<양자역학을 어떻게 이해할까?> 203-209쪽에 "조화진자의 양자역학적 상태: 연산자 교환관계 활용법"이 나오는데, 이 부분이 다소 추상적이고 배경지식으로 상당한 수준의 수학을 알고 있어야 하기 때문에, 수식들 중간 단계를 조금 더 적어 보충하고자 합니다.

상태함수를 $\Psi(x, t)$와 같이 위치와 시간의 함수로 쓸 수도 있지만, 단순히 가장 중요한 정보만을 담아서 마치 집주소를 적듯이 표시할 수도 있습니다. 가령 대한민국 국회의사당은 [서울, 영등포, 의사당대로, 1]과 같이 네 가지 표식으로 명료하게 규정할 수 있습니다.  인터넷 상의 주소도 IPv4의 경우 네 개의 숫자로 나타낼 수 있습니다. 가령 [112.164.11.123]과 같은 식입니다.

양자역학의 상태도 이렇게 중요한 정보로 대표할 수 있습니다.

조화진동 즉 위치에너지가 거리의 제곱에 비례하는 경우에는 에너지 고유값이 $$ E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar \omega \ ; \ (n=0, 1, 2, \cdots)$$가 되고, 그 때의 상태함수는 $$\psi_n (x) = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{\pi} 2^n n! x_0}} e^{-x^2 / 2 x_0 ^2 }H_n (\frac{x}{x_0})$$가 된다는 것이 200쪽에 있습니다. 여기에서 가장 중요한 표식은 무엇일까요? 쉽게 $n$이라는 숫자가 가장 핵심적이면서 하나뿐인 표식임을 짐작할 수 있습니다.

그렇다면 위에 쓴 것처럼 복잡하게 쓰는 대신 그냥 $$[n]$$이라고 써도 상태함수를 나타낼 수 있을 것입니다. 그런데 여러 역사적/수학적인 이유로 이렇게 네모 모양 괄호를 쓰는 대신 $$|n\rangle$$과 같이 씁니다. 이를 영어로 "n ket" 한국어로 '엔 켓'이라고 읽습니다.

1939년 4월, 영국의 물리학자 폴 디랙이 <양자역학의 새로운 기호법>이란 제목의 논문을 Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society에 투고했습니다. 거기에서 양자역학에서 상태를 나타내는 새로운 방식을 제안했습니다.

물리학 분야에서는 기대값(평균)을 세모 모양 괄호 <  >로 표시하는 관례가 있었는데, 여기에서 착안하여 $$ \langle \hat{A} \rangle = \int \psi (x) \hat{A} \psi (x) dx = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle$$과 같은 꼴로 쓴 뒤에, 상태함수 또는 상태벡터를 $| \psi \rangle$과 같이 쓰자고 한 것입니다. 영어로 < >의 이름이 bracket이니까 이것을 마치 bra c ket 처럼 생각해서, $\langle \psi |$를 bra라 부르고 $| \psi \rangle$를 ket라 불렀습니다. 그러면 기대값 계산이 브라와 연산자와 켓의 곱 비스무레한 게 됩니다.

여하간 조화진동의 상태는 $|n\rangle$과 같이 쓸 수 있습니다.

203쪽 (6-23)식처럼 풀어야 할 문제는 $$\hat{H} |\psi\rangle = \left(\frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{x}^2 \right) |\psi\rangle = E|\psi \rangle$$입니다. 이 식에서 $|\psi\rangle$(프시 켓)과 $E$를 구해야 합니다.

잘 보면 제곱항 두 개, 즉 $\hat{p}^2$와 $\hat{x}^2$를 더한 모양입니다. 복잡하게 보이니까 (6-24)식처럼 적당히 인수를 곱해서 $$\hat{H} =\hbar\omega \frac{1}{2} \left( \hat{P}^2 + \hat{Q}^2\right)$$의 꼴로 바꿉니다. 이것이 (6-25)식입니다.

인수를 곱한 새로운 연산자는 $$\hat{P}=\frac{\hat{p}}{\sqrt{m\hbar\omega}} , \quad \hat{Q}=\hat{x} \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$$로 정의합니다. 단위를 따져보면 $\hat{Q}$와 $\hat{P}$는 차원없는 양, 즉 단위가 없는 양임을 알 수 있습니다. 그래서 해밀토니안에서 에너지 단위의 $\hbar\omega$가 인수로 있고, 나머지 부분이 $$\frac{1}{2} (\hat{P}^2 +\hat{Q}^2)$$가 됩니다.

제곱한 것 두 개를 더한 것은 다루기 불편하니까, 이를 두 인수의 곱으로 '인수분해'합니다. 그 결과가 $$ \frac{1}{2} \left( \hat{P}^2 + \hat{Q}^2\right) = \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}$$입니다. 여기에서 (6-27)식으로 $\hat{a}$와 $\hat{a}^\dagger$를 정의합니다. 즉 $$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{Q}+i\hat{P}) \ , \quad \hat{a}^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{Q}-i\hat{P})$$중간 단계는 조금 복잡해 보이지만, 여하간 결과를 알고 보면 그렇게 할 수 있음을 납득할 수 있을 듯 합니다.

$$ \begin{align}\hat{a}^\dagger \hat{a} &=\frac{1}{2} \left( \hat{Q} - i \hat{P}\right)\left( \hat{Q} + i \hat{P}\right) \\ &=\frac{1}{2} \left( \hat{Q}^2 + \hat{P}^2 + i \hat{Q}\hat{P} - i \hat{P}\hat{Q}  \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \hat{Q}^2 + \hat{P}^2\right) + \frac{i}{2} [ \hat{Q}, \hat{P}]\end{align}$$를 얻습니다. 유의할 점은 보통의 곱하기와 달리 연산자의 곱은 순서가 바뀌면 달라지기 때문에 곱의 교환법칙을 적용하면 안 된다는 것입니다. 여기에서 $$[ \hat{Q}, \hat{P}]=\hat{Q}\hat{P} -  \hat{P}\hat{Q}$$라는 정의를 이용했습니다.

그런데 (6-26)식에 있는 것처럼 $$\begin{align} [\hat{Q}, \hat{P}] &= [ \hat{x} \sqrt{m\omega / \hbar}, \frac{\hat{p}}{\sqrt{m\omega \hbar}}] \\ & = \frac{\sqrt{m\omega / \hbar}}{ \sqrt{m\omega \hbar}} [\hat{x}, \hat{p}] \\ & =\frac{1}{\hbar} \frac{\cancel{\sqrt{m\omega }}}{ \cancel{\sqrt{m\omega }}} [\hat{x}, \hat{p}] \\ &= \frac{1}{\hbar} [\hat{x}, \hat{p}] \\ &= \frac{i\hbar}{\hbar}= i \end{align}$$를 얻습니다.

이를 이용하면 $$\begin{align}[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] &= [\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{Q}+i\hat{P}) , \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{Q}-i\hat{P})] \\ &= \frac{1}{2}\left( -i[\hat{Q}, \hat{P}] +i [\hat{P}, \hat{Q}]\right) \\ &= \frac{1}{2}(1 + 1)=\frac{2}{2}=1\end{align}$$을 얻을 수 있습니다.

$$\hat{a}^\dagger \hat{a} = \frac{1}{2} \left( \hat{P}^2 + \hat{Q}^2\right) - \frac{1}{2}$$
이므로 $$ \frac{1}{2} \left( \hat{P}^2 + \hat{Q}^2\right)= \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}$$가 되고, 결국 $$\hat{H} =\hbar\omega \frac{1}{2} \left( \hat{P}^2 + \hat{Q}^2\right) = \hbar \omega \left( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}\right)$$을 얻습니다. 이것이 (6-29)식입니다.

그런데 $\hat{a}^\dagger \hat{a}$라는 연산자가 여러 면에서 아주 쓸모가 많습니다. 그래서   $\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$와 같이 새로운 연산자를 정의합니다. 그 이름이 '수 연산자(number operator)'가 되는 이유는 분명합니다.

편리를 위해서 (6-28)식의 교환관계식으로부터 $$ [ \hat{N} , \hat{a}^\dagger] = \hat{a}^\dagger \ , \quad  [\hat{N} , \hat{a} ] = - \hat{a}$$를 계산할 수 있습니다. 중간 단계는 $$ [ \hat{N} , \hat{a}^\dagger] = [ \hat{a}^\dagger \hat{a} , \hat{a}^\dagger] = \hat{a}^\dagger[  \hat{a} , \hat{a}^\dagger] + [ \hat{a}^\dagger  , \hat{a}^\dagger] \hat{a} = \hat{a}^\dagger$$와 같습니다.

이제까지는 해밀터니언 연산자를 이런저런 방식으로 변형하고 새로운 연산자를 도입했습니다. 이제부터 본격적으로 고유값 문제를 풀 단계입니다.

(6-30)식처럼 $$\hat{N}|n\rangle = n|n\rangle$$과 같이 $|n\rangle$을 정의하고, (6-30)식과 (6-31)식을 비교해 보면, 애초에 풀려고 했던 문제 즉 (6-23)식의 문제에서 고유상태 $|n\rangle$는 결국 (6-30)식의 풀이가 됨을 알 수 있습니다. 그리고 그 때의 고유값 $n$은 숫자가 됩니다. 양자역학을 본격적으로 다루게 되면 $\hat{N}$이 자기수반 연산자임을 보일 수 있고, 그렇기 때문에 고유값이 실수가 된다는 것을 증명할 수 있습니다.

205쪽 맨 끝에 있는 수식의 중간단계는 아래와 같습니다. $$\begin{align} \hat{N} \hat{a}^\dagger |n\rangle
&= \left(  \hat{a}^\dagger\hat{N} + [ \hat{N}, \hat{a}^\dagger] \right) |n\rangle \\
& = \left(  \hat{a}^\dagger \hat{N} +  \hat{a}^\dagger \right) |n\rangle \\
&=  \left(  \hat{a}^\dagger \hat{N} \right) |n\rangle + \hat{a}^\dagger  |n\rangle \\
&=  \hat{a}^\dagger \left(\hat{N}  |n\rangle\right) + \hat{a}^\dagger  |n\rangle \\
&=  \hat{a}^\dagger \left(n  |n\rangle\right) + \hat{a}^\dagger  |n\rangle \\
&=  n \hat{a}^\dagger   |n\rangle + \hat{a}^\dagger  |n\rangle \\ &= (n+1)\hat{a}^\dagger |n\rangle \end{align}$$ 이 결과를 $$\hat{N} \left(\hat{a}^\dagger |n\rangle \right)= (n+1)\left(\hat{a}^\dagger |n\rangle \right)$$와 같이 쓰면, $\hat{a}^\dagger |n\rangle$가 고유값이 $n+1$인 고유상태가 됨을 볼 수 있습니다. 따라서 $$\hat{a}^\dagger |n\rangle = g  |n+1\rangle$$로 쓴 뒤에 $g$를 규격화 조건으로부터 구할 수 있습니다.

켓 $| v\rangle $의 크기는 $$\lVert |v\rangle \rVert ^2 = \langle v | v \rangle$$로 정의되기 때문에 206쪽의 첫 번째 식을 얻게 되고 마찬가지로 두 번째 식을 얻을 수 있습니다. 그 결과가 (6-32)식과 (6-33)식입니다. 이를 다시 쓰면 $$ \hat{a}^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle , \quad \hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}|n\rangle$$입니다.

이렇게 올림연산자와 내림연산자를 이용하면, 가능한 고유상태가 $$\hat{a}^\dagger |n\rangle \Longrightarrow |n+1\rangle , \quad \hat{a} |n\rangle \Longrightarrow |n-1\rangle$$과 같이 숫자 $n$이 1씩 늘어나거나 줄어든다는 것을 알 수 있습니다.

그런데 아직까지 $n$의 값이 정확히 어떻게 되는지는 알 수 없습니다. 이를 구하기 위해 $$ \langle n| \hat{a}^\dagger \hat{a}|n\rangle = \langle n| \hat{N}|n\rangle = \langle n| n|n\rangle = n \langle n|n\rangle = n$$를 이용합니다. 이 식에서 수 연산자 $\hat{N}$의 정의를 이용했습니다. 그런데 이 식의 첫 부분을 잘 보면 $$\langle n| \hat{a}^\dagger \hat{a}|n\rangle = \Vert \hat{a}|n\rangle \rVert^2$$과 같이 상태벡터의 절대값 제곱과 같습니다. 이 값은 항상 양수이어야 합니다. 따라서 $$n\ge 0$$이라는 중요한 결과를 얻을 수 있습니다. 이렇게 고유값 $n$에 최소값이 있어야 무한히 아래로 떨어지는 일이 생기지 않습니다. 그런데 만일 $n$이 정수가 아니라면 여하간 내림연산자를 이용하여 $n$이 한없이 작아질 수 있습니다. 이것은 물리적으로 허용될 수 없습니다. 따라서 $$\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}|n\rangle$$에서 $n=0$을 대입하여 $$\hat{a}|n\rangle = 0$$이 되게 해야 합니다. 이것이 207쪽의 (6-34)식입니다. 이렇게 맨 아래까지 내려간 고유상태 $|0\rangle$를 '바닥상태(ground state; Grundzustand)'라 부릅니다.

여담으로 언급하자면, 제가 아주 오래 전 처음 양자역학을 배울 무렵에는 '바닥상태'라는 말 대신 '기저상태'라는 용어를 썼습니다. 이것은 일본어 용어 基底状態(きていじょうたい)의 한자를 그냥 한국어식으로 읽은 것이었습니다. 그런데 벡터의 단위벡터 등을 기저(basis)라고 부르기 때문에 처음에 혼동이 많이 되었습니다. 또 $|1\rangle$ 즉 $\hat{a}^\dagger |0\rangle$과 같이 바닥상태보다 한 칸 위에 있는 상태를 '들뜬 상태'라 부릅니다. 영어로는 excited state, 독일어로는 angeregter Zustand입니다. 그런데 이것도 오래 전에는 '여기상태'라 불렀습니다. 역시 일본어 용어 励起状態(れいきじょうたい)의 한자를 그냥 한국어식으로 읽은 무척 게으르고 무책임한 용어였습니다. 농담으로 "'여기 상태'가 있으면 '저기 상태'도 있을까?"라고 말하는 사람도 있었습니다. 특히 1980년대에 한자표기를 점차 없애고 모두 한글로 표기하는 정책이 시행되고 나니 '기저상태'나 '여기상태' 같은 낯선 용어를 이해하기가 더 어려워졌습니다. 다행히 여기에 문제의식을 가진 분들이 나서서 '바닥상태'나 '들뜬 상태'처럼 알기 쉬운 새로운 한국어 용어를 만들어냈습니다.

비교적 상세한 중간 풀이를 아래 위키피디어 링크에서 볼 수 있습니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator#Ladder_operator_method