오늘 모임에서 정상 상태(定常狀態 stationary state)라는 용어와 개념이 나와서 더 깊이 논의가 되었습니다.

특히 조화진동의 경우에 정상 상태를 어떻게 이해할 것인가 하는 문제가 불거졌는데, 양자역학에서 정상 상태는 곧 에너지 고유상태로 정의됩니다. 고유상태라는 개념이 만만치는 않습니다만, $$ \hat{H} \psi_n = E_n \psi_n$$처럼 쓰거나 $$-\frac{\hbar}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi_n (x)}{\mathrm{d}x^2} + V(x)\psi_n (x) = E_n \psi_n (x)$$처럼 쓰는 방정식의 풀이 $\psi_n$ 또는 $\psi_n (x)$를 정상 상태로 정의합니다.

'정상(stationary)'이라는 말을 덧붙인 것은 상태함수가 $$\Psi (x, t) = \psi (x) e^{-iE t / \hbar}$$로 주어진다면 대상의 존재확률이 197쪽 (6-8)식처럼 $$|\Psi (x, t)|^2 = |\psi (x) e^{-i E t / \hbar}|^2 = |\psi (x)|^2 |e^{-iEt /\hbar}|^2 = |\psi(x)|^2$$이 되므로 시간과 무관해진다는 점을 강조하기 위한 것입니다. 이 식에서 마지막 등호는 $$|e^{- i E t /\hbar}|^2 = e^{- iEt /\hbar} e^{+i E t /\hbar} = 1$$이기 때문입니다. 복소수 $z$의 절대값은 $$|z|^2 = z z^*$$로 정의됩니다. 여기에서 $z^*$는 그 복소수의 켤레복소수로서 $i$가 있는 부분의 부호를 바꾸는 것입니다. 만일 $z=x+ i y$ ($x$, $y$는 실수)라면 $z^*=x- i y$이고, $$|z|^2 = z z^* = (x+i y)( x - iy) = x^2 + y^2$$가 됩니다.

그러면 에너지 고유상태라는 말과 정상상태라는 말이 어떻게 동의어가 되는 걸까요? 원래 시간에 따라 변하는 슈뢰딩거 방정식은 $$ i \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Psi = \hat{H} \Psi$$입니다. 이 식에서 오른쪽에 간단하게 쓴 것은 실상은 꽤 복잡한 표현인데, 그냥 $H$위에 삿갓(hat/caret)[ASCII 키보드에서는 Shift+6이 ^와 같습니다]을 씌워서 '연산자(operator)'라 부르고 편리하게 약호로 쓴 것입니다. 여기에서 '연산'은 사칙연산이라는 말의 그 연산과도 같은 것입니다. 수학분야에서는 '작용소'라는 표현도 많이 씁니다.

여하간 원래 $\hat{H}\Psi$는 미분도 하고 곱하기도 하고 여러 가지로 복잡한 표현입니다. 그런데 어쩌다 보니 이것이 $E \Psi$와 같이 $\Psi$ 앞에다 숫자 $E$를 곱한 것과 같게 되었다면, 갑자기 모든 계산이 엄청나게 쉬워집니다. 게다가 $\hat{H}$이 어떤 특별한 성질을 갖는다고 요구하면, 그 숫자 $E$는 반드시 실수가 되어야 합니다. 이 때 $E$를 $\hat{H}$의 고유값이라고 부르고, 그 때의 $\Psi$를 고유상태라 부릅니다. 게다가 원래 시간에 따라 변하는 슈뢰딩거 방정식에 이 고유값과 고유상태를 대입하면 $$ i \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Psi = E \Psi$$가 됩니다. $\hat{H}\Psi$는 아주 복잡하고 번거로운 표현이지만, $E \Psi$는 너무나 간단합니다. 그냥 실수를 곱한 것이기 때문입니다. 그리고 이 미분방정식은 무척 쉽게 풀 수 있습니다.

지수함수 중에서 지수의 밑(base)이 $e=2.7182 8182 8459...$인 경우가 매우 특별합니다. 이 숫자는 오일러 수(Euler number)라고도 부릅니다. 이 수는 $$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots$$로 정의할 수 있습니다. 여기에서 $\cdots$는 말 그대로 무한대까지 계속 더한다는 의미입니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)

이제 이 오일러 수를 밑으로 하는 지수함수 $e^x$를 생각합니다. $e^2 = e \cdot e$도 되고 $e^{-3} = 1 / e^3$도 되고, 또 $e^{1/2}=\sqrt{e}$ 등이 됩니다. 다음 단계는 조금 복잡하지만, 아무 실수 $x$를 가져와도 $e^x$를 계산할 수 있습니다. 이렇게 해서 다음과 같이 지수함수(exponential function)를 정의할 수 있습니다. $$e^x = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{1\cdot 2} + \frac{x^3}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^4}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function

위의 정의에서 $n!$은 '계승(factorial)'이라 부르며 $$n! = n (n-1) (n-2) \cdots 1$$로 정의됩니다. 그런데 이 지수함수는 매우 특별한 성질을 지닙니다. 미분하면 그 도함수가 자신과 같습니다. 즉 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} e^x = e^x$$입니다. 위의 정의식은 무한히 많은 다항식을 더해 놓은 꼴인데, 이 표현을 미분하면 원래의 함수가 된다는 것을 쉽게 볼 수 있습니다. 다르게 보면, 이 성질을 지수함수의 정의로 사용해도 됩니다. 아래 링크에서 여섯 가지 동등한 정의를 볼 수 있습니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Characterizations_of_the_exponential_function  

이것을 이용하면 $$ i \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Psi = E \Psi$$ 또는 $$  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Psi =  \frac{E}{ i \hbar} \Psi = \frac{ - i E }{\hbar} \Psi$$의 풀이를 바로 구할 수 있습니다. 즉 $$\Psi = A e^{-i E t /\hbar} $$입니다. 이 식을 바로 위의 식에 그대로 대입해 보면 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} A e^{(-i E /\hbar) t} = \left( \frac{- i E}{\hbar}\right) A e^{-i E t /\hbar}$$이므로 원래 풀어야 할 미분방정식을 그대로 충족시킴을 확인할 수 있습니다.

이렇게 해서 에너지 고유상태는 곧 정상상태임을 증명했습니다.

정상 상태라는 말은 steady state를 가리키기도 합니다. 이 때에는 화학에서 흔히 나오는 동적 평형이나 정상파(standing wave) 같은 것을 의미합니다. 우주론 중에서 정상 상태 우주론(steady state cosmology)도 시간상으로 멈춰 있지 않으면서도 전체적인 양상이 유지되는 것을 말합니다.

그래서 정상상태(steady state)와 정적 상태(static state)는 구별됩니다.

양자역학에서는 여러 면에서 혼동이 있기 때문에, 정상 상태를 그냥 에너지 고유상태로 정의해 버립니다.

쉽게 접할 수 있는 것으로는 역시 위키피디어의 설명이 비교적 친절한 편입니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_state

양자조화진동을 설명하는 위키피디어의 그림들이 유용합니다.

[ 그림 출처:  https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator ]

위의 그림에서 A와 B는 고전적인 조화진동입니다. 진동이지만, 정상 상태입니다. 즉 시간상으로 왔다갔다 하면서 변화하지만 진동 주기가 일정하기 때문에 정상 상태라 부릅니다. 시간에 대한 푸리에 변환을 하면 진동수가 상반변수로 나타나는데, 이 경우에는 대응하는 진동수가 일정하기 때문에 정상 상태가 됩니다. A의 경우보다 B의 경우에 진동하는 폭, 즉 진폭이 더 크고 그만큼 에너지도 더 큽니다. 고전역학을 쓰면 이 에너지값으 0부터 무한대까지 연속적으로 어떤 값도 허용됩니다. 또 에너지가 커질수록 진폭도 함께 커집니다.

양자역학에서는 상황이 다릅니다. 위의 그림에서 C부터 H까지가 양자역학의 조화진동입니다. 상태함수가 시간에 따라 어떻게 변하는지 보여줍니다. 파란색은 상태함수의 실수 부분이고 붉은색은 상태함수의 허수 부분입니다. 수평축은 위치입니다. 여기에서 C, D, E, F는 에너지 고유상태이며, 따라서 정상 상태입니다. 비록 상태함수는 올록볼록 변화하지만, 그에 대응하는 에너지의 값은 일정합니다. 에너지 값을 플랑크 상수로 나눈 것이 진동수이므로 이런 진동은 정상 상태라 불러도 됩니다. 이와 달리 G는 에너지 고유상태가 아니고 여러 에너지 고유상태가 섞여 있는 경우입니다. <양자역학을 어떻게 이해할까?> 197쪽의 (6-9)식의 한 예입니다.

조금 더 상세하게 살펴보면 재미있는 특징이 더 보입니다.

위치에너지가 $V(x)=\frac{1}{2}m\omega x^2$로 주어지면 슈뢰딩거 방정식은 <양자역학을 어떻게 이해할까?> 198쪽의 (6-10)식처럼 $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi(x) = E \psi(x)$$가 됩니다. 이 방정식은 미분방정식입니다. 보통의 방정식의 풀이는 미지수라 부르는 어떤 변수를 다른 것으로 나타내는 것을 가리킵니다. 가령 $$x^2 - 2b x + c=0$$에서 미지수가 $x$라 하면 $$x = b \pm \sqrt{b^2 - c}$$임을 유도할 수 있고, 이것은 놀랍게도 기원전 1600년 경의 고대 바빌로니아에서도 알려져 있었습니다.

미분방정식은 미지수를 다른 것으로 풀어내는 게 아니라 모르는 함수(위의 경우에는 $\psi(x)$\를 구하는 것입니다. 위의 식에서 $\hbar$, $m$, $\omega$는 모두 알고 있는 계수를 문자로 나타낸 것이라 생각하면 됩니다. 보통의 미분방정식과 중요한 차이를 보이는 것은 함수 $\psi(x)$만이 아니라 $E$라는 문자도 미지수 즉 풀어야 할 대상이라는 점에 있습니다.

여하간 수학자들이 열심히 탐구해 놓은 덕분에 이 방정식은 비교적 쉽게 풀립니다.

1859년 러시아의 수학자 파프누티르보비치 체비쇼프(Пафну́тий Льво́вич Чебышёв, Pafnuty Lvovich Chebyshev 1821-1894)가 처음 이와 관련된 방정식을 풀어서 발표했고, 1864년 프랑스의 수학자 샤를 에르미트(Charles Hermite 1822-1901)가 체비쇼프(흔히 체비셰프라고 부르기도 합니다)의 연구를 모른 채 다시 풀이를 발표했습니다. 사람들은 체비쇼프가 이를 발표했음을 몰랐기 때문에, 지금 이 풀이는 에르미트 다항식(Hermite polynomial)이라고 부릅니다.

여하간 양자조화진동의 경우 슈뢰딩거 방정식을 풀면 그 풀이가 (6-19)식과 (6-20)식으로 주어집니다. 다시 적으면, $$E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar \omega \quad (n=0, 1, 2, \cdots)$$이고 그 때의 함수(고유함수)는 $$\psi (y) = C_n e^{-y^2 / 2 }H_n (y) , \quad y = \frac{x}{\sqrt{\hbar/m\omega}}$$가 됩니다.

이 대목에서 $$x_0=\frac{\hbar}{m\omega}$$라는 양의 단위를 따져보는 것이 유익합니다. 플랑크 상수 $\hbar$는 물리량 차원이 $M L^2 T^{-1}$ 다시 말해 단위가 SI단위계에서 $\rm{kg}\cdot \rm{m}^2 /\rm{s}$입니다. 질량 $m$은 물리량 차원이 $M^1$이고, 진동수 $\omega$는 물리량 차원이 $T^{-1}$이며 단위는 $\rm{s}^{-1}$입니다. 이를 모으면, $(x_0 )^2\equiv \hbar / m\omega$의 물리량 차원은 $$\frac{M L^2 T^{-1}}{M T^{-1}} = L^2$$가 됩니다. 따라서 단위는 $\rm{m}^2$(제곱미터)가 됩니다. 즉 넓이의 단위가 되는 것이죠. 그렇다면 $x_0$는 길이의 단위가 되고 $y \equiv x / x_0$는 단위가 없는 양 또는 물리량 차원이 없는 양이 됩니다. 그냥 수학적인 숫자에 불과합니다. 이렇게 함으로써 양자역학의 계산이 훨씬 더 간편해집니다.

고유함수에 인수로 들어 있는 에르미트 다항식 $H_n (y)$ 또는 $H_n (x)$를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

[ 그림 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials ]

이 그림은 수학자를 위한 것인데, 에너지 값이 $$\frac{1}{2} \hbar \omega, \frac{3}{2}\hbar\omega, \frac{5}{2} \hbar \omega, \cdots$$ 등으로 됨에 따라 거기에 짝을 맞추어 다항식들이 차근차근 나오니까 이를 한꺼번에 그린 것이 아래의 그림입니다.

이를 보기 좋게 요약하여 그려 놓은 것이 202쪽의 <그림 6-1>이고, 더 상세한 것이 아래 그림입니다.

[ 그림 출처:  https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator ]

아래에 있는 움직이는 그림(gif)에서 C, D, E, F는 바로 위의 그림에 있는 함수에 시간 의존 부분을 곱한 것에 해당합니다. 즉 각각 차례로 $$\Psi_0(x) e^{-i E_0 t /\hbar}, \quad \Psi_1 (x) e^{-i E_1 t /\hbar},  \quad \Psi_2 (x) e^{-i E_2 t /\hbar}, \quad \Psi_3 (x)e^{-i E_3 t /\hbar}$$에 해당합니다. 다시 말해 196쪽 (6-7)식을 영상으로 나타낸 것입니다.

[ 그림 출처:  https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator ]

이 그림에서 C, D, E, F를 가만히 들여다보고 있으면, 양 끝이 대략 고정된 것으로 보이고, 그 사이에서 뭔가가 진동하는 것처럼 보입니다. 현악기에서 양 끝을 고정하고 줄을 튕기면 진동이 보이는데, 이것은 실상 공간적으로도 움직이는 두 파동이 만난 결과입니다. 이것을 멈춰 있는 파동, 또는 정상파(standing wave)라 부릅니다. 이와 달리 G와 H는 파동들이 모여 있는 파동다발(波束 wave packet)이라서 뭔가가 움직이는 것처럼 보입니다.

[ 그림 출처: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Waventerference.gif ]

위의 그림에서 녹색 파동은 오른쪽으로 움직이고 있고 청색 파동은 왼쪽으로 움직이고 있습니다. 이 둘이 만나면 결과는 양 끝이 고정되어 움직이지 않는 것처럼 보이는 적색 파동이 됩니다. 이 적색 파동이 바로 정상파입니다.

양자역학의 정상상태도 고전역학의 정상파와 비슷한 개념이라고 보아도 됩니다. 물론 고전적인 정상파보다는 더 복잡한 면이 있습니다.

이제 이 대목에서 소위 '입자-파동 이중성'을 다시 물어볼 수 있습니다. 19세기까지의 물리학에서 현의 진동을 다루기 위해서는 오른쪽으로 움직이는 파동과 왼쪽으로 움직이는 파동이 합해져서 멈춰 있는 파동이 된다고 서술하는 게 옳았습니다. 그래서 현의 진동은 실상 파동입니다. 이것은 어떤 식으로든 입자가 아닙니다.

양자역학에서 어떤 때에는 입자가 나오고 어떤 때에는 파동이 나온다고들 하는데, 이 조화진동 문제를 보면, 실상 파동은 없습니다. 입자도 없습니다. 그냥 상태함수가 있을 뿐입니다. 또 이 상태함수는 공간의 여기저기에 어느 정도나 표출되는지 일종의 성향을 말해줄 따름입니다.

수학의 언어로 보면 상당히 복잡해 보이지만, 여하간 우여곡절 끝에 상태함수를 구하고 나면 그 상태함수는 입자나 파동을 나타내는 게 아니라 공간의 각 점 즉 위치에서 대상이 드러나게 될 성향을 나타낸다고 말하면 됩니다.