀이, FLRW(프리드만-르메트르-로버트슨-워커) 풀이, 커 풀이, 바일 풀이, 괴델 풀이 같은 것입니다.	2024.12.07

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