[정리 : 책+세미나] 양자역학을 어떻게 이해할까? : 패자부활전 (5) - 2장.고전역학 (2.2절)
모임 정리
양자역학
작성자
neomay33
작성일
2023-06-03 11:59
조회
2448
책 : 『양자역학을 어떻게 이해할까?』 장회익. 2022. 한울아카데미.
세미나 : 7~8회 (2023. 2/27, 3/6)
범위 : "제2장. 고전역학"중에서 '2.2 고전역학의 존재론' (pp.80-91)
이 글은 책 『양자역학을 어떻게 이해할까?』(장회익. 2022. 한울아카데미)와 강독 세미나의 내용 중 장회익선생님께서 설명해주신 부분을 중심으로 함께 정리한 것입니다.
강독 세미나를 시작한지 5개월 정도 됐는데요. 점점 어려워지고 있어서 심기일전한다는 생각으로 1장부터 현재 진도(5장)까지 정리하고 있습니다. 책 읽으시는 데 도움이 되면 좋겠습니다.
많이 봐주시고요. 우리 함께 부활해보아요~
아래 글에서
- 검정색글씨는 책에서 발췌,
- 보라색 글씨는 세미나에서 장회익선생님께서 말씀해주신 부분을 녹취해 요약한 것입니다.
전체 목록
2장 목차
제2장 고전역학
2.1 예측적 앎으로의 고전역학
- 사과는 왜 떨어지나?
- 고전역학의 전형적 사례들
- 힘의 성격과 기본적인 상호작용
- 뉴턴의 중력 상호작용
- 3차원 공간에서의 운동
- 에너지 개념을 통한 고전역학의 정식화
2.2 고전역학의 존재론
- 고전역학의 물리량들과 해당 공간들
- 공간들 사이의 독립성과 의존성
- 고전역학적 '상태'의 조작적 의미
2.3 라그랑지안 정식화와 마당 변수 정식화
- 라그랑지안과 해밀토니안 정식화
- 마당 변수 정식화: 1차원 입자 사슬의 사례
제2장 고전역학
2.2 고전역학의 존재론
pp.80-91.
고전역학의 존재론 (세미나 7회. 2023. 2. 27)
- 양자역학을 공부하면서 왜 고전역학부터 하느냐 의문을 가질 수 있다. 2.1절까지의 내용이 고전역학에서 알아야할 거의 모든 것이지만, 위치와 운동량을 '상태'라고 두는 고전역학의 존재론 밑바닥에 무엇이 전제되어 있는지, 그것을 명료하게 끄집어내서 알아야 한다.
- 그 부분이 바뀌어서 다른 것(상대성이론, 양자역학)이 나온다는 것, 이것을 알아야 양자역학을 공부할 준비가 되는 것이고 양자역학을 이해할 수 있다. 또한 고전역학 자체도 아주 심오하고 굉장히 폭넓게 사용되는 보편이론이기 때문에 반드시 거쳐야 할 공부다.
고전역학 ==> 상대성이론 ==> 양자역학
- 고전역학의 바탕을 이루는 존재론(이하 '고전존재론') 자체를 새롭게 검토함으로써 상대성이론, 양자역학으로 논의를 진전시켜나갈 수 있다.
- 지금까지는 하나의 동역학을 존재론과 정식화로 구분할 수 있다는 발상 자체가 없었다. 보편적 동역학을 이해하기 위해서는 존재론과 정식화를 구분하고, 그 이론의 바탕에 깔린 존재론을 (별도로) 살펴보아야 한다.
- 새 이론이 창출된 경우에도 존재론은 기존의 것을 그대로 인정하고 정식화의 차이에만 주의를 기울여온 것이 관례였다. 그러나 혁명적인 새 이론을 이해하기 위해서는 존재론에 대한 수정이 불가피하다.=> 기존 존재론부터 재검토하여 그 안에 무엇이 수정되어야 하는지 살펴 나가야 한다.==> 현재 기존 존재론의 근간은 고전역학. 우선 고전역학의 바탕을 이루는 존재론을 새로운 시각에서 규명하는 작업을 해보자.===> 새 존재론을 구성, 이를 통해 매우 자연스럽게 상대성이론과 양자역학을 정식화할 수 있다.
❖ 고전역학의 물리량들과 해당 공간들
고전 존재론
- 고전 존재론 등 존재론 일반의 주된 내용 : 대상의 '상태'를 나타낼 관념의 틀 & 대상의 상태를 인식주체와 연결하는 방식
- 상태 : 고전역학에서 '상태'란, 서로 독립적으로 관측되는 대상의 위치와 운동량의 값. 서로 독립적이라 함은 둘 중 하나가 결정되더라도 다른 양이 결정되는 데 영향을 끼치지 않는다는 뜻. 이러한 고전 존재론의 전제는 암묵적, 임의로운 가정일 뿐.
- 위치 공간, 운동량 공간, 시각 공간
- 위치라는 물리량, 운동량이라는 물리량을 나타내는 데 필요한 공간. 서로 독립적.
- 시각 공간 : 위치와 운동량의 변화를 시간의 함수로 나타내는 데 필요한 물리량이 '시각'. 시각이라는 물리량을 나타내는 데 필요한 공간이 시각 공간.
- 에너지 공간
- 고전역학에서는 독자적인 '에너지 공간'을 상정하지 않는다. 에너지를 하나의 원초적 개념으로 도입하기보다는 운동량과 위치의 함수 형태로 도입.(식 2-22. $E = \frac{p^2}{2m} + V(x) $) ==> 운동방정식이 이 변수들 사이의 관계를 엮어준다고 할 수 있다.
- 상대성이론에서는 에너지가 4차원 운동량 벡터의 네 번째 성분으로 규명되며, 따라서 에너지 공간 또한 4차원 운동량 공간의 한 성분 공간.
OO공간? (세미나 7회. 2023. 2. 27)
- 질문 : 위치 공간, 시각 공간, 운동량 공간, 에너지 공간이란?
- 'OO공간'이란 어떤 물리량 'OO'이 있을 때 그 물리량에 해당하는 공간을 의미.
- 위치 공간이 위치를 구분해서 표현해주는 바탕이듯, 운동량 공간도 운동량 값을 구분해서 수치로 표현해주는 틀이다.
- 시각 공간 : 또 한 가지 구분할 것이 시각. 시각은 어느 시점을 의미. 시각의 값이 표현되는 틀이 시각 공간.
===> 위치 - 위치 공간, 시간 - 시각 공간, 운동량 - 운동량 공간, 에너지 - 에너지 공간.
에너지 공간 (세미나 7회. 2023. 2. 27)
- 질문 : 시간이라는 개념 때문에 운동량 공간과 위치 공간이 서로 연결이 될 수 있겠는데, 위치 공간과 운동량 공간과 대등하게 마찬가지로 에너지 공간이라는 것도 생각해야된다는 의미인가?
- 그렇다. 그것이 기본적인 틀이다. 나중에 얘기할 내용이기는 한데. 위치 공간은 3차원이다. 이 세 가지 축이 서로 수직 관계를 맺고 있다(유클리드 기하학). 그런데 시각을 나타내는 변수가 시각 공간이라는 또 하나의 수직 축을 만들어서 4차원이 될 수 있다. 이것이 상대성이론이다.(3장에서 다룰 내용) 반면 뉴턴은 위치 공간과 시각 공간이 절대적이고, 완전히 서로 독립이라고 했다.
- 운동량 공간도 3차원. 그런데 또 하나의 차원이 더 있는데 그것이 에너지. 위치 공간에서 시간에 해당하는 것이 운동량 공간에서는 에너지에 해당하는 것으로 놓아야 제대로 맞아들어간다. 여기까지가 상대성이론이 얘기해주는 것이다.
- 그 다음에 양지이론에서는 : 위치 공간과 운동량 공간이 독립적이지 않고 서로 엮여 있다는 것이다. 이게 아주 새로운 것이다. 이 전체가 전부 한 개로 다 연결이 돼 버린다.
- 우리가 처음에 고전역학을 모를 때는 공간을 2차원과 수직 방향(2+1차원)으로 봤는데, 이것은 3차원으로 보는 것이 더 적절하다고 이해를 했었다. 그런데 상대성이론으로 가면 시간까지 합해서 4차원으로 시간, 공간을 이해해야 적절하게 된다. 동시에 상대성이론에서는 운동량도 '운동량 3차원 + 에너지 1차원'으로 해서 4차원으로 본다. 그런데 이 둘은 독립이다.
- 양자이론으로 가면 운동량과 에너지가 엮여지는데 푸리에 변환으로 서로 수학적으로 묶여 진다. 이것이 양자역학에서 가장 핵심적이다. 이것을 인정하면 거기서 양자역학의 중요한 결과들이 다 쏟아져 나온다. 그래서 그것을 인정한다는 것이 뭐냐, 이것이 존재론적인 재구성이다. 그 존재론이 실제로 원자 세계에 있는 모든 상황을 뒷받침해주는 존재론이다 하는 것을 우리가 받아들이자는 것이다. 이것이 핵심.
- 그 외 나머지는 사실 수학적으로 조금 복잡한 과정을 이렇게 저렇게 거치기는 하지만, 논리적으로 보면 깨끗하게 연결된다. 과거에는 이런 존재론을 모르고 인정을 안 했기 때문에 불확정성 원리, 상보성 원리 등 이런 저런 가정을 갖다 붙이면서 짜깁기를 한 것이다. 고전 존재론 위에 세우려다보니 이렇게 할 수 밖에 없었던 것이고 논리적으로 맞지 않다.
❖ 공간들 사이의 독립성과 의존성
고전 존재론에서 시간 공간의 성격
- 시간, 공간의 '절대성'(『프린키피아』, 뉴턴)
- "절대적이며 진정한, 그리고 수학적인 시간은 그 자체 안에 그리고 그 자체로서, 그리고 그 자신의 성격에 의해, 그 밖에 있는 어떤 것에도 무관하게, 균일한 방식으로 흘러간다 ...절대적 공간은 그것 자신의 진정한 성격에 따라 밖에 있는 어떤 것의 간섭도 없이 항상 균등하며 움직임이 없다 ..."
- 수학적 공간/물리적 공간을 구분해야 한다. 물리학에서는 물리 세계에 수 체계를 적용하는 것. 물리적 공간으로 가져올 때는 단위를 설정해야 한다. (세미나 7회. 2023. 2. 27)
고전역학에서 에너지 개념
- 고전역학에서 에너지 개념은 독립된 물리량이 아니며, 따라서 에너지 공간을 별도로 상정할 필요가 없었다.
- 상대성이론으로 가면 에너지는 독자적 위상을 지니며, 실제로 운동량의 네 번째 성분이 된다.(제3장)
- 양자역학으로 가면 4차원 운동량-에너지 변수는 4차원 위치-시각 변수와 특별한 방식으로 연관되어 ==> 4차원 이중 공간의 일부를 구성하게 된다.(제4장)
❖고전역학적 '상태'의 조작적 의미
: 상태를 규정하는 수학적인 방법. '위치와 운동량을 가졌다'는 것을 존재론적으로 표현하면 어떻게 되는가 하는 것을 델타 함수로 나타내는 과정. (세미나 8회. 2023. 3. 6)
델타함수
- 세상에서 가장 간단한 함수를 꼽으라고 한다면 그것이 델타함수.$\delta_{ij}=1, i=j.$$\delta_{ij}=0, i\neq j.$
- 고전역학을 $\delta$ 함수로 표현하면 고전역학이 양자역학과 어떻게 비슷하고 다른지 비교하기 좋다.
식 (2-27)이 핵심
- $\Psi_C = (\delta_{ij}(\xi_i), \delta_{il}(\zeta_i))$
- $\xi_i (i=1,2,3, ...)$ : 위치 공간
- $\zeta_i (i=1,2,3, ...)$ : 운동량 공간
- $\Psi_C$ : 한 특정 시각에서의 상태. 대상이 위치 공간의 자리 $\xi_j$와 운동량 공간의 자리 $\zeta_l$을 점유함을 나타낸다.
- 상태 $\Psi_C$는 대상 자체에 속하는 그 무엇이라는 점에서 "존재적" 성격을 지닌다.
상태인식 함수
- 존재론적 성격만으로는 인식주체에 전달할 방법이 없기에, 대상의 이러한 상태와 인식주체를 연관지울 별도의 장치가 필요하다.==> "상태에 관한 인식적 함수"(상태인식 함수) $\Psi_C^E$
- 상태인식 함수 $\Psi_C^E$는 영역 $\xi_i (i=1,2,3,...)$에서 조건 $ \sum_j { \left| a_j \right| }^2 $을 만족하는 함수 $\Psi_C^E = \sum_j a_j \delta_{ij} (\xi_i)$이다.
- 계수 $a_j$의 절대치 제곱 $\left| a_j \right|^2$ : 대상이 위치 $\xi_j$에 놓여있을 인식적 확률. 동시에 대상이 위치 $\xi_j$에 놓여있지 않을 인식론적 확률은 $1-\left| a_j \right|^2$.
- 인식론적 함수 $\Psi_C^E$는 대상의 상태에 관해 인식주체가 알고 있는 정보의 정도를 말해준다.
- $\Psi_C$는 존재론적 상태를 의미, $\Psi_C^E$에서 $E$는 우리가 대상에 대해서 얼마나 알고 있는지 그 정도를 나타내는 것으로 인식론적 의미.(세미나 8회. 2023. 3. 6)
대상의 '상태'에 대한 조작적 정의
- 측정 : 인식주체는 변별체 위에 나타난 사건 발생 여부에 대한 정보를 통해 그 상태인식 함수를 조정함으로써 대상의 상태에 대한 앎의 정도를 넓혀갈 수 있다. (책 p.88. 측정 규정 : "만일 특정 시간 $t$에, 위치 $\xi_j$에 놓인 한 변별체에 사건이 발생했다면, ... 그만큼 증진됨을 의미한다.)
- 여기서 대상은 변별체와 조우하여 변별체 위에 가시적인 사건을 야기함으로서 자신의 상태를 노출.(대상은 사건야기 능력, 사건야기 성향을 가졌다.)
- 한 대상에 대한 고전역학적 상태 $\Psi_C = \delta_{ij} (\xi_i)$는 다음과 같이 조작적으로 정의 :"이 대상이 위치 $\xi_i$에 놓인 변별체 위에 사건을 야기할 성향은 $i \neq j$일 경우 0이고, $i=j$일 경우 1이다."
- 여기서 드러나는 고전 존재론적 가정 : 이 대상이 "위치 $\xi_i$에 놓인 변별체 위에 사건을 야기할 성향"에 대해 그 값을 0 아니면 1로 국한시키고 있다. ==> 우리는 변별체 위에 떠오른 흔적만을 확인할 수 있으며, 이 흔적과 그 밑에 깔린 대상의 상태와의 사이에 특정의 어떤 "연계"가 있으리라는 임의의 가정.
==> 고전 존재론적 가정 외에 다른 연계 가능성도 있다는 것이 우리의 논지. 대상이 변별체에 사건을 야기할 성향의 값이 "0과 1 사이의 어떤 값"이라고 보는 관점도 가능하다.
'성향'의 존재론, 고전역학에서 해야만 하는 이유? (세미나 8회. 2023. 3. 6)
- 질문 : 고전역학에서는 '성향'이 있다 없다, 1 아니면 0 뿐이다. 양자역학을 염두에 두지 않는다면 '성향'이라는 말을 할 의미가 있을까?
- 양자역학을 염두에 두지 않는다면 '성향'이라는 말을 할 필요가 없다. 재미있는 것은 성향이라고 하는 개념을 쓰면 고전역학에서 상태는 그 성향의 특별한 경우에 해당한다는 것이다.
- 지금 이 과정은 논의의 범위를 넓혀나가는 과정이고, 양자역학을 담을 수 있는 언어로 바꿔나가는 과정이다. 이렇게 언어를 확대해나갈 때 고전역학은 어떻게 표현되느냐, 고전역학도 그 안에 한 카테고리로 들어온다 하는 것을 같이 봐 나가면서 넓혀가고 있는 것이다.
대상이 사건을 야기시키는 역학적 과정에 필요한 에너지
- 대상이 변별체 위에 사건을 야기하는 과정 또한 하나의 역학적 과정.
- 대상의 특성이 해밀토니안 $H(x,p) = \frac {p^2}{2m} + V(x)$ (식 2-23)으로 대변되는 전형적 대상을 생각해보자.
- 이 경우 에너지 $E$는 $E = \frac {p^2}{2m} + V(x)$ (식 2-22)이며 이 값은 일정하다. 즉 대상계 자체만으로는 외부와의 어떤 에너지 출입도 없다는 것.
- 따라서 대상이 변별체를 만나 가시적인 사건을 야기하기 위해서는 감지될 흔적을 남기는 데 필요한 최소한의 에너지가 필요. 즉 외력 $F_e$가 필요. ($\frac {d}{dt}E = F_e \frac {dx}{dt}$. 식 2-26)
- 대상이 변별체로부터 외력 $F_e$를 받아서 거리 $\Delta x$만큼 움직이는 경우 이 계의 에너지는 식 2-26에 따라 $\Delta E$만큼 변한다.$\Delta E = F_e \Delta x$
- 변별체에는 반대로 $-\Delta E$만큼 에너지 변화가 발생해 가시적 효과를 보이게 된다.
- 대상과 변별체 사이의 역학적 관계는 고전역학적으로 설명 (세미나 8회. 2023. 3. 6)
- 지금까지는 대상이 변별체와 만나면 변별체에 어떤 확인할 수 있는 흔적, 즉 변화를 야기한다는 것을 전제로 했다. 그것 없이는 우리가 알 방법이 없기 때문에.
- 그런데 이를 위해서는 대상과 변별체 사이에 역학적인 관계가 있음이 전제되어야 한다. 양자역학으로 그 둘을 연결할 방법은 아직 충분치 못해서 정리를 못했다. 그런데 고전역학을 적용할 수 있다. 최소한의 에너지가 전달이 돼야 변별체에 어떤 눈에 띄는 변화가 생길 수 있다는 것. 아무리 작은 변화라 해도 에너지가 전달이 돼야 한다.
- 그런 변화를 줄 수 있는 것이 뭐냐? 외력! : 대상의 특성 속에 들어가 있는 상호작용(힘) 외에 대상과 상호작용이 가능한 것이 있어야 한다. 변별체가 어떤 대상에 대해 변별체 노릇을 하려면 그 사이에 어떤 상호작용이 있어야 하는데, 그것을 '외력'이라고 한다.
- 대상과 변별체가 작용-반작용으로 서로 영향을 미친다. 그 외력에 의하면 우리가 앞서 고전역학적으로 본 에너지 변화가 올 수 있다. 그런 정도의 에너지가 있어서 변별체에 어떤 변화를 가져와야 한다. 그러기 위해서는 대상과 변별체 사이에 외력이 있어서 서로 에너지를 주고받을 수 있는 가능성이 있어야 한다.
측정 행위 대상에 미치는 영향 (세미나 8회. 2023. 3. 6)
- 질문 : 양자역학에서는 측정 행위가 대상에 영향을 미친다고 하지만 고전역학에서는 그렇지 않다는 것으로 알고 있다. 그런데 지금 설명에 따르면 변별체로 인한 에너지 이동 때문에 측정 행위가 대상에 영향을 미치는 것 같은데 이 부분을 어떻게 이해해야 할까?
- 에너지를 주고받는 것은 불가피하지만, 이것은 순전히 정보이기 때문에 주고받은 에너지는 아주 작다. 거의 0에 가까운 값도 되기 때문에, 그렇게 되면 실제로는 거의 영향을 안 받을 수가 있다.
- 그렇지만 영향을 전혀 안 받을 수는 없다. 영향을 전혀 안 받으면 정보가 나올 수 없기 때문에, 정보가 나올 수 있을 만큼 최소한의 변화만 있을 수 있다. 이것을 고전역학에서는 변화가 없다고 얘기하는 것이다.
- 그런데 양자역학에서는 상태 자체가 전이돼버린다. 어떤 위치에서 사건이 일어나기 전에는 확률 80%의 성향을 가졌다가, 사건이 일어나는 순간 확률 100%에 해당하는 것으로 무조건 정의가 된다. 아무리 미세한 변화라고 하더라도 그런 차이가 나오는데, 이것이 흔히 말하는 것처럼 양자역학에서는 관찰하면 뭐가 달라진다 하는 말의 뜻이고 이것 외에 다른 의미가 없다.
상태함수에서 초기 조건은? (세미나 8회. 2023. 3. 6)
- 질문 : 상태 함수에서도 초기 조건이 필요한가?
- 변별체의 위치만 가지고 우선 생각한다. 변별체의 위치가 정해지고, 그 순간에 거기서 대상이 나왔으면 그것이 초기 상태이다. 즉 그 위치에서는 1이고 나머지에서는 모두 0인 것이 초기 상태. 그 다음에는 위치가 운동 방정식에 의해서 어느 위치로 간다, 이렇게 서술한다. 양자역학에서도 마찬가지다.
특성의 존재론, 상태의 존재론 (세미나 8회. 2023. 3. 6)
- 질문 : 무엇이 있다, 없다는 것은 우리 논의로 보면 오히려 상태보다는 특성에 더 가까운 얘기 같다. 우리 일상어로서 '존재', '있다, 없다'에 가까운 것은 특성에 해당하고, 상태는 무엇이 있으면 어디에 어떻게 있느냐라고 할 때 '어디는 위치', '어떻게는 운동량'이라고 본다면 어디에 어떻게 있느냐와 관련된 존재적인 얘기가 상태와 관련된 얘기 같다. 그런데 상태에 대한 측정 얘기가 여기서 나왔고, 변별체에 나타난 흔적을 가지고 이론적으로 그 상태를 결정하는데, 고전역학에서는 대상이 가지고 있는(직접적으로는 알 수 없지만 변별체에 나타난 흔적을 가지고 간접적으로 이론적으로 결정해나가는) 상태가 곧 성향이라고 본다면 그 성향의 값은 0 혹은 1밖에 없다, 이렇게 정리되는 것 아닌가? 그러면 우리는 특성은 어떻게 알 수 있고 특성을 알기 위한 측정은 또 이와 별도로 다르게 하는 건가?
- 1장에 설명을 해 둔 부분이 있다(pp.43-44. "인식론적 요구"). 상태와 특성을 얘기하면서 특성도 알아내야 하지만, 특성을 알아내는 것은 다양한 여러 가지 길이 있기 때문에 이 책에서는 특성 부분은 제외한다고 했다. 그 특성을 알아내는 것에 대해서는 고전역학과 양자역학에서 차이가 없다.
- 학문을 할 때에는 전제라는 것이 있다. 특성에 대한 전제는, 예를 들어서 전자를 발견했다, 중성자를 발견했다 이런 단계에서 나오는 것들이다. 여기서는 그것을 논하자는 게 아니다. 물론 좀 더 상식에 가까운 존재론은 주로 그런 것을 얘기한다.
- 그런데 기왕의 존재론에서는 거의 눈에 띄지 않았고 묻어두었던 존재론이 있다. '상태를 어떻게 규정하느냐 하는 존재론.' 이 부분은 그저 암묵적으로 가정을 해왔다는 것이다. 있느냐 없느냐, 어디에 있느냐, 어떤 운동량을 가지느냐. 여기에 대해서 아무 문제가 없는 것으로 생각을 해왔는데, 진짜 문제는 거기에 있더라는 것이다.
- 그래서 상태에 대한 존재론이 지금 여기서, 특히 양자역학에서 주로 논의하고 있는 내용이다. 양자장이론(양자마당이론)으로 가면 특성에 대한 것도 달리 보게 된다. 뒤에 나온다.
- 양자역학에서 가장 중요한 것은 상태도 존재론적인 어떤 의미를 가진다는 것이다. 과거의 존재론은 그런것을 너무 당연하게 여기고 그런 말조차 붙이지 않고 물음조차도 안 던졌는데, 그것을 파고 보니까 그 안에도 가정이 숨어 있더라는 것. 그런데 그 존재론적인 가정을 지금 말한 '성향'으로 해석해보면 여러 가능성 중에서 두 가지로 묶어버린 가정이었더라(1 아니면 0, 즉 있거나 없거나)하는 것이다.
- 그것을 누구도 파악하지 못하고, 심지어 존재론적인 가정이라는 것조차 모르고 그동안 받아들여 왔기 때문에 양자역학의 해석과 관련해서도 여러 혼란이 있어 왔다. 그래서 이 부분에서 존재론적인 혁명이 필요하다는 것이고, 이것이 이 책의 요지이다.
[그림 1] 양자역학의 역사.
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자연사랑 | 2025.01.20 | 1 | 245 |
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[자료] 열역학 영째 법칙과 온도의 정의 (2)
자연사랑
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2025.01.19
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조회 241
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자연사랑 | 2025.01.19 | 0 | 241 |
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상호작용 없는 측정(엘리추르-바이드만)과 겹실틈 실험
자연사랑
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2024.12.25
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조회 220
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자연사랑 | 2024.12.25 | 0 | 220 |
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[자료] 푸리에 변환과 힐버트 공간
자연사랑
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2024.12.10
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조회 301
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자연사랑 | 2024.12.10 | 0 | 301 |
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양자역학이 답하고 있는 문제: 상태를 어떻게 서술할까?
자연사랑
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2024.12.09
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자연사랑 | 2024.12.09 | 0 | 257 |
