앞에서 푸리에 해석을 살짝 소개했습니다.

다소 무리하게
$$f(t)= a_1 \sin\omega_1 t + a_2 \sin\omega_2 t + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin\omega_n t$$
가 된다는 식으로 이야기했는데, 정확하지는 않습니다.

이제부터 조금씩 더 정확하게 이야기를 만들어 가 보기로 하죠.

어떤 주기적인 함수 $f(t)$가 적당히 좋은 성질을 다 가지고 있다고 가정하면
$$f(t)= a_1 \sin\omega t + a_2 \sin 2 \omega t +a_3 \sin 3\omega t + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin (n \omega t)$$
와 같이 쓸 수 있다는 것입니다. 위의 경우와 다른 점은 $\omega_n$이라는 정체를 알 수 없는 진동수를 쓰는 대신 그냥 기본진동수 한 가지 $\omega$만 생각하고, 이것을 두 배, 세 배 이렇게 늘려가기로 한 점입니다. 이를 흔히 배음(倍音 harmonics)이라 부릅니다.

이 말은 일단 거짓말입니다. 단순하게 생각하면 왼쪽에서 $t$ 대신 $-t$를 넣은 결과를 보면 오른쪽에서 모두 $-$가 사인 함수 속에서 밖으로 빠져나오기 때문에
$$f(-t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin (n \omega (-t))=- \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin (n \omega t)=-f(t)$$
가 되어야 합니다. 이런 함수를 '홀함수' 또는 '기함수(奇函數)'라 합니다. 한자로 홀수를 기수(奇數)라 하기 때문에 이런 이름이 나왔습니다. 영어로 odd number 또는 odd function이라서 그냥 odd를 직역하여 '奇'로 번역한 결과입니다.
이와 달리 $$f(-t)=f(t)$$인 함수도 생각할 수 있습니다. 이런 함수를 '짝함수' 또는 '우함수(偶函數)'라 합니다. 영어로는 even function입니다. '우偶'라는 한자가 배우자(配偶者) 같은 데 쓰이는 '짝 우'라서 even의 번역어로 채택되었습니다. 짝수를 한자로 偶數라 합니다.

우함수의 경우에는 위의 경우처럼 사인 함수를 쓸 수 없다는 것이 명확하므로 위의 식은 분명히 틀렸습니다. 하지만 대안이 있습니다. 코사인 함수를 쓰는 것이죠.
$$f(t)= b_1 \cos\omega t + b_2 \cos2\omega t + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos(n \omega t)$$
하지만 이번에는 기함수가 또 배제됩니다.

아하, 좋은 방법이 있네요. 사인과 코사인을 모두 사용하는 겁니다.
$$\begin{align}
f(t)&= a_1 \sin\omega t + a_2 \sin2\omega t + \cdots + b_1 \cos\omega t + b_2 \cos2\omega t + \cdots \\
&=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(n\omega t) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos(n\omega t)\end{align}$$
가만히 살펴보면 아하 상수가 빠졌군요.
$$f(t)=b_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(n\omega t) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos(n\omega t)$$

이것은 벡터 $\vec{A}$를 성분들로 나누어 생각하는 것과 비슷합니다.
$$\vec{A}=c_1 \vec{e}_1 + c_2 \vec{e}_2 +\cdots = \sum_{i=1}^{n} c_i \vec{e}_i$$
여기에서 $c_i$을 성분이라 하고 $\vec{e}_i$을 기저라 부릅니다.

위의 푸리에 해석과 비교하면 $a_n , b_n$이 성분이고 사인함수나 코사인 함수가 기저가 되는 것처럼 보입니다. 쉽지는 않지만 꽤 많은 경우에 정말 그렇다는 것을 증명할 수 있습니다. (증명 자체는 상당히 어렵습니다.)

만일 $f(t)$가 주기적인 함수가 아니라면 위에서 말한 것이 대부분 잘 안 맞습니다. 하지만 비주기적인 보통 함수라 해도 사실상 모든 가능한 사인과 코사인을 다 포함시키면 위의 식처럼 쓸 수 있을지도 모릅니다. 즉 배음을 무수히 많이 포함시키면 그 어떤 신호도 다 나타낼 수 있을 겁니다. 대신 그렇게 되면 띄엄띄엄 떨어진 배음으로 다 안 될 터라서 기본진동수 $\omega$가 아주 작아지는 셈이고, 덧셈은 아주 촘촘해져서 결국 적분으로 바뀝니다.

정확하지 않더라도 개념이 잘 보이도록 수식을 써 보면 아래와 같이 쓸 수 있겠습니다.
$$\begin{align}f(t)&= \lim_{\omega\rightarrow 0}\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(n\omega t) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos(n\omega t) \right)\\
&= \int_0 ^\infty \left\{ a(\omega) \sin \omega t + b(\omega) \cos\omega t \right\} d\omega\end{align}$$
사인과 코사인을 늘상 붙이고 다니는 게 번거로우니까
$$e^{i\omega t} = \cos\omega t + i \sin\omega t$$
라는 드므와브르의 공식 또는 오일러의 공식을 이용하면, 위의 식은
$$ f(t) = \int_0 ^\infty g(\omega) e^{i \omega t} d\omega$$
의 모양이 됩니다. 적분의 상한과 하한이 문제인데, 사인은 기함수이고 코사인은 우함수임을 이용하면 적당히 계수를 재정의해서
$$ f(t) = \int_{-\infty} ^\infty F(\omega) e^{i \omega t} d\omega$$
로 쓸 수 있습니다.
반대로 쓸 수도 있습니다.
$$ F(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty} ^\infty f(t) e^{-i \omega t} dt$$
앞의 계수 $ \frac{1}{2\pi}$는 무척 혼동스럽습니다만, 신경쓰지 않아도 됩니다. 실질적인 계산을 할 일은 없을 테니까요.

그래도 계수가 한쪽에만 있으면 대칭적이지 않으니까 공평하게 배분하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\begin{align} f(t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^\infty F(\omega) e^{i \omega t} d\omega\\
F(\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^\infty f(t) e^{-i \omega t} dt \end{align}$$
이렇게 해서 어떤 함수 $f(t)$가 있으면 위의 식처럼 해서 $F(\omega)$를 대응시킬 수 있게 되었습니다.

앞의 글에서 신호를 시간의 함수로 쓸 수도 있지만 푸리에 해석(스펙트럼 분석)을 해서 진동수의 함수로 바꿀 수도 있다고 했던 것을 기억하실 겁니다. 바로 이 상호 변환이 위의 식입니다. 이것이 푸리에 변환입니다.
$$ f(t) \leftrightarrow F(\omega)$$
이제 함수를 $t$의 함수가 아니라 $x$의 함수라고 하면, 그 때 마주보는 변수를 가령 $k$라 쓸 수 있습니다.
$$ f(x) \leftrightarrow F(k)$$
그 경우에는
$$ \begin{align}f(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty} ^\infty F(k) e^{i k x} d k\\
F(k) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^\infty f(x) e^{-i k x} dx\end{align}$$
이 됩니다. 이 $f(t)$와 $f(x)$를 함께 쓰면
$$ \begin{align}f(x, t) &= \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^2 \int_{-\infty} ^\infty\int_{-\infty} ^\infty F(k, \omega) e^{i (k x - \omega t)} d k d\omega\\
F(k,\omega) &=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^2 \int_{-\infty} ^\infty\int_{-\infty} ^\infty f(x, t) e^{-i (k x- \omega t)} dx dt\end{align}$$
가 됩니다. 다시 쓰면
$$ \begin{align}f(x, t) &= \frac{1}{2\pi} \int F(k, \omega) e^{i (k x - \omega t)} d k d\omega\\
F(k,\omega) &= \frac{1}{2\pi} \int f(x, t) e^{-i (k x- \omega t)} dx dt\end{align}$$
함수 기호가 여럿 나오면 로마자로 부족해집니다. 그래서 수학자나 물리학자는 오래 전부터 그리스 문자를 선호했습니다. 그리스 문자 $\Psi$(ㅍ시 psi), $\Phi$(ㅍ히 phi)를 써서 나타내면 다음과 같습니다.
$$ \begin{align}\Psi(x, t) &= \frac{1}{2\pi}\int \Phi(k, \omega) e^{i (k x - \omega t)} d k d\omega\\
\Phi(k,\omega) &= \frac{1}{2\pi}\int \Psi(x, t) e^{-i (k x- \omega t)} dx dt\end{align}$$
이 식을 <장회익의 자연철학 강의> 214-215쪽에 있는 식 (4-4)와 (4-5)와 비교해 보시기 바랍니다. 똑같죠?

이렇게 해서 $\Psi(x, t)$와 $\Phi(k,\omega)$라는 한 켤레의 함수가 서로 푸리에 변환이라는 관계로 얽혀 있음을 보였습니다.

장회익 선생님은 $\Phi(k,\omega)$를 $\Psi(x, t)$의 '맞함수'라 이름붙이고, $(x, t)$라는 '공간'에 대하여 $(k,\omega)$라는 '공간'을 '맞공간'이라 이름붙였습니다.

한 쪽을 알면 다른 하나도 정해지는데, 필요에 따라 양쪽을 왔다갔다 하면서 원하는 정보를 얻어내면 됩니다.