수소원자 문제를 풀면 상태함수가 $$\psi_{n\ell m}(r, \theta, \varphi) = R_{n\ell} (r) Y_{\ell m}(\theta, \varphi)$$의 꼴로 주어지며, 이 때 함수 $R_{n\ell}$과 $Y_{\ell m}$은 수학적으로 완전히 알려져 있습니다.

여기에서 상태를 정하는 번호를 '양자수' 또는 '양자번호'라 부릅니다. 수소원자문제의 경우에는 네 가지가 있습니다. 그것은 $(n, \ell, m, m_s)$으로 나타내는데, 이를 이용하여 상태함수를 그냥 $|n, \ell, m, m_s \rangle$로 쓸 수도 있습니다. 이 양자수에는 따로 이름도 있습니다. 각각 주양자수(으뜸 양자번호), 부양자수(버금 양자번호), 자기양자수, 스핀양자수라 부릅니다. 스핀양자수까지 나오면 더 복잡해지지만 이 부분은 단지 추가적인 요소이기 때문에 처음 수소원자를 다룰 때에는 스핀양자수에 대해서는 생략하고 나중에 덧붙여도 되겠습니다. 

모든 수가 다 허용되는 것은 아니고, <양자역학을 어떻게 이해할까?> 212-213쪽에 나와 있는 것처럼 제한됩니다. 그 결과를 다시 쓰면 $$\begin{align} n&= 1, 2, \cdots \\ \ell &=0, 1, 2, n-1 \\ m&= -\ell, -\ell +1 , \cdots, 0, \cdots, \ell-1, \ell \\ m_s &= \pm \frac{1}{2} \end{align}$$과 같습니다.  이를 아래와 같은 표로 쓸 수도 있습니다.

[그림 출처: quantumechanicscourse.weebly.com]

그림으로 그리기가 쉽지는 않지만, 굳이 그림으로 표현한 것이 아래 그림입니다.

[그림 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital ]

작은 네모 오른쪽 아래에 있는 세 개의 숫자가 $(n, \ell, m)$을 나타냅니다. $1s$에 해당하는 $(1, 0, 0)$은 이 그림에서 빠져 있습니다. 또 $(2, 1, -1)$, $(3, 1, -1)$ 등 $m$이 음수인 것도 빠져 있습니다.

$\ell=0$인 것만 모아 보면 흥미로운 점을 볼 수 있습니다. LibreTexts에 설명된 내용이 친절하고 상세합니다.

[그림 출처: chem.libretexts.org]

상태함수, 즉 사건야기성향 또는 존재표출성향으로서의 상태함수를 보면 $1s$, $2s$, $3s$에 대해 (a)와 같은 그림이 나옵니다. 여기에서 오렌지색으로 칠한 곳은 상태함수의 값이 양인 부분이고 파란색으로 칠한 곳은 상태함수의 값이 음인 부분입니다. 상태함수의 값이 0인 곳을 마디(node)라 하는데, $n$의 값에 따라 마디의 갯수가 나오는 것도 흥미로운 점입니다. 상태함수의 값을 제곱한 것이 확률인데 (c)에서 볼 수 있듯이 $2s$나 $3s$의 경우 안쪽에도 전자가 분포할 수 있습니다.

상태함수를 $$\psi_{n\ell m}(r, \theta, \varphi) = R_{n\ell} (r) Y_{\ell m}(\theta, \varphi)$$로 쓸 때 반지름 방향, 즉 중심으로 사방팔방으로 뻗어나가는 방향의 여러 곳에 변별체를 둘 때 사건이 일어날 성향을 말해 주는 것이 $R_{n\ell}(r)$입니다. 위도나 경도에 해당하는 각도 의존성은 $Y_{\ell m}(\theta, \varphi)$라는 함수에 모두 들어 있습니다. 이 함수는 19세기에 매우 상세하게 탐구되었고, 구면조화함수라는 이름도 갖고 있습니다. <양자역학을 어떻게 이해할까?> 214쪽 위에 설명되어 있습니다.

이 구면조화함수라는 이름은 영어 spherical harmonics의 번역인데, 이 용어를 처음 도입한 것은 1867년 윌리엄 톰슨과 피터 거쓰리 타이트였습니다. Treatise on Natural Philosophy 즉 "자연철학론"이라는 거창한 제목의 책을 냈는데, 책을 열어보면 마치 물리학 교과서 같은 느낌을 줍니다. 윌리엄 톰슨(William Thomson)은 열역학 법칙들을 탐구하고 엔트로피와 관련된 연구도 했으며, 특히 절대온도의 기준을 세웠습니다. 나중에 영국 빅토리아 여왕으로부터 작위를 수여받고 켈빈경(Baron Kelvin)이 됩니다. 피터 거쓰리 타이트(Peter Guthrie Tait)는 사원수 연구로 유명합니다.

구면조화함수라는 이름이 나오기 전 이미 피에르-시몽 라플라스( Pierre-Simon de Laplace)가 천체역학을 연구하면서 이 함수의 성질을 상당히 밝혀 놓았고, 또 그보다 조금 앞서 역시 프랑스의 수학자 아드리앙-마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)가 거의 비슷한 연구를 했습니다. 구면조화함수는 뉴턴의 중력 이론, 전기학 이론 등 물리학 곳곳에서 등장하여 감초 같은 역할을 합니다. 지금은 구면조화함수의 모든 성질이 표준화되어 어디를 찾아보아도 정확하게 나옵니다.

이를 그림으로 나타내면 신비한 느낌이 듭니다.

https://www.michaelfogleman.com/static/spherical-harmonics/

[그림 출처: wikimedia.org]

이 그림이 원자에서 전자의 분포를 나타내는 것처럼 서술된 책들이 꽤 있습니다. 하지만 정확히 말하면 이 그림은 양자역학과 별개로 그냥 구면조화함수를 그린 것입니다. 또 전자의 분포를 나타내려면 이 함수를 제곱해야 하는데, 그러면 꽤 다른 모양이 나옵니다.