제가 지난 주에 참석할 수가 없어서 중요한 말씀을 놓친 듯 합니다. 어제 세미나 시작할 때 나누신 말씀을 정확히 이해하지 못했습니다만, 위치공간과 운동량공간이 독립적이라고 말할 때에 어쩔 수 없이 어폐가 있다고 생각합니다. 아래 올려 놓은 글 “위상공간과 심플렉틱 다양체”가 위상공간과 운동량공간을 독립적인 것으로 보기 어렵다는 점을 설명하려 시도한 글입니다.

핵심은 위치가 정해지고 나면 거기에 올(fiber)로 매달리게 되는 운동량공간이 임의적으로 주어지는 것이 아니라 위치의 상황에 따라 일의적으로 정해진다는 것입니다. 하지만 직관적으로 ”어디에서“가 정해진다고 해서 그것이 그 다음 순간 어디로 튈지 바로 정해지는 것은 아니기 때문에 일차적으로 위치와 운동량은 독립적입니다. 그런데 위치와 운동량을 모두 합해 전체적인 공간을 구성하면, 이 공간(”위상공간“)은 특별한 기하학적 구조를 충족시켜야 합니다. 바로 여기에서 위치공간과 운동량공간이 어떤 의미에서 일대일대응된다는 말을 할 수 있고, 그렇기 때문에 제각기 멋대로 규정될 수 없다는 면에서 ’독립적‘이라고만 말하기 어렵습니다.

양자역학에서는 위치공간만으로 충분하고 운동량공간은 위치공간의 서술을 푸리에 변환함으로써 일대일로 도출된다는 것이 장회익 선생님의 새로운 주장입니다. 이미 많은 사람들이 양자역학에서 상태서술과 관련하여 푸리에 변환의 의미를 논의했지만, 이렇게 본격적으로 이야기를 꺼내어 상세하게 논의하는 것은 장회익 선생님의 접근이 독보적입니다. 다만 저는 장회익 선생님과 조금 다른 견해를 가지고 있는데, 위상공간의 기하학적 구조에 이미 푸리에 변환과 관련된 요소가 갖추어져 있기 때문에, 고전역학에서도 이미 위치공간과 운동량공간은 일종의 ’중복‘으로 간주할 수 있다고 믿고 있습니다.

위의 질문 중 “위치공간과 운동량공간의 독립성이 시간과 공간의 독립성과 연관되는가?”라는 질문에 대한 저의 대답은 그 둘은 아무 관련이 없다는 것입니다. 당연히 제가 놓치고 있는 것이 있을 수도 있겠지만, 수학에서의 추상적 공간으로서 위치공간과 운동량공간은 (1) 독립적이라고 말할 수 없고 (2) 그 관계는 물리적 시간 및 공간과 아무 관계가 없다고 보고 있습니다.

두 분의 질문과 대답을 읽노라니~ 문득 저도 알 듯해서 다시 읽어보니 또 헤메고 다시 정신바짝 차리고 읽어보는데 닿을 수 없는 그 무엇이 왔다멀어졌다뒤집어졌다아득해졌다...제 머리로는 도저히 헤아려지지 않군요ㅜㅜ
그런데 뉴튼이 시 ㆍ공을 절대공간과 절대시간으로 공리화 한 건 만물의 움직임이 이 절대적 시공안에서 일어나는 현상으로 설명하려 한 거죠. 움직임은 공간상 위치의 변화이고 변화는 시간의 속성을 드러남이라~~ 물질의 변화를 설명하는 개념으로 운동량(변화량) 과 그것의 기준점, 위치가 필요해서 동원되지 않았을까. 가늠해봅니다.
그래서 턱도 없는 제 소견으론 위치, 운동량이 "독립적'이란 (독립, 사전에 쓰인 의미라면) 말이 안 맞는거 같아요. 수학적 필요라면 모를까요.
궁금한게, 뉴튼역학에서 '위치공간과 운동량공간' 에서 공간은 '같은 차원'의 그 공간을 말하는거겠이지요?
양자역학에 오면 세계는 시ㆍ공간 4차원으로 얽혀있어서 움직임(변화)가 일어나는 공간은 절대적일 수 없으므로, 뉴튼식의 위치 ㆍ운동량 개념에서 빛의 속도가 기준이 되고 물질의 질량 ㆍ에너지를 설명해야 하는 다른 체계의 물리학이 필요해졌다고요.
지금,「장자철」양자역학편에 '맞공간' 이라는 개념이 떠오르는데 집에가서 책을 열어볼게요. (봐도 모르지만;;)
저는 도대체 수학적ㆍ과학적 머리는 안되는데도
이 세계를 이해하고픈 욕망이 참을 수 없는 사람이어서 또 이렇게 '무식한 자의 용기'를 내서 발언해 봅니다.