상대성이론의 해석과 관련된 글이 올라와서 물리학 이론의 형식체계와 그 해석에 대한 논의와 관련된 글을 올립니다. 

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루트비히(Ludwig, 1971, 1978, 1974-9, 1983)는 물리학 이론을 엄밀한 공리적 기초 위에 놓으려 했다. 그는 물리적 이론(Physikalische Theorie, PT)의 일반적인 구조로서, 다음과 같은 세 가지의 구성요소를 제시했다.

(i) 수학적 형식이론(Mathematische Theorie, MT) : 수학적으로 공리적 기초를 가질 수 있는 이론

(ii) 세계 영역(Welt, W, domain of reality) : 수학적 형식이론이 기술하고자 하는 대상

(iii) 대응원리(MAP, a set of mapping principles) 또는 해석(interpretation)

이 중에서 연결원리(MAP)는 실재의 영역과 수학적 형식이론을 대응시키는 규칙으로서, 흔히 수학적 형식이론(MT)의 ‘해석’(interpretation)이라 불린다. 양자역학에서 부딪히는 여러 난점들은 주로 이 해석(MAP)에 있다. 물리이론(PT)의 공리적 기초를 제대로 찾아낸다면, 해석상의 여러 난점들은 최소로 줄어들 것이다.

루트비히의 전략은 수학적 이론(MT)을 최대로 엄밀하게 구성한 뒤에, 적절한 대응원리(MAP)를 찾아냄으로써 물리이론(PT)을 완성하려는 데에 있다. 수학적 이론은 공리적 기초가 될 수 있다. 이 말은 모든 수학적 이론(MT)은 물리이론(PT)에서 떨어져서 그 자체로 연구될 수 있다는 부르바키(Bourbaki)적 이상을 의미한다. 그 뒤에 적절한 대응원리(MAP)를 찾기 위해 루트비히가 택하는 방법은 다음과 같은 그의 언명에서 찾아볼 수 있다.

“우리는 대응원리라는 개념 속에는 무엇인가가 대응된다는 점이 내재함을 강조하고자 한다. 우리가 내세우는 유일한 요구는 이 대응되는 무엇인가(what is being mapped)가 별도로 새로운 이론을 필요로 하지 않는 실험과 경험으로 표현될 수 있어야 한다는 것이다.”(Ludwig 1983:3)

그러나 루드비히가 말하는 ‘이론에 앞선 경험’이 곧 매개 없는 직접경험(immediate experience)으로서의 실험을 상정하는 것은 아니다. 루드비히의 ‘실험’이란 단순히 실험물리학자들이 말하는 실험과 같은 것이다. 즉, 이 경험은 ‘모든 이론’에 앞선 경험이 아니라, 지금 관심이 되는 새로운 이론에 앞선 경험이다. 이를 루드비히는 ‘기초영역’(fundamental domain)이라 지칭한다. 이 ‘기초영역’이 새로운 이론의 도움으로 세계 영역(domain of reality)으로 확장되는 것이다.

“그러므로 우리가 양자역학을 공리적 기초로 정식화하고자 한다면, 우리는 실험물리학자들이 단일한 미시계를 가지고 수행하는 실험이라 부를만한 것으로 시작할 밖에 도리가 없다.”(Ludwig 1983:5)

물론, 여기에서 ‘미시계’라는 말은 양자역학이 거시적인 대상에 적절하지 않다는 소박한 관찰의 반영일 뿐이며, ‘단일한’이란 말은 엄밀하게 말하자면 틀린 수식어이다. 양자역학에서의 실험은 정말로 단 하나의 대상계에 대한 실험이 아니라, 충분히 많은 수의 일련의 대상계, 즉 앙상블(ensemble, Systemgesamtheit)에 대한 실험이다. 그러나 여러 대상계에 대한 실험을 단일한 대상계에 대한 실험으로 간주하기 위해서는 모든 대상계를 똑같도록 준비해야 한다. 이렇게 여러 대상계를 똑같다고 말할 수 있기 위해서는 그 대상계에 특정의 ‘준비과정’(preparation procedure)을 대응시킬 수 있어야 한다. 이 ‘준비과정’에서는 여러 가지 실험적 방법과 실험장치들이 사용된다. 그러나 이 실험적 방법이나 실험장치들은 양자역학의 지식 없이도 마련되어야 하므로, ‘준비과정’은 양자역학의 ‘기초영역’에 속할 것을 우리는 요구해야 한다.

이렇게 마련된 미시계를 가지고, 미시계의 구조를 살펴보기 위해서는 다시 이 미시계에 두 번째 장치를 들이대어야 한다. 그러나 이 두 번째 장치 역시 양자역학과는 무관하게 서술되어야 하므로, 양자역학의 ‘기초영역’에 속하는 이 두 번째 실험장치는 어떤 물리량의 ‘측정장치’(measuring apparatus)가 아니라 단순히 ‘기록장치’(registration apparatus)에 지나지 않는다. 실험장치에 나타나는 실험결과는 아직 양자역학과는 무관한 단순한 숫자일 뿐이다.

루드비히는 이러한 논의를 바탕으로 어떤 실험에 대한 모든 실험적 배열이 ‘준비장치’(준비과정)와 ‘기록장치’로 구성됨을 주장하고 있다. 그러나 일련의 실험적 배열에서 어디까지가 ‘준비장치’이고 어디부터가 ‘기록장치’인지는 임의적이다. 중요한 것은 준비장치와 기록장치가 결정이 되고 나면, 그로부터 우리가 얻어낼 수 있는 실험결과의 값은 통계학적으로 확정된다는 점이다. 이 때 준비장치(준비과정)에 해당하는 것을 대상계의 ‘상태’라 하고, 기록장치에 나타나는 것을 ‘효과’라 하자. 이와 같이 물리량의 측정은 ‘상태’의 준비와 ‘효과’의 기록이라는 이중적 의미를 지닌다.

우리의 관심은 적절하게 선택한 세계 영역에 대하여 수학적 형식이론이 갖추어야 하는 요소이다. 앞에서 말한 것처럼 물리량의 측정이 갖는 이중적 의미를 고려할 때, 일반적으로 물리계의 수학적 형식이론은 다음과 같이 구성된다(Giuntini 1991:1-8; Hughes 1989).

물리계의 수학적 형식이론은 $\langle O, S, p\rangle$로 나타낼 수 있다. a) 물리량에 대한 수학적 표현의 집합 $O$
b) 물리계에 할당할 수 있는 상태들에 대한 수학적 표현의 집합 $S$
c) 상태 $s\in S$에 있는 계에서 물리량 $A$의 값이 특정의 범위 안에 있을 확률을 결정하는 확률함수 $p(A=a, s)$

가령 고전역학의 경우에는 a) 물리량을 실수값 함수로 표현하며, b) 상태의 집합은 위상공간으로서, 상태는 위치와 운동량의 값으로 표현하며, c) 확률함수는 0 아니면 1의 값만을 갖는 특성함수이다. 이와 같이 물리량과 상태를 구분하면 양자역학의 경우와 직접 비교할 수 있는 이점이 있다.

양자역학은 a) 물리량을 선형(자기수반) 연산자로 표현하며, b) 상태의 집합은 힐버트 공간으로서, 상태는 힐버트 공간의 한 벡터로 표현하며, c) 확률함수는 보른의 해석규칙을 따른다.

• Giuntini, R. (1991). Quantum logic and hidden variables, Wissenschaftsverlag.
• Hughes, R.I.G. (1989). The structure and interpretation of quantum mechanics, Harvard University Press.
• Ludwig, G. (1978). Die Grundstrukturen einer physikalischen Theorie, Springer.
• Ludwig, G. (1983). Foundations of quantum mechanics I, Springer.