[정리 : 책+세미나] 양자역학을 어떻게 이해할까? : 패자부활전 (4) - 2장.고전역학 (2.1절)
모임 정리
양자역학
작성자
neomay33
작성일
2023-05-31 20:59
조회
2695
책 : 『양자역학을 어떻게 이해할까?』 장회익. 2022. 한울아카데미.
세미나 : 5~7회 (2023. 2/13, 2/20, 2/27)
범위 : "제2장. 고전역학"중에서 '2.1 예측적 앎으로의 고전역학' (pp.61-80)
이 글은 책 『양자역학을 어떻게 이해할까?』(장회익. 2022. 한울아카데미)와 강독 세미나의 내용 중 장회익선생님께서 설명해주신 부분을 중심으로 함께 정리한 것입니다.
강독 세미나를 시작한지 5개월 정도 됐는데요. 점점 어려워지고 있어서 심기일전한다는 생각으로 1장부터 현재 진도(5장)까지 정리하고 있습니다. 책 읽으시는 데 도움이 되면 좋겠습니다.
많이 봐주시고요. 우리 함께 부활해보아요~
아래 글에서
- 검정색글씨는 책에서 발췌,
- 보라색 글씨는 세미나에서 장회익선생님께서 말씀해주신 부분을 녹취해 요약한 것입니다.
목차
제2장 고전역학
2.1 예측적 앎으로의 고전역학
- 사과는 왜 떨어지나?
- 고전역학의 전형적 사례들
- 힘의 성격과 기본적인 상호작용
- 뉴턴의 중력 상호작용
- 3차원 공간에서의 운동
- 에너지 개념을 통한 고전역학의 정식화
2.2 고전역학의 존재론
- 고전역학의 물리량들과 해당 공간들
- 공간들 사이의 독립성과 의존성
- 고전역학적 '상태'의 조작적 의미
2.3 라그랑지안 정식화와 마당 변수 정식화
- 라그랑지안과 해밀토니안 정식화
- 마당 변수 정식화: 1차원 입자 사슬의 사례
제2장 고전역학
2.1 예측적 앎으로의 고전역학
pp.61-80.
낙하 문제를 보편적으로 서술하는 방식 : 동역학
- 특성 : 차이를 최소화하고 공통점을 잘 드러내는 몇 가지 핵심 개념을 통해 보편적 방식으로 서술할 수 있다. 낙하 문제와 관련해서 핵심 개념은 질량 $m$, 힘 $F$.
- 상태 : 위치 $x$와 운동량 $p$.
❖ 고전역학의 전형적 사례들
❖ 힘의 성격과 기본적인 상호작용
❖ 뉴턴의 중력 상호작용
❖ 3차원 공간에서의 운동
*이 부분에 대해서는 책 pp.65-77, 대담 3-3 녹취 글과 그림노트를 참조해주세요.(아래 링크로 가시면 글을 보실 수 있습니다.)
- 장회익의 자연철학이야기 3-3. 고전역학의 바탕 구도와 그 요소들
- 자연철학 그림노트 1 – 낙하운동 (1, 2장)
- 자연철학 그림노트 2 – 미적분학의 근본정리
- 자연철학 그림노트 3 – 삼각함수의 정의와 몇 가지 성질
- 자연철학 그림노트 4 – 삼각함수의 미분 (부록 A9 & A5)
- 자연철학 그림노트 5 – 용수철운동 (2장)
- 자연철학 그림노트 6 – 포물선운동 & 중력상호작용 (2장)
식 (2-1) $\frac{d}{dt}p = F$ (세미나 5회. 2023. 2. 13)
- 식 (2-1)은 존재론적 개념과 정식화를 보여주는 식으로, 최초의 정식화이다.(p.65) 운동량의 변화는 힘과 같다는 뜻. 대부분의 물리학 공부는 이 식에서 출발한다.
- 여기서 존재론적 개념 : 특성과 상태를 규정하는 것.(p.65:1)
- 존재론적 개념을 바탕으로 정식화를 하면, 시간에 따라서 어떻게 달라진다는 것이 나오기 때문에 예측 가능해지고, 미래의 값을 찾는 근거로 삼을 수 있다. 이러한 정식화 없이 존재론만 가지고는 예측을 할 수 없다.
동역학의 정식화와 미분방정식 (세미나 5회. 2023. 2. 13)
- 동역학 법칙 안에는 미분 형태가 들어가 있다. 이런 것을 미분방정식이라고 부른다. 자연 법칙은 거의 대부분 미분 방정식 형태로 되어 있다. 미분의 값과 어떤 것이 연결 되는 방식이다.
- 이 미분방정식을 적분한다는 것은, 더 포괄적인 표현으로 쓰면 '미분방정식의 해를 구한다'고 얘기할 수 있다. 미분 형태로 된 미분방정식을 시간의 함수인 값 자체로 나타내는 것이 해법이다.
- 일반적으로 여기에는 상수가 포함되어 있다. 미분 형태일 때는 상수가 들어 있지 않고, 적분으로 가면 보통 '적분 상수'라고 부르는 것이 더해지는데 이 값은 방정식 만으로는 결정이 안 되는 상수이다. 이 상수를 결정하는 것이 바로 초기 조건이다. 즉 처음 상태 혹은 현재 상태를 알아야 상수를 결정할 수 있다.
- 그러니까 미분방정식은 자연 법칙이다. 그러면 자연 법칙만 알면 미래를 있느냐? 그렇지 않다. 왜냐하면 자연 법칙은 상태 변화의 법칙이기 때문에, 반드시 현재 상태를 알아야 미래 상태를 알 수 있다. 이것을 수학적으로 말하자면, 적분 상수를 아는 것이 현재 상태를 아는 것이라고 할 수 있다. 그래서 이런 문제를 볼 때 그런 관계를 염두에 두고 보는 습관을 가지는 것이 좋다.
힘 $F$ (세미나 5회. 2023. 2. 13)
- 질문 : 모든 힘은 다 받는 힘인가? 우리 자신이나 대상이 힘을 내기도 하는 경우는 없나?
- 굉장히 헷갈리는 문제이다. 물리학을 처음 공부할 때 제일 먼저 부딪히는 제일 어려운 문제이다. 힘이라는 게 내가 가지고 있는 완력, 이런 것이 힘이라고 생각하는데 반대로 내가 받는 것만이 힘이라고 하니까 헷갈리는 것이다. 똑같이 '힘'이라는 말을 쓰고 있을 뿐이지, 우리가 생각하는 힘과는 직접 관계가 없다. 물론 비슷한 점은 있지만.
- 물리학 용어 $F$와 우리가 알고 있는 힘 개념을 같은 것이라고 생각하면 굉장히 어려움을 느낄 수 있다. 그래서 일단 힘은 $F$다, 이렇게 그냥 얘기하는 게 제일 좋다. 거기에다가 힘이라는 말을 쓰는 순간부터 헷갈리기 시작한다.
힘을 특성으로 보는 것이 타당한가? (세미나 5회. 2023. 2. 13)
질문 : 특성은 어떤 대상이 가지고 있는 잘 변하지 않는 고유한 속성 같은데, 힘을 특성으로 보는 이유는?
- 자연스러운 의문이다. 여기서 말하는 '특성'은 그 물체 자체만으로 이루어지는 것을 보자는 게 아니고, 어떤 상황 아래에서 그 대상이 어떻게 되느냐 하는 것까지 포함된다. 물체가 놓인 외적인 상황까지 생각해서 그 대상을 규정하는 개념이다.
- 대상 특성 자체도 변할 수 있고, 대상의 상태도 변할 수 있기 때문에 그런 질문을 할 수 있다. 특성도 변하고 상태도 변하는데 왜 둘을 나눠서 하나는 특성이고 하나는 상태냐? 그런데 둘 다 변하지만 그렇게 나누는 것이 상황을 파악하고 서술하는 데 편리하기 때문에 그렇게 했다. 그래서 표현상 약간 억지스러운 면이 있을 수 있는데, 우선을 그렇게 받아들이고 가는 게 좋겠다.
- 그래서 나는 힘 중에서 '보존력'을 썼다. 보존력은 특별히 많이 쓰이는 종류의 힘인데 그 힘을 질량 속에 집어넣어버렸다. 그렇게 되면 많은 경우에 그냥 질량 하나만 가지고 할 수 있다.
특성과 상태 (세미나 5회. 2023. 2. 13)
- 질문 : 특성과 상태의 차이? 특성과 상태를 구분할 때 꼭 그렇지는 않지만 비교적 불변적인 것을 특성, 가변적인 것을 상태라고 이해하면 된다고 알고 있다. 그런데 대상의 미래 상태를 원하는 대로 바꾸기 위해서는 대상의 특성을 변화시켜야 된다고 하시는데, 상대적으로 불변적인 것을 변화시켜서 더 가변적인 상태를 바꾼다는 구도가 재밌기도 하지만 이것은 특성과 상태의 개념과 좀 안 맞는 게 아닌가 하는 생각이 든다.
- 특성과 상태를 나누는 기준으로 불변성, 가변성으로 보는 것은 대략 맞는 얘기다. 앞에서 얘기했듯이 보존력을 질량 속에 넣는 것도, 공간적으로 변하는 것이지 시간적으로는 변하지 않는다. 그런데 시간적으로 변하는 힘을 줄 수도 있기 때문에 너무 불변성, 가변성에 집착할 필요는 없다. 대상을 특징 지어주는 어떤 요소냐, 그런 특징을 받았을 때 대상 자체가 변하는 부분을 얘기하느냐 그 정도로 이해를 조금 폭넓게 해주면 좋겠다.
- 나는 메타적 관점으로 많이 본다. 특성과 상태 같은 개념을 설정할 필요가 있고 참 편리하다. 그런데 물리학에서는 그 구체적인 내용만 다루지, 그것들이 공통적으로 가지는 메타적 개념이라는 이름조차 붙어 있지 았다. 그저 쓰다 보면 몸에 익혀지니까 저절로 알게 되고 익숙해지는 것이다. 특성도 그렇고, 상태라는 말은 요즘 많이 쓰고 있지만 엄격한 정의 같은 것은 잘 안 나온다.
❖ 에너지 개념을 통한 고전역학의 정식화
'에너지를 통한 고전역학의 정식화'의 의미 (세미나 7회. 2023. 2. 27)
- 앞에서는 고전역학의 상태변화의 법칙을 힘 개념만으로 서술. 이제 에너지 개념을 통해 정식화해보자.
- 자연계에 존재하는 많은 중요한 힘들은 위치의 함수 $V(x)$를 위치변수로 미분한 형태. $F_c = - {\frac{dV(x)}{dx}}$ (식 2-20. p.78)(고전역학에서는 힘을 시간에 대한 운동량의 변화율로 표현했다. $F={\frac{d}{dt}}p$)
- (세미나 7회. 2023. 2. 27)
- 식 2-20에서 우변을 보면 위치변수의 미분 형태로 돼 있기 때문에 그 식 전체를 위치 변수로 적분해볼 수 있다. 앞에서는 시간에 대해서 미분을 해서 위치와 운동량이 시간에 따라서 어떻게 달라지는지 봤는데, 여기서는 위치변수로 적분을 해서 운동량을 찾는다.
- 그런데 여기서는 힘 자체가 위치변수에 대한 미분 형태로 돼 있기 때문에 힘 부분을 적분하면 저절로 적분이 돼서 퍼텐셜 에너지가 된다.
- 운동량 부분은 기본적으로 시간의 함수로 생각을 해왔기 때문에 여기서는 매개 변수 $x$를 도입해서 위치 변수에 대해 적분을 해줄 수 있다. 그렇게 하면 양변이 다 위치의 함수가 되어서 적분을 할 수 있고, 이렇게 해서 나온 모든 항을 우리는 '에너지'라고 부른다.(그림 1)
- 그래서 힘 쪽에서 적분해서 나온 것이 퍼텐셜 에너지, 운동량 부분을 적분해서 나온 것이 운동에너지라고 부른다. 그래서 모두 에너지로 표현할 수 있다.
- 적분 상수 : 이것은 변수 $x$에 무관한 상수($E$)이기 때문에 위치가 어디든 $E$값은 항상 같다. 그래서 이것을 역학적 에너지, 전체 에너지라고 한다. 이것을 둘로 나누면 운동에너지와 퍼텐셜 에너지. 둘의 합이 역학적 에너지이고 이 값은 항상 같다. ==> 에너지 보존 법칙.
[그림 1] 에너지 개념으로 고전역학을 정식화하는 과정. 식 (2-20) ~ (2-23)
[그림 2] 외력을 받는 경우 대상계의 시간에 따른 에너지 변화율. 식 (2-22)~(2-26)
해밀토니안 (세미나 6회. 2023. 2. 20)
- 공간 안에 힘이 작용하는 모습을 위치의 함수로 표현한 것.
- 중력장(힘)이 있다고 할 때 여기 있느냐 저기 있느냐에 따라서 퍼텐셜 에너지가 다르다는 것이다.
- $mgh$ : 높이에 따라서 힘이 다르다. ==> 높이의 함수.
- 용수철 : 늘이는 위치에 따라서 힘이 다르다. ==> 위치의 함수.
- 엄격히 얘기하면 (이 힘은) "상호작용". 지금은 편의상 단일 입자를 암묵적으로 가정하고 얘기하는 것이고, 사실은 상호작용이다. 대부분의 사례에서는 한 쪽(의 질량)이 대단히 크다. 벽/용수철, 지구/사과 등. 벽과 지구의 움직임이 (용수철과 사과에 비해) 워낙 작기 때문에 한 쪽만 봐도 되는 것일 분이다. 원래는 이체 문제(two-body problem).
$x$, $p$는 상태를 나타내는 값이라고 했는데, $H(x, p)$는 왜 특성인가? (세미나 6회. 2023. 2. 20)
- 여기서 특성은 $x, p$가 아니라 함수(형태)이다. $x, p$는 여기서 값이 아니라 변수로 들어가 있는 것이다. 함수라는 것 자체가 의미를 갖는다. 물리학자들이 가장 즐겨 쓰는 표현이 해밀토니안 함수이다.
- $x$의 어떤 모양의 함수인가 하는 것이 의미를 가진다. '어떤 모양의 $x$의 함수인가'하는 것은 '어떤 힘을 받는가'하는 뜻이다. 질량을 알면 운동에너지를 표현할 수 있고, 힘을 알면 퍼텐셜 에너지를 알 수 있다.
- 특성은 어떤 대상을 규정해주는 기본적인 성격인데, 그 표현은 여러가지이다. 예> 뉴턴, 해밀토니언, 라그랑지안.
- 해밀토니안은 대상의 특성을 함수 형태로 대변하는 것. 전체 에너지($E$)를 표현한 것. 에너지가 위치와 운동량으로 어떻게 표현되느냐 하는 것이 해밀토니안이다.==> 슈뢰딩거 방정식에 들어가는 것이 해밀토니안이다.==> 해밀토니안을 시간으로 편미분하고 공간으로 편미분한 것이 어떻게 된다하는 형식으로 쓴 게 뉴턴의 운동방정식.
고전역학이 중요한 이유 (세미나 7회. 2023. 2. 27)
- 2.1절까지의 내용이 고전역학에서 알아야할 내용들을 담은 것이다.
- 양자역학인데 왜 고전역학을 먼저 공부하나? : 고전역학을 알아야, 여기서 뭐가 달라져서 양자역학이 됐는지 알 수 있다. 이렇게 알아가야 양자역학을 제대로 알 수 있다.
고전역학에서 에너지는 독립적인 물리량이 아니다. (세미나 7회. 2023. 2. 27)
- 운동량과 질량이 있으면 운동에너지가 정의되고, 힘이 주어지면 퍼텐셜 에너지가 정의된다.
- 고전역학에서는 에너지를 독립된 물리량으로 취급을 안 하지만, 상대성이론과 양자역학으로 가면 에너지는 독립된 물리량(운동량의 한 성분)이 된다. $x, y, z$ 성분의 운동량에 에너지가 더해져서 4차원의 운동량을 만드는 것이다.
- 여기서 핵심은 : 운동에너지와 퍼텐셜 에너지가 무엇이다 하는 것 & 둘의 합이 전체 에너지라는 것 & 이것은 보존력을 받는 경우에만 변하지 않는다. 외력이 있는 경우에는 전체 에너지가 변할 수 있다.
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