1930년 폴 아드리안 모리스 디랙(Paul Adrien Maurice Dirac 1902-1984)은 <양자역학의 원리>라는 책을 옥스퍼드 대학 출판부에서 출간했습니다. 양자역학이란 것이 1925-6년에 처음 등장했음을 감안하면 불과 4-5년 사이에 이렇게 양자역학 전체를 아우르는 책을 출간하는 일이 이례적이라는 느낌이 들 수 있습니다. 이후 2판 (1935년), 3판 (1947년), 4판 (1958년), 4판 수정본 (1967년)이 차례로 나왔고, 그 뒤 거의 매년 새로 인쇄되었습니다.

• P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, First Edition (Oxford: Clarendon Press,
  1930);
• idem, Second Edition (Oxford: Clarendon Press, 1935);
• idem, Third Edition (Oxford: Clarendon Press, 1947);
• idem, Fourth Edition (Oxford: Clarendon Press, 1958);
• idem, Fourth Edition (Revised) (Oxford: Clarendon Press, 1967).

1판은 2천부 이상 팔렸고, 바로 외국어 번역판들이 쏟아져 나왔습니다. 베르너 블로흐(Werner Bloch)가 독일어로 번역한 것이 1930년에 나와서 영어판보다도 더 인기가 좋았습니다. 당시 물리학계의 링구아 프랑카는 독일어였기 때문입니다. 1931년에는 프랑스어 번역판이, 1932년에는 러이사어 번역판이, 1936년에는 일본어 번역판이 나왔습니다. 디랙은 카피차나 이고르 탐 등 러시아 물리학자와 매우 가까웠고, 이바넨코가 편집하고 레닌그라드 출신의 젊은 물리학자 마트베이 브론스테인이 번역을 맡았습니다. 독일어본과 러시아어본은 영어본보다 더 날개돋힌 듯 팔렸습니다.

지금의 판본은 1967에 나온 4판의 수정본의 영인본입니다. 2013년까지는 옥스퍼드 대학 출판부에서 나왔는데, 그 뒤 출판사가 바뀌었습니다. 2019년에는 아마존 킨들도서와 epub 전자도서도 나왔습니다. (https://amzn.to/440nhG9)

• P. A. M. Dirac (1958/1967). The Principles of Quantum Mechanics. 4th ed. Oxford University Press.

이 책의 목차는 다음과 같습니다.

I. 중첩의 원리
  1. 양자이론의 필요성
  2. 빛알의 편광
  3. 빛알의 간섭
  4. 중첩과 미결정성
  5. 원리의 수학적 정식화
  6. 브라 벡터와 켓 벡터
II. 동역학적 변수와 관측가능량
III. 표현
IV. 양자조건
V. 운동방정식
VI. 기초적인 응용
VII. 섭동이론
VIII. 충돌 문제
IX. 비슷한 여러 입자들이 있는 계
X. 복사 이론
XI. 상대론적 전자이론
XII. 양자전기역학

II장 이후의 내용은 테크니컬한 양자물리학의 문제를 상세하게 해설하고 풀어놓은 것이고, 특히 뒤의 세 장은 빛의 양자이론, 디랙 방정식, 양자장이론으로서의 양자전기역학을 다루고 있습니다.

양자역학의 존재론적 측면을 보고자 할 때에는 자연스럽게 I장에 집중하게 됩니다. 1판에 비해 4판에 이르기까지 여러 차례 수정된 I부는 먼저 고전역학 또는 고전물리학이 실패한 지점에서 시작합니다. 왜 양자이론이 필요한지 그 동기를 일목요연하게 핵심적으로 설명합니다. 여기에서 바로 고전역학의 상태 개념의 한계를 지적합니다. 1판에서는 상태 개념에 대해 그다지 분명하게 하지 않고 바로 빛의 편광과 관련된 이야기를 전개해서 독자들이 비판했습니다. 그래서 2판 이후 개념을 더 분명하게 합니다.

1판에서는 다음과 같이 말합니다.

"We must regard the state of a system as referring to its condition throughout an indefinite period of time and not to its condition at a particular time, which would make the state a function of the time. Thus a state refers to a region of 4-dimensional space-time and not to a region of 3-dimensional space. A system, when once prepared in a given state, remains in that state so long as it remains undisturbed." (1e, pp. 7-8)

"우리는 계의 상태가 특정 시각에서의 조건이 아니라 무한한 시간 동안 유지되는 그 조건을 가리키는 것으로 여겨야 한다. 특정 시간에서의 조건으로 보면 상태는 시간의 함수가 되어야 할 것이다. 따라서 상태는 3차원 공간의 한 영역이 아니라 4차원 시공간의 한 영역을 가리킨다. 계는 일단 어느 한 상태로 준비되면 외부의 교란이 없는 한 그 상태에 머물러 있게 된다."

상대성이론에 익숙했고 당시의 지배적 관심도 상대성이론이었기에 자연스럽게 4차원 시공간을 출발점으로 삼았지만, 이후 사람들이 이를 진지하게 비판했습니다. 그래서 2판에서는 아예 서문에서 이 선택이 부적합했음을 길게 설명하면서, 상태는 시간의 함수로 보는 것이 가장 적절하다고 말합니다.

4판에서는 계의 병행운동 상태(translantional state), 즉 고전역학에서 위치와 속도(운동량)로 규정하는 상태 개념을 확장하여 상태를 다음과 같이 정의합니다.

"A state of a system may be defined as an undisturbed motion that is restricted by as many conditions or data as are theoretically possible without mutual interference or contradiction. In practice the conditions could be imposed by a suitable preparation of the system, consisting perhaps in passing it through various kinds of sorting apparatus, such as slits and polarimeters, the system being left undisturbed after the preparation." (4e, pp. 11-12)

"계의 상태는 상호간섭이나 충돌 없이 이론적으로 가능한 만큼 조건이나 데이터로 제한되는 비교란 운동으로 정의될 수 있다. 실제에서 그 조건은 계의 적당한 준비로 부과될 수 있다. 다양한 종류의 분류장치, 가령 실틈이나 편광기를 계가 지나갈 때 계의 상태가 준비되며, 준비된 후로는 교란받지 않고 머물러 있게 된다."

위의 인용문은 빛의 편광과 간섭을 다룬 2절과 3절 후에 나옵니다. 2절과 3절에서 디랙은 빛의 상태를 나타내는 방식에 대해 아주 상세하게 모호함 없이 설명하고 있습니다. 이에 대한 해설은 따로 글을 올리겠습니다.

그런 뒤에 빛의 편광과 간섭에서 얻은 그 상태 개념으로부터 '중첩의 원리'를 끌어내고 양자역학의 상태도 이와 마찬가지라고 주장합니다. 하지만 소위 미결정성 때문에 세세한 상태 규정이 원천적으로 막혀 있습니다. 그래서 이를 일반중첩원리라고 새로 부르면서 양자역학의 상태를 서술하기 위한 출발점으로 선택합니다. 4절의 제목이 "중첩과 미결정성"인 것은 그런 이유입니다. 그리고 이제까지 직관적으로 물리적 상황을 설명한 것을 어떻게 수학적으로 서술할 것인가 하는 것을 5절에서 다룹니다. 수학적 정식화입니다. 그러면서 1939년에 자신이 제안한 브라 벡터(bra vector)와 켓 벡터(ket vector)가 가장 알맞은 수학적 언어라고 제안합니다. 이것이 6절의 내용입니다.

이제 이런 맥락을 염두에 두면서 디랙의 책에 나오는 구절들을 보면 더할 나위 없이 명료하고 정확하게 양자역학의 수학적 정식화를 다루고 있음을 볼 수 있습니다.

"The general principle of superposition of quantum mechanics applies to the states, with either of the above meanings, of any one dynamical system. It requires us to assume that between these states there exist peculiar relationships such that whenever the system is definitely in one state we can consider it as being partly in each of two or more other states. The original state must be regarded as the result of a kind of superposition of the two or more new states, in a way that cannot be conceived on classical ideas. Any state may be considered as the result of a superposition of two or more other states, and indeed in an infinite number of ways. Conversely any two or more states may be superposed to give a new state. The procedure of expressing a state as the result of superposition of a number of other states is a mathematical procedure that is always permissible, independent of any reference to physical conditions, like the procedure of resolving a wave into Fourier components. Whether it is useful in any particular case, though, depends on the special physical conditions of the problem under consideration." (p. 12)

"양자 역학의 일반 중첩 원리는 위의 의미 중 어느 쪽이든 임의의 하나의 동역학계의 상태에 적용된다. 그것은 계가 어떤 하나의 명확한 상태에 있을 때마다 이를 부분적으로 둘 이상의 다른 상태 각각에 있다고 생각할 수 있는 독특한 관계가 이러한 상태 사이에 존재한다고 가정할 것을 요구한다. 원래의 상태는 고전적 관념에서 생각할 수 없는 방식으로 둘 이상의 새로운 상태의 일종의 중첩 결과로 간주되어야 한다. 모든 상태는 두 개 이상의 다른 상태가 중첩된 결과로 간주될 수 있으며 실제로 무한한 수의 방식으로 간주될 수 있다. 반대로 두 개 이상의 상태를 중첩하여 새로운 상태를 만들 수 있다. 여러 다른 상태의 중첩 결과로 상태를 표현하는 절차는 파동을 푸리에 구성 요소로 분해하는 절차와 같이 물리적 조건과 무관하게 항상 허용되는 수학적 절차이다. 그러나 특정 경우에 유용한지 여부는 풀고자 하는 문제의 특수한 물리적 조건에 따라 다르다." (p. 12)

디랙은 비록 '일반중첩원리'라는 표현을 쓰고 있긴 하지만, 동역학 계의 상태를 규정할 때 가장 본질적인 성질이 바로 선형성임에 주목합니다. 상태를 나타내는 수학적 대상(가령 함수나 벡터)이 주어질 때 그 수학적 대상을 더한 것도 다른 상태가 된다는 것을 출발점으로 삼고 있습니다.

그러면서도 이것이 고전역학의 파동에서 볼 수 있는 그 중첩과 다르다는 점을 여러 번 강조합니다.

"The nature of the relationships which the superposition principle requires to exist between the states of any system is of a kind that cannot be explained in terms of familiar physical concepts. One cannot in the classical sense picture a system being partly in each of two states and see the equivalence of this to the system being completely in some other state. There is an entirely new idea involved, to which one must get accustomed and in terms of which one must proceed to build up an exact mathematical theory, without having any detailed classical picture." (p. 12)

"계의 상태들 사이에 성립해야 하느 중첩 원리의 본성은 익숙한 물리적 개념으로 설명할 수 없는 종류이다. 고전적인 의미에서는 계가 부분적으로 두 상태 각각에 있는 것을 상상할 수 없으며 어느 한 상태에 있는 계가 다른 상태에 있는 것과 동등하다고 볼 수 없다. 여기에는 완전히 새로운 아이디어가 들어 있으며, 우리는 여기에 익숙해져야 하고 상세한 고전적 그림 없이 정확한 수학적 이론을 구축하기 위해 나아가야 한다." (p. 12)

수학적 언어에 출중했던 디랙은 양자역학에 대한 철학적 (특히 존재론적) 해석을 덧붙이는 대신 수학적 정식화에 국한하려 애썼습니다.

"When a state is formed by the superposition of two other states, it will have properties that are in some vague way intermediate between those of the two original states and that approach more or less closely to those of either of them according to the greater or less 'weight' attached to this state in the superposition process. The new state is completely defined by the two original states when their relative weights in the superposition process are known, together with a certain phase difference, the exact meaning of weights and phases being provided in the general case by the mathematical theory." (p. 13)

"하나의 상태가 다른 두 상태의 중첩에 의해 형성될 때, 그것은 두 원래 상태의 속성 사이에 모호한 방식으로 중간적 속성을 가지며, 중첩 과정에서 이 상태에 붙는 '가중치'에 따라 크거나 작은 상태에 따르는 두 속성 중 하나에 더 근접한 속성을 갖게 된다. 새로운 상태는 중첩 과정에서 상대 가중치를 특정 위상차와 함께 알게 되면 두 개의 원래 상태로부터 완전히 정의되며, 일반적인 경우에 가중치 및 위상의 정확한 의미는 수학이론을 통해 주어진다." (p. 13)

"The assumption of superposition relationships between the states leads to a mathematical theory in which the equations that define a state are linear in the unknowns. In consequence of this, people have tried to establish analogies with systems in classical mechanics, such as vibrating strings or membranes, which are governed by linear equations and for which, therefore, a superposition principle holds. Such analogies have led to the name 'Wave Mechanics' being sometimes given to quantum mechanics. It is important to remember, however, that the superposition that occurs in quantum mechanics is of an essentially different nature from any occurring in the classical theory, as is shown by the fact that the quantum superposition principle demands indeterminacy in the results of observations in order to be capable of a sensible physical interpretation. The analogies are thus liable to be misleading." (p. 14)

"상태 간의 중첩 관계에 대한 가정은 상태를 정의하는 수식이 미지수에에 대해 선형인 수학 이론으로 이어진다. 그 결과 사람들은 진동하는 끈이나 막과 같이 선형 방정식에 의해 지배되고 따라서 중첩 원리가 적용되는 고전 역학의 시스템과 유사성을 확립하려고 노력했다. 이러한 유비는 종종 양자역학의 동의어로 사용되는 '파동역학'이라는 이름으로 이어졌다. 그러나 양자역학에서 발생하는 중첩은 고전 이론에서 발생하는 것과 본질적으로 다르다는 점을 기억하는 것이 중요하다. 합리적인 물리적 해석이 가능하기 위해서는 양자 중첩 원리가 관찰 결과의 불확정성을 요구한다는 사실에서 알 수 있다. 따라서 이러한 유비는 오해의 소지가 있다." (p. 14)

"Quantum mechanics provides a good example of the new ideas. It requires the states of a dynamical system and the dynamical variables to be interconnected in quite strange ways that are unintelligible from the classical standpoint. The states and dynamical variables have to be represented by mathematical quantities of different natures from those ordinarily used in physics. The new scheme becomes a precise physical theory when all the axioms and rules of manipulation governing the mathematical quantities are specified and when in addition certain laws are laid down connecting physical facts with the mathematical formalism, so that from any given physical conditions equations between the mathematical quantities may be inferred and vice versa. In an application of the theory one would be given certain physical information, which one would proceed to express by equations between the mathematical quantities. One would then deduce new equations with the help of the axioms and rules of manipulation and would conclude by interpreting these new equations as physical conditions. The justification for the whole scheme depends, apart from internal consistency, on the agreement of the final results with experiment." (pp. 14-15)

"양자 역학은 새로운 아이디어의 좋은 예가 된다. 그것이 요구하는 동역학계의 상태와 동역학적 변수는 고전적인 관점에서 이해할 수 없는 매우 이상한 방식으로 상호 연결된다. 상태와 동역학적 변수는 물리학에서 일반적으로 사용되는 것과 다른 성격을 지닌 수학적 양으로 표현되어야 한다. 새로운 틀이 정확한 물리이론이 되기 위해서는 수학적 양을 지배하는 모든 공리와 조작 규칙이 지정되어야 하며 추가로 물리적 사실과 수학적 형식론을 연결하는 특정 법칙이 지정되어야 한다. 이를 통해 어떤 주어진 물리적 조건으로부터라도 수학적 양들 사이의 수식을 추론할 수 있을 것이며 그 반대도 가능할 것이다. 이론의 적용에서 특정한 물리적 정보가 주어질 것이며, 이는 수학적 양들 사이의 수식으로 표현될 것이다. 그런 다음 공리와 조작 규칙의 도움으로 새로운 수식을 추론하고 이러한 새로운 수식을 물리적 조건으로 해석하여 결론을 내릴 것이다. 전체 틀에 대한 정당화는 내적 일관성과는 별개로 최종 결과와 실험의 일치에 달려 있다." (pp. 14-15)

"We now assume that each state of a dynamical system at a particular time corresponds to a ket vecter, the correspondence being such that if a state results from the superposition of certain other states, its corresponding ket vector is expressible linearly in terms of the corresponding ket vectors of the other states, and conversely." (p. 16)

"우리는 이제 다음과 같이 가정한다. 특정 시간에 동역학계의 각 상태는 케트 벡터(ket vector)에 대응하며, 그 대응은 어떤 상태가 특정 다른 상태의 중첩으로 생기는 경우 해당 ket 벡터는 다른 상태들을 나타내는 해당 ket 벡터들의 선형결합으로 표현할 수 있고, 그 역도 성립한다." (p. 16)

요컨대, 디랙은 고전물리학이 물리현상을 설명하는 데 부적합해서 양자역학이 필요함을 설명하고, 빛의 편광과 간섭에서 기본적인 예시를 제시하면서, 양자역학의 상태를 서술하는 수학적 도구의 가장 중요한 특징으로 '중첩(superposition)'을 제시합니다. 요즘 식으로 말하면 '선형결합(linear combination)'입니다. 디랙이 이 '중첩'이 고전역학적 파동의 중첩과 다름을 강조하면서도 '중첩'이라는 용어를 버리지 못한 것은 어쩔 수 없는 시대적 한계일 수도 있겠습니다.

디랙은 이 '일반중첩원리'를 가장 잘 구현하는 수학적 언어로 벡터공간이론을 제시합니다. 워낙 새로운 개념과 용어를 잘 만들어내던 탁월한 수리물리학자이다 보니, 당시 수학자들이 '벡터'라고 부르던 것을 '켓(ket)'이라는 새로운 이름으로 부릅니다. 뾰족한 괄호 < >를 영어로 bracket이라 부르는 것에 착안하여 $\langle u | v \rangle$와 같은 모양의 수학적 대상을 bra-c-ket으로 나누어 $\langle u|$를 bra, $|v\rangle$을 ket라 부르자고 하는 것이 여간 영민한 선택이 아닌 듯 합니다.

이 제안을 한 것이 1939년입니다.

• P.A.M. Dirac (1939). "A new notation for quantum mechanics". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 35 (3): 416–418. doi:10.1017/S0305004100021162

1947년에 나온 <양자역학의 원리> 3판에서 이 개념과 언어를 전폭적으로 도입한 것은 무척 당연한 일이겠습니다.

디랙의 <양자역학의 원리>는 조금 특별한 점이 있습니다. 과학사학자의 관점에서 보면, 이 책은 양자역학에 대한 물리적 해석을 최소화하고 수학적 형식체계에 집중하고 있습니다. 이와 비견할 수 있는 책은 1932년에 헝가리 출신의 수학자 요한 폰노이만(너이만 야노시 Neumann János Lajos 1903-1957)이 낸 <양자역학의 수학적 기초>입니다.

• Johann von Neumann (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Springer.

디랙의 책과 폰노이만의 책은 당시 여러 가지로 논란이 되던 양자역학이 정확히 무엇인지 수학적 형식체계를 규정하고 명료하게 했을 뿐 아니라 사실상 모든 물리학자가 출발점으로 삼는 기준이 되었습니다. 그래서 흔히 양자역학이 무엇인가 하고 물으면 Dirac-von Neumann 형식체계로 정의된 물리학 이론이라고 대답합니다.

The-Principles-of-Quantum-Mechanics-4th-Edition-Paul-A.M.-Dirac.pdf

about-Dirac.pdf