장회익 선생님의 <양자역학을 어떻게 이해할까?>에는 독특한 논의가 있습니다.

고전역학에서는 상태를 위치와 운동량으로 나타냅니다. 그런데 양자역학에서는 위치만으로 상태를 나타내거나 또는 운동량만으로 상태를 나타낼 수 있습니다. 더 정확하게 말하면, 상태를 위치의 함수로 나타내거나 운동량의 함수로 나타낼 수 있습니다. 이 두 함수가 모두 상태함수로서 대상에 대한 정보를 온전히 나타냅니다.

여기에서 중요한 역할을 하는 것이 푸리에 변환(Fourier transform)입니다.

푸리에 변환에 대해 아래 글들이 도움이 될 수 있습니다.

푸리에 변환 초급 1

푸리에 변환 초급 2

푸리에 변환과 하이젠베르크-파울리-바일 부등식

불확정성 '원리'를 증명/유도하기

장 바티스트 조제프 푸리에

푸리에 변환을 상세하게 이해하려면 약간 수학적 훈련이 필요하지만, 그 기본 원리를 이해하기 위해서는 아래 그림이 도움이 될 것입니다.

(출처: https://bit.ly/3KLKS72 )

왼쪽에 복잡한 신호가 $s(t)$로 주어져 있습니다. 그 위에는 '시간 정의역'이란 용어가 있습니다. 정의역은 함수에서 독립변수가 들어 있는 집합을 가리킵니다. 여하간 우리가 다루는 신호는 시간의 함수로 주어져 있습니다. 그런데 대체로 시간의 함수를 처리하고 다루기가 불편할 때가 많습니다. 이럴 때 푸리에 변환(FT)을 해서 이 함수를 진동수의 함수 $S(\omega)$로 바꿉니다. 위의 그림 오른쪽 아래에 '진동수 정의역'이라고 적혀 있습니다.

시간 정의역에서 보면 아주 복잡해 보이는 신호가 진동수 정의역에서 보면 몇 개의 진동수가 명확하게 보여서 쉽게 처리할 수 있는 다른 신호가 됩니다. 이런 것을 수학에서 '변환(transform)'이라 부릅니다. 용어를 곧이곧대로 이해하면 형태/형식(form)을 변형(trans-)시킨다는 의미입니다.

이와 유사한 것으로 라플라스 변환이 있습니다. 이를 도표로 그리면 아래와 같습니다.

(출처: https://i.stack.imgur.com/j5wXS.png )

지금 관심을 두고 있는 함수가 $x(t)$입니다. 가령 이 함수의 도함수들과 원래의 함수 사이에 어떤 관계가 주어졌을 때 원래의 함수를 구하려고 합니다. 이것이 미분방정식입니다. 함수를 몇 차례 미분하고 다시 적분하고 하는 과정은 꽤 복잡합니다. 그런데 이 함수를 시간 정의역이 아니라 진동수 정의역이 되도록 변환하면, 풀어야 할 문제가 상당히 간단해지기도 합니다. $x(t)$의 라플라스 변환한 결과를 $X(s)$이라고 하면, 미분방정식이 대수적인 방정식으로 바뀝니다. 2계도함수가 포함된 2계 미분방정식을 푸는 대신 대수적인 2차 방정식을 풀면 충분합니다. 그렇게 얻는 결과를 역변환하면, 애초에 풀고자 했던 문제의 풀이가 간단하게 나옵니다.

이와 같은 수학적 변환은 문제 풀이를 위한 좋은 기법으로 볼 수 있고, 특히 공과대학에서 공학수학이라는 이름으로 학부 2학년 때부터 숙달되도록 훈련하는 테크닉입니다.

그런데 양자역학을 이해하기 위해서 푸리에 변환을 가져오면 상황이 무척 흥미로워집니다.

고전역학에서는 운동의 변화를 이해하기 위해 궤적에 주된 관심을 두었습니다. 따라서 현재 시각에 어디(즉 $x(t)$)에 있는가 하는 정보와 더불어 어디로 튈 것인가(즉 $p(t)$) 하는 정보도 있어야 합니다. 이러한 관념이 뉴턴 이래 20세기 초까지 흔들림 없이 유지되었기 때문에, 운동의 상태는 당연히 위치와 운동량을 모두 규정하는 것으로 여겨졌습니다.

하이젠베르크가 1927년에 문득 미결정성 부등식에 주목하여 위치를 정확히 정하려 하면 운동량이 부정확하게 정해지고, 반대로 운동량을 정확히 정하려 하면 위치가 부정확하게 정해진다는 이야기를 꺼낸 것은 운동의 상태를 위치와 운동량으로 나타내야 한다는 기존의 형식체계를 전혀 벗어나지 못했기 때문이었습니다.

그런데 위치와 운동량의 관계는 푸리에 변환이나 라플라스 변환에서 시간과 진동수의 관계처럼 서로 상호적인 관계입니다. 수학에서는 푸리에 변환을 다음과 같이 정의합니다.

주어진 함수 $f(x)$에 대하여 그 푸리에 변환 $\hat{f}(\xi)$를 $$\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i2\pi x\xi} dx$$로 정의하면, 그 역변환은 $$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{i2\pi x\xi} d\xi$$로 주어집니다.

지수함수 위에 $2\pi$를 포함시키면 적분기호 앞에 인수가 복잡해지지 않기 때문에, 이렇게 정의합니다.

<양자역학을 어떻게 이해할까?>의 (4-7)식과 (4-8)식처럼 해도 내용은 완전히 같습니다.

$\Psi(x)$의 푸리에 변환을 $\Phi(k)$라 하면, $$\Phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x) e^{-ikx} dx$$가 되고, 그 역변환은 $$\Psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \Phi(k) e^{ikx} dk$$이 됩니다. "하나를 알면 다른 하나는 저절로 결정된다는 점에서 이 두 함수는 표현만 다를 뿐 그 담고 있는 내용은 동일"함을 쉽게 알 수 있습니다.

이렇게 하면 $f(x)$에 대해 이야기하는 것과 $\hat{f}(\xi)$에 대해 이야기하는 것이 대칭적이어서 서로 짝을 이루게 됩니다. 이를 곧잘 쌍대성(duality)이라 부릅니다. 장회익 선생님은 '상반공간'이란 용어를 선택하셨습니다.

수학에서는 이러한 내용이 꽤 오래 전부터 상세하게 알려져 있었고 다루어졌습니다. 푸리에 변환에서 두 독립변수들 사이에 일정한 관계가 있음은 분명합니다. 하이젠베르크는 동역학의 상태가 반드시 위치와 운동량으로 주어져야 한다고 보았기 때문에, 이 둘을 동시에 말하는 것이 불필요하다는 점을 받아들이지 못했습니다. 물론 지금처럼 여러 상황을 다 알게 된 뒤가 아니라 맨 처음에 개척자로서 새로운 동역학을 만들어가던 입장이었으므로, 하이젠베르크가 그랬던 것도 충분히 납득이 갑니다.

푸리에 변환에서 지수함수에 들어가는 것이 $e^{i kx}$라면 서로 상반적인 두 변수는 $k$와 $x$가 됩니다. 서로 곱의 역수 관계라는 의미입니다. 만일 지수함수에 들어가는 것이 $e^{i \omega t}$라면 두 상반 변수는 $\omega$와 $t$가 됩니다. 이를 잘 보여주는 것이 가령 아래의 텍스트입니다.

(출처: Elias M. Stein & Rami Shakarchi (2003) Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press. p. 158)

조금 복잡해 보일 수도 있지만, 이 정리에서 말하고 있는 것이 정확히 하이젠베르크 부등식의 내용입니다.

물리학에서는 상황이 조금 더 꼬여 있습니다. 1924년 루이 드브로이가 플랑크의 식과 아인슈타인의 식을 확장하여 전자에 $$\lambda = \frac{h}{p}$$와 같은 '파장'이 있을 수 있다고 주장했습니다. 그런데 알고 보면 이것은 $$e^{i2\pi p x/h}= e^{ipx/\hbar}$$와 같은 지수함수를 매개로 $\Psi(x)$와 $\Phi(k)$가 서로 푸리에 변환의 관계에 있다는 말이었습니다.

물리학에서는 물리상수 $h$ 또는 $\hbar$를 도입하므로 $$ \lambda p = h$$와 같은 식이 성립하고, 결국 '길이(또는 위치)'와 '운동량'이 서로 상반적 관계에 있음을 말해 줍니다. 그리고 단위를 따져서 그 곱이 $h$ 또는 $\hbar$가 되는 것입니다.

이와 마찬가지로 1900년에 발표된 플랑크의 공식 $$E = \hbar \omega = h \nu =  \frac{h}{T}$$도 $$ E T = h$$와 같고, 이것은 '에너지'와 '시간'이 서로 상반적 관계에 있음을 말해 줍니다.

물리학자들은 습관적으로 길이는 운동량의 역수이고 시간은 에너지의 역수라고 간주하곤 합니다. 이와 관련하여 입자물리학에서 자주 사용되는 $$\hbar c = 197.3 \ \mbox{MeV}\cdot \mbox{fm}$$라는 값을 소개하고자 합니다. 여기에서 $\mbox{MeV}$는 메가전자볼트로서 100만 전자볼트를 의미합니다. 전자볼트(electronvolt)는 에너지의 단위로서, 전자가 1볼트의 전압에서 받는 에너지로 정의합니다. 전자의 전하량이 1.602176634×10⁻¹⁹ C (쿨롬)이므로, $$1 \mbox{eV} = 1.602 176 634\times 10^{-19} \mbox{J}$$이 됩니다. 여기에서 J는 에너지 단위인 줄(joule)의 약자입니다. 플랑크 상수는 $h=$6.62607015×10⁻³⁴ J⋅s이고 이를 $2\pi$로 나눈 플랑크-디랙 상수는 $\hbar=$1.054571817...×10⁻³⁴ J⋅s이며, 광속은 2.997 924 58 m/s이므로 이 둘을 곱한 값은 $$\hbar c = 3.16152677...\times 10^{−26} \ \mbox{J}\cdot\mbox{m} = 197.326 980 4... \ \mbox{MeV}\cdot\mbox{fm}$$가 됩니다. 여기에서 fm은 펨토미터로서 $10^{-15}$미터입니다.

입자물리학자가 즐겨 사용하는 자연단위계에서는 $\hbar=1$, $c=1$이므로, 이 말은 곧 1펨토미터의 길이가 197 메가전자볼트의 에너지와 같다는 의미가 됩니다. 그래서 입자물리학에서는 대상이 점점 더 작아질수록 그 에너지가 점점 더 커진다고 즐겨 말합니다. 그리고 단위환산이 필요할 때에는 $$\hbar c \simeq 200 \ \mbox{MeV}\cdot \mbox{fm}$$를 기억하여 계산을 합니다.