<양자역학을 어떻게 이해할까?> 78쪽의 (2-21)식은 $$\frac{d}{dt} p = - \frac{dV(x)}{dx}$$입니다. 이로부터 (2-22)식을 유도하는 과정이 유용합니다. 78쪽에 소위 치환적분을 이용한 유도가 나옵니다. 여기에서는 먼저 치환적분을 도입하지 않고 될수록 미분만을 써서 이 과정을 유도하는 방법을 보여줍니다.

(더 상세한 것은 "뉴턴 방정식과 해밀턴 역학"에 있습니다.)

이를 위해 미분의 성질이 필요합니다. 먼저 미분의 기호를 잘 이용해야 합니다. 원래 미분이란 어떤 함수가 주어질 때 그 함수가 변화율을 구하는 방법을 가리킵니다. 그 변화율을 도함수(導函數 derivative)라 부릅니다. 즉 원래의 함수로부터 유도된 함수라는 의미입니다. 원래의 함수를 $f(x)$라 하면 그 도함수를 $\frac{df}{dx}$라 쓰는데, 1575년에 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 도입한 기호입니다. 흔히 라이프니츠와 뉴턴이 동시에 미분법과 적분법을 알아냈다고 하지만, 지금은 뉴턴의 기호법은 잘 쓰이지 않고, 대체로 라이프니츠의 기호법을 사용합니다.

(더 상세한 것은 가령 Earliest Uses of Symbols of Calculus 참조)

만일 함수가 $x(t)$라면 그 도함수는 $\frac{dx}{dt}$라 씁니다. 그런데 곧잘 함수의 이름을 뒤로 빼서 $\frac{d}{dt} x(t)$와 같이 쓰기도 합니다. 함수에 일정한 상수를 곱한 것을 미분하려면 상수를 미분과 무관하게 곱해도 됩니다. 즉 $$\frac{d}{dx}(c f(x))=c\frac{d}{dx}f(x)$$입니다. 또 함수 관계에 따라 도함수들 사이의 관계를 구하면 곱하기가 됩니다. $$\frac{d}{dx}(f(u(x))=\frac{d}{du} f(u) \cdot \frac{du}{dx}$$ 흔히 합성함수의 미분법이라고 부릅니다. 가령 $p(t)$라는 함수가 주어졌다고 할 때, $p$가 $x$의 함수이고, $x$가 $t$의 함수로 주어진다면, $p(t) = p (x(t))$와 같이 생각할 수 있습니다. 이것은 $$ t \longrightarrow x \longrightarrow p$$와 같은 대응입니다. 이 때 도함수의 관계는 $$\frac{dp (t)}{dt}=\frac{dp(x)}{dx}\frac{dx(t)}{dt}$$로 주어집니다. 이 대목에서 분수처럼 쓴 기호법이 유용합니다. 즉 $$\frac{dp}{dt}=  \frac{dp}{dx}\frac{dx}{dt}$$의 모양이 되는데, 마치 분수의 약분처럼 $$\frac{dp}{dt}=  \frac{dp}{\cancel{dx}}\frac{\cancel{dx}}{dt}$$인 것처럼 생각할 수 있습니다. 도함수의 정의를 곧이곧대로 적용하면 이런 약분은 제대로 된 것이 아니지만, 적당한 방법을 써서 그런 것처럼 할 수 있습니다. 수학자라면 이런 식의 단순화된 계산이 못마땅할 것입니다. (참고: Why is this proof of the chain rule incorrect?)

더 상세한 것은 가령 "합성 함수의 미분법 (Khan academy)" 같은 전문적인 사이트를 참고할 수 있습니다. 여기에는 동영상 강의도 있어서 편리합니다. 

이를 그대로 적용하면, 운동량의 정의 $p=mv =m\frac{dx}{dt}$로부터 $$\frac{dx}{dt}=\frac{p}{m}$$이므로, $$\frac{dp}{dt}=\frac{dx}{dt} \frac{dp}{dx} =\frac{p}{m} \frac{dp}{dx}=\frac{1}{m} p\frac{dp}{dx}$$입니다. 그런데 $$ \frac{d}{dx} p^2 = \frac{dp}{dx} \frac{d}{dp} p^2 = 2 p \frac{dp}{dx}$$입니다. 여기에서도 위의 합성함수의 미분법을 그대로 적용했습니다. $p^2$을 $x$로 미분하려면, 먼저 $p^2$을 $p$로 미분하고 여기에 $p$를 $x$로 미분한 도함수 $\frac{dp}{dx}$를 곱해주면 됩니다. 따라서  $$p \frac{dp}{dx} = \frac{1}{2}\frac{d}{dx} p^2 = \frac{d}{dx} \frac{p^2}{2}$$이고, 위의 두 식을 비교하면 결국 $$\frac{dp}{dt}=\frac{1}{m}\frac{d}{dx}\left(\frac{p^2}{2}\right)=\frac{d}{dx} \left( \frac{p^2}{2m}\right)$$를 얻습니다. 출발점으로 삼은 맨 처음의 식[(2-21)식]과 비교하면 $$\frac{d}{dx} \left( \frac{p^2}{2m}\right) = - \frac{dV(x)}{dx}$$이므로 $$\frac{d}{dx} \left( \frac{p^2}{2m}\right) + \frac{dV(x)}{dx}= \frac{d}{dx} \left[ \frac{p^2}{2m} + V(x) \right] = 0$$이 됩니다. 결국 미분해서 0이 되는 것은 상수이므로 괄호 [ ]안에 있는 것을 상수 $E$라 놓으면 $$\frac{p^2}{2m} + V(x) = E$$가 됩니다.

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이제 치환적분(integration by substutuion)을 이용한 유도 과정을 조금 더 상세하게 다루겠습니다.

적분은 도함수를 알 때 원래의 함수를 알아내는 방법입니다. 만일 $f'(x) = \frac{df}{dx}$가 주어진다면, $$\int f’(x) dx = \int \frac{df(x)}{dx} dx = f(x) + C$$가 됩니다. 이것이 미적분학의 기본정리입니다. 뒤에 적분상수 $C$를 더해주어야 하는 이유는 상수를 미분하면 언제나 0이기 때문입니다.

그런데 함수가 다른 독립변수의 함수로 주어진다면, 적분을 어떻게 계산할 수 있을까요? 여기에서 분수 모양으로 쓴 도함수 기호가 편리합니다. $\frac{du}{dx}$라고 쓴 것은 $u(x)$라는 함수를 $x$로 미분한 도함수라는 의미일 뿐이고 $du$를 $dx$로 나눈다는 뜻이 아닙니다. 그런데 이 기호가 아주 교묘하게 만들어져서 마치 나눗셈처럼 해도 대부분 틀리지 않습니다. 가령 $$dx =
\frac{dx}{dt} dt$$처럼 써도 됩니다. 그러면 $$\int \frac{d(f(x))}{dx} dx = \int d(f(x)) = f(x) +C$$를 다소 기계적으로 얻어낼 수 있습니다. 마찬가지로 $$\int f(u) du = \int f(u(x)) \frac{du}{dx} dx = F(u) + C = F (u(x))+C$$와 같이 적분계산을 편리하게 할 수 있습니다. 위의 식에서 $F(u)$는 $f(u)=\frac{dF(u)}{du}$와 같이 주어지는 $f(u)$의 부정적분(anti-derivative)입니다.

<양자역학을 어떻게 이해할까?> 78쪽의 (2-21)식에 있는 등식의 왼편을 $\int ( \cdots ) dx$안에 넣어 적분을 계산하려 합니다. [이 때 $(\cdots)$를 피적분함수라 부릅니다.] 그러면 $$\begin{align} \int \frac{dp}{dt} dx &= \int \frac{dp}{dx}\frac{dx}{dt}dx \\ &= \int
\frac{dx}{dt} \frac{dp}{dx}dx \\ &=\int \frac{p}{m} dp = \frac{1}{m} \cdot \frac{p^2}{2} \end{align}$$을 얻습니다. 첫 번째 등호는 합성함수의 미분법을 적용한 것이고, 두 번째 등호는 곱의 순서를 바꾼 것이며, 세 번째 등호에서는 운동량의 정의 $$ p = m \frac{dx}{dt}$$를 적용하는 동시에 $$dp = \frac{dp}{dx}dx$$임을 이용하여 치환적분법을 사용한 것입니다. 그 다음으로는 $$\int p dp = \frac{1}{2}p^2$$임을 이용했습니다.

결과적으로 $$\int \frac{dp}{dt} dx = \frac{p^2}{2m}+C_1$$임을 유도한 셈입니다. 마찬가지로 $$\int \frac{dV(x)}{dx} dx = \int dV(x) = V(x) + C_2$$입니다. 따라서 $$\frac{p^2}{2m} =
- V(x) -C_1 - C_2$$가 되는데, 적분상수 $-C_1 - C_2$를 그냥 $E$로 표기하면, $$\frac{p^2}{2m} +V(x) = E$$가 됩니다. 이것이 (2-22)식입니다.