양자역학에서 가장 핵심적인 역할을 하는 것이 슈뢰딩거 방정식이다. 그런데 슈뢰딩거 방정식은 근본적으로 비상대론적이다. 1920년대 유럽 물리학계의 분위기를 볼 때 상대성이론을 벗어나서 비상대론적인 파동방정식을 고안한 것은 이례적인 일로 보인다. 특히 슈뢰딩거가 파동방정식을 고안하게 된 직접적인 계기가 드브로이의 박사학위논문과 그에 이은 논문들이기 때문이다. 드브로이의 논문들은 처음부터 상대성이론을 가장 핵심적인 출발점으로 삼았다.

지금의 관점에서 상대론적 파동방정식은 크게 두 가지로 나뉜다. 하나는 스핀을 고려하지 않는 경우에 적용되는 클라인-고르돈 방정식(Klein-Gordon equation)이고, 다른 하나는 스핀을 근본적으로 포함하는 디랙 방정식(Dirac equation)이다.

(클라인-고르돈 방정식)

클라인-고르돈 방정식을 유도한 사람은 누구일까 묻는다면, 쉽게 클라인과 고르돈일 거라는 대답이 나오겠지만, 실제의 역사는 더 복잡다단하다.

양자역학의 탄생을 알리는 가장 유명한 논문은 1925년 11월에 출판된 소위 ‘삼인작 Dreimännerarbeit’이다. 막스 보른, 베르너 하이젠베르크, 파스쿠알 요르단이 함께 쓴 논문으로서 보어-조머펠트의 고전양자론이 갖고 있던 문제를 사실상 모두 해결하고 명실 공히 새로운 동역학을 제안한 것이다. 그러나 이 새로운 동역학을 이해할 수 있는 물리학자는 매우 적었다. 이 새로운 이론을 사용하여 원자물리학의 문제를 풀 수 있는 물리학자는 삼인작의 세 명과 볼프강 파울리뿐이었다고 말하기도 한다. 

1926년 1월에 출판된 슈뢰딩거의 논문 “고유값문제로서의 양자화” 연작 이후에야 비로소 물리학자들은 새로운 동역학 즉 파동역학을 이용하여 많은 미해결 문제들을 풀어낼 수 있었다. 제만 효과, 슈타르크 효과, 헬륨원자문제(ortho상태와 para상태의 구분과 기원) 등은 이 과정에서 풀렸던 문제들이다. 그런데 슈뢰딩거의 파동역학은 맨 처음부터 ‘비상대론적인’ 접근임을 밝히고 있다. 1920년대 유럽 물리학계의 상황에 비추어 볼 때 상대론적인 접근을 피한 것은 이상한 일이었다.

행렬역학에서는 상대론적 확장이 다소 모호해 보였지만, 파동역학을 상대론적으로 확장하는 것은 비교적 쉬운 일이었다. 그러한 노력의 결과로 얻어진 파동방정식이 이른바 클라인-고르돈 방정식이다. 그런데 이 방정식은 클라인과 고르돈만의 것이 아니다. 이 방정식을 이러저러한 식으로 제안한 사람에는 슈뢰딩거, 클라인, 파울리, 포크, 드동데-판덴둥겐, 드브로이, 쿠다르, 이바넨코-란다우, 고르돈 등이 들어간다. 이 여러 이름 중 유독 클라인과 고르돈을 추려낸 이유는 무엇일까?

실상 1925년에 슈뢰딩거는 파동방정식을 모색하는 과정에서 먼저 상대론적인 경우를 생각하여 상대론적 파동방정식을 얻었다. 처음 슈뢰딩거가 유도한 파동방정식은 전자기마당이 있을 때의 아인슈타인-드브로이 관계식 $$(E+eV) ^{2} =c ^{2} ( {\vec{p}} +e {\vec{A}} /c) ^{2} +m ^{2} c ^{4}$$에서 (여기에서 $V$와 $\vec A$는 각각 스칼라 및 벡터 포텐셜임) $${\vec{p}} \rightarrow  \frac{h}{2 \pi i}  \nabla  , \quad E=h \nu \rightarrow \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial }{\partial t}$$와 같이 미분연산자를 도입함으로써 유도되었다. 수소원자의 경우는  $V = e / 4 \pi r$, $\vec A = 0$인 것에 해당하므로, 파동방정식은 $$\nabla  ^{2}  \psi + \frac{4 \pi  ^{2}} {h ^{2} c^2} \left[ \left( h \nu + \frac{e ^{2}}{4\pi r} \right) ^{2} - \left( mc ^{2} \right) ^{2} \right]  \psi =0$$의 꼴이 된다.

슈뢰딩거는 미세구조상수 $\alpha=e^2 / 4 \pi \hbar c \approx 1/137$의 차수로 전개했을 때 에너지 고유값이 $$E=h \nu =mc ^{2} \left[ 1- \frac{\alpha  ^{2}}  {2n ^{2}} - \frac{\alpha  ^{4}} {2n ^{4}} \left( \frac{n}{l+1/2} - \frac{3}{4} \right) + \cdots  \right]$$이 됨을 계산했다. 여기에서 $n, l$은 각각 으뜸양자수, 버금양자수이며,  $0 \le l \le n-1$이다. 그런데 이 계산결과는 파셴(Friedrich Paschen)이 실험으로 얻은 결과와 달랐으며, 오히려 보어-조머펠트 이론에서 얻을 수 있는 $$E=h \nu =mc ^{2} \left[ 1- \frac{\alpha  ^{2}} {2n ^{2}} - \frac{\alpha  ^{4}} {2n ^{4}} \left( \frac{n} {k} - \frac{3} {4} \right) + \cdots  \right] ,$$ $$ k = l +1,  \quad 0 \le l  \le n-1$$ 가 실험과 잘 맞았다. 고심 끝에 슈뢰딩거는 상대론적인 접근을 포기하고, 비상대론적인 접근을 통해 1926년 초에 자신의 비상대론적 파동방정식을 발표했던 것이다.

즉 아인슈타인-드브로이 관계식 대신에 고전역학에서와 마찬가지로 $$E = \frac{\vec{p}^2}{2m} + \frac{e}{4\pi r}$$로부터 출발하여, $${\vec{p}} \rightarrow  \frac{h}{2 \pi i}  \nabla  , \quad E=h \nu \rightarrow \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial }{\partial t}$$와 같이 미분연산자를 도입하면, $$\nabla^2 \psi +\frac{8\pi^2 m}{h^2} \left(h\nu - \frac{e^2}{4\pi r} \right)\psi = 0$$과 같은 파동방정식을 얻는다. 이것은 $$i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = H\psi$$라고 쓰는 것과 동등하다.

슈뢰딩거의 연작 논문 “고유값 문제로서의 양자화”(Quantisierung als Eigenwertproblem)가 출판되자, 이를 어떻게 상대성이론과 융합시킬 것인가에 사람들의 관심이 자연스레 모였다. 1926년 상대론적 파동방정식이 여러 사람의 손에서 유도되었다.

1921년 칼루짜(Théodor Kaluza)는 “물리학의 통일 문제에 관하여”(Zum Unitätsproblem der Physik)이라는 제목의 논문에서 중력마당과 전자기마당의 통일이론을 제안했다. 클라인(Oskar Klein)은 1926년 4월에 발표한 논문에서 칼루짜의 이론을 ‘양자화’함으로써$$\nabla  ^{2} U- \frac{1}  {c ^{2}} \frac{\partial  ^{2} U} {\partial t ^{2}} - \frac{2eV} {c ^{2}} \frac{\partial  ^{2} U} {\partial t \partial  \zeta } + \left( m ^{2} c ^{2} - \frac{e ^{2} V ^{2}} {c ^{2}} \right) \frac{\partial  ^{2} U}  {\partial  \zeta  ^{2}} =0$$와 같은 파동방정식을 제시했다. 여기에서 $\zeta$는 5차원 시공간의 5번째 좌표이다.
$$U(x, y, z, t, \zeta )=\exp\left({2 \pi i( \nu t- \frac{\zeta } {h} )} \right) \psi (x, y, z)$$로 쓰면, 이 식은 슈뢰딩거가 얻은 상대론적 파동방정식 $$\nabla  ^{2}  \psi + \frac{4 \pi  ^{2}}  {h ^{2} c ^{2}} \left[ (h \nu -eV) ^{2} -m ^{2} c ^{4} \right]  \psi =0$$으로 환원된다.

클라인은 1926년 12월에 “대응원리의 관점에서 본 전기역학과 파동역학”(Elektrodynamik und Wellen- mechanik vom Standpunkt des Korrespondenzprinzip)라는 제목의 논문을 Zeitschrift für Physik에 제출했다. 이 논문에서 전자기 포텐셜 안에 있는 전자에 대한 파동방정식 $$- \frac{h ^{2}}  {4 \pi  ^{2}} \Box \phi +2 \frac{h}  {2 \pi i} \frac{e} {c} \left( {\vec{A}}  \cdot  \nabla  \phi +V \frac{1} {c} \frac{\partial  \phi }  {\partial t} \right ) + \left[ m ^{2} c ^{2} + \frac{e ^{2}}  {c ^{2}} (A _{x}^{2} +A _{y}^{2} +A _{z}^{2} -V ^{2} ) \right]  \phi =0$$이 제시되었는데, 클라인은 전자기 마당이 없는 경우에 이 방정식이 $$\Box \phi - \frac {4 \pi  ^{2}}  {h ^{2}} m ^{2} c ^{2}  \phi =0$$의 꼴이 됨을 지적하고 있다. 여기에서 $\Box$는 달랑베르 연산자로서 $$\Box := \frac{\partial  ^{2}} {\partial x ^{2}} + \frac{\partial  ^{2}} {\partial y ^{2}} + \frac{\partial  ^{2}} {\partial z ^{2}} - \frac{1} {c ^{2}} \frac{\partial  ^{2}}  {\partial t ^{2}}  =  \nabla  ^{2} - \frac{1} {c ^{2}} \frac{\partial  ^{2}} {\partial t ^{2}} $$을 의미한다.

슈뢰딩거의 논문 “고유값 문제로서의 양자화 IV”에도 이 방정식이 등장하지만 그 논문이 출판된 것이 1926년 9월이었기 때문에, 결국 이 방정식을 처음 제시한 이는 클라인이라 할 수 있다. 1926년 4월 12일에 파울리(Wolfgang Pauli)는 요르단(Pascual Jordan)에게 보낸 편지에서 슈뢰딩거의 비상대론적 파동방정식을 상대론과 어울리도록 $$\nabla ^{2}  \psi - \frac{1}  {c ^{2}} \frac{\partial  ^{2}  \psi } {\partial t ^{2}} + \frac{m ^{2} c ^{2}}  {E ^{2}} \frac{\partial  ^{2}  \psi } {\partial t ^{2}} =0$$와 같이 쓸 수 있다고 제시했다.

러시아 레닌그라드 출신의 포크(Vladmir Aleksandrovich Fock)도 1926년 6월 11일에 투고한 논문 “Zur Schrödingerschen Wellenmechanik”에서 균일한 자기마당 $B$에 수소원자가 있을 때, 상대론적 파동방정식이 $$\nabla  ^{2}  \psi - \frac{eB}  {Ec} \left( y \frac{\partial  ^{2}  \psi } {\partial x \partial t} -x \frac{\partial  ^{2}  \psi } {\partial y \partial t} \right) - \frac{2m} {E} \left[ E+ \frac{e ^{2}}  {r} - \frac{e ^{2} B ^{2}} {8mc ^{2}} \left( x ^{2} +y ^{2} \right) \right] \frac{\partial  ^{2}  \psi }  {\partial t ^{2}} =0$$이 됨을 제시했다.

그뿐 아니라, 벨기에의 드동데(Théophile De Donder)와 판덴둥겐(Frans van den Dungen)도 1926년 7월 5일에 “아인슈타인의 중력이론에서 유도된 양자화”(La quantification déduite de la Gravifique einsteinienne)라는 제목의 짤막한 논문을 파리 과학 아카데미에서 발표했다. 10월 11일에는 이 논문을 발전시켜 아인슈타인의 중력이론과 어울리는 파동방정식을 유도하여 파리 과학 아카데미에서 발표했는데, 이 방정식에서 중력 부분을 빼고 나면 슈뢰딩거가 얻었던 방정식과 같아진다.

그 사이 7월 26일에 드브로이(Louis de Broglie)는 파리 과학 아카데미에서 “새로운 파동역학에 관한 논평”(Remarques sur la nouvelle mécanique ondulatoire)에서 이 방정식의 한 형태를 발표했다. 이는 Comptes rendus에 출판되었다.

1926년 8월 30일에 Annalen der Physik은 헝가리 세게드(Szeged) 대학의 쿠다르(Janos Kudar)가 쓴 논문, “파동역학의 4차원 정식화에 관하여”(Zur vierdimensioinalen Formulierung der undulatorischen Mechanik)를 받았다. 이 논문은 10월 26일에 출판되었다.

쿠다르의 “슈뢰딩거의 파동방정식과 4차원 상대성역학”(Schrödingersche Wellengleichung und vierdimensionale relativitätsmechanik)이 Physikalische Zeitschrift에 접수된 것은 9월 3일이었고, 11월 5일에 출판되었다.

레닌그라드의 이바넨코(Dimitri Iwanenko)와 란다우(Lev Landau)는 “클라인-포크 방정식의 확장에 관하여”(Zur Ableitung der Klein-Fochschen Gleichung)라는 제목의 논문을 Zeitschrift für Physik에 출판하였다. 이 논문이 접수된 것은 1926년 10월 8일이었고, 출판된 것은 11월 29일이었다.

독일의 물리학자 발터 고르돈(Walter Gordon)의 논문, “슈뢰딩거의 이론에 따른 컴프턴 효과”(Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie)는 1926년 9월 29일에 Zeitschrift für Physik에 접수되었다. 고르돈의 논문은 11월 29일에 이바넨코와 란다우의 논문과 같은 호에 출판되었다.

시기상으로는 고르돈의 논문이 거의 맨 나중이지만, 고르돈의 논문은 그 중 가장 체계적이고 수학적으로도 잘 정돈된 것이었기 때문에, 이후에 상대론적 파동방정식은 클라인-고르돈의 방정식으로 불리기 시작했다. 어쩌면 클라인-슈뢰딩거-포크-드동데-판덴둥겐-드브로이-쿠다르-이바넨코-란다우-고르돈 방정식이라고 길게 쓸 것을 ‘클라인부터 고르돈까지’라는 의미로 클라인-고르돈 방정식이라 부르는 것이라 말해도 좋을 것이다.

클라인-고르돈 방정식은 해석 차원에서 심각한 문제를 드러냈다. 슈뢰딩거의 비상대론적인 파동방정식은 보른(Max Born)의 규칙을 통해 확률적으로 해석되었다. 즉 파동방정식의 풀이는 그 절대값 제곱이 확률밀도함수가 된다는 것이었다. 하지만 슈뢰딩거의 방정식과 달리 클라인-고르돈 방정식의 시간 미분은 2계도함수이기 때문에, 확률밀도함수에 해당하는 항 $\rho = \mbox{Im} \left( \phi  ^{*} \frac{\partial } {\partial t}  \phi  \right)$이 반드시 양의 값을 갖는다는 보장이 없었다. 디랙(Paul Adrien Maurice Dirac)은 이 점에 주목하였다. 디랙은 1969년 3월 작디쉬 메라와의 대담에서 다음과 같이 회고했다.

  “내가 코펜하겐에 있을 때의 기억입니다. 보어는 내게 요즘 하고 있는 일이 무엇이냐고 물었고, 나는 만족할만한 전자의 상대론적인 이론을 얻으려 애쓰고 있다고 대답했습니다. 보어는 말했습니다. “하지만 클라인과 고르돈이 이미 그 일을 해 버렸습니다!” 그 대답 때문에 처음에 나는 매우 당황했습니다. 보어는 클라인의 풀이에 저으기 만족한 것 같았지만, 나는 클라인의 방정식에서 도출되는 음의 확률 때문에 만족할 수 없었기 때문이었습니다. 나는 계속 그 연구를 계속했지만, 양의 확률만 나오는 이론을 얻을 수 있을지에 대해서는 걱정스러웠습니다.“

1928년 디랙은 음의 확률이 나오는 까닭이 파동방정식의 시간 미분이 2계도함수이기 때문임을 알아챘고, 비상대론적인 파동방정식처럼 시간 미분의 1계도함수만 나오는 파동방정식을 만들려 했다. 디랙은 슈뢰딩거의 파동방정식의 유비로부터 $$i \hbar  \frac{\partial } {\partial t}  \psi =H \psi$$라 할 때, 하밀토니안 $H$는 상대성이론에 따른 아인슈타인-드브로이 관계식 $$H ^{2} =c ^{2} p ^{2} +(mc ^{2} ) ^{2} $$을 만족해야 한다고 하면, 일반적으로 $$H=c {\vec{\alpha }}  \cdot  {\vec{p}} + \beta mc ^{2}$$의 꼴이 된다고 할 때, 이 계수들이 $4\times 4$ 행렬이 됨을 유도할 수 있었다. 아인슈타인-드브로이 관계식을 만족하기 위해서는$$( \alpha  _{i} ) ^{2} =1, \quad \alpha  _{i} \alpha  _{j} + \alpha  _{j} \alpha  _{i} =0 \quad (i \not= j), \quad \beta  ^{2} =1, \quad \alpha  _{i} \beta + \beta  \alpha  _{i} =0 $$의 조건이 만족되어야 한다.

이 파동방정식은 $$(p _{0} + \alpha  _{1} p _{1} + \alpha  _{2} p _{2} + \alpha  _{3} p _{3} + \beta mc  ) \psi =0, $$ $$p _{0} =i \hbar  \frac{\partial }{c \partial t}, \quad p _{i} =-i \hbar \frac {\partial } {\partial x _{i}}$$의 꼴로 쓸 수 있기 때문에, 더 분명하게 로렌츠불변임을 볼 수 있다.

전자기마당이 있을 때에는 최소결합규칙 $${\vec{p}} \rightarrow {\vec{p}} + \frac{e}{c} {\vec{A}} , \quad p _{0} \rightarrow p _{0} + \frac{e} {c} A _{0}$$을 적용하면, 원하는 파동방정식은 $$\left( i \hbar  \frac{\partial }  {\partial t} +eV \right)  \psi = {\vec{\alpha }}  \cdot  \left( -i \hbar c \nabla +e {\vec{A}} \right)  \psi + \beta mc  \psi$$가 된다. 여기에서 $\psi$는 4행의 열벡터이다.

전자기마당이 없을 때 디랙 방정식은 다음과 같은 꼴이 된다. $$ i \hbar  \frac{\partial \psi}  {\partial t} = -  i \hbar c \vec{\alpha }\cdot\nabla   \psi + \beta mc   \psi$$ 이를 더 간단하게 표현하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

1928년 찰스 골턴 다윈과 고르돈은 디랙의 파동방정식을 풀어서, 전자기마당 안의 수소원자에 대한 에너지 스펙트럼이 정확히 $$E=mc ^{2} \left[ 1+ \alpha  ^{2} \left( n-j- \frac{1}{2} + \sqrt {(j+ \frac{1}{2} ) ^{2} - \alpha  ^{2}} \right) ^{-2} \right] ^{-1/2}$$이 됨을 유도하였다. 이 식을 $\alpha$에 대해 펼쳐 보면 앞의 세 항은 보어-조머펠트 이론으로 유도된 결과와 같으며, 파셴의 실험결과와 정확히 일치한다.