<양자역학을 어떻게 이해할까?> 78쪽의 (2-21)식은 고전역학을 이해하기 위한 가장 중요한 디딤돌입니다. 그런데 이 운동방정식을 단 하나의 가장 일반적이고 보편적인 원리로부터 유도할 수 있습니다. 이를 해밀턴의 원리 또는 최소작용량 원리라 부릅니다. <양자역학을 어떻게 이해할까?> 91-95쪽에 소개되어 있는 내용입니다. 여기에서는 그와 관련된 내용을 조금 더 보충하고자 합니다.

뉴턴의 운동방정식은 $$ \frac{dv}{dt}=\frac{F}{m}$$ 또는 $$\frac{d}{dt}p=F$$의 꼴로 쓸 수 있습니다. 운동의 원인으로서 '힘' $F$가 주어지면, 그로부터 운동량의 변화를 알 수 있다는 의미입니다. 힘이 일정한 경우에는 계산이 간단한 편이지만, 힘이 거리에 따라 달라진다거나 조금 복잡하게 주어지면, 이 방정식은 미분방정식이 됩니다. 즉 모르는 함수와 그 함수의 도함수(즉 미분한 결과) 사이의 관계가 주어질 때, 그 모르는 함수를 구하는 문제가 됩니다.

그런데 힘이라는 개념 자체는 꽤 복잡하고 논쟁적입니다. 버클리 주교(George Berkeley)는 뉴턴의 자연철학을 깊이 살피면서 '힘'이라는 개념이 결코 직접 확인할 수 없는 사이비 개념이라고 맹공격합니다. "존재하는 것은 감각하는 것(" target="_blank" rel="noopener">esse est percipi)"이라는 유명한 경구에 모두 동의하는 것은 아니지만, 여하간 힘이라는 개념은 매우 이상하고 난해한 것임에 틀림없습니다.

이 문제를 넘어서려는 시도 중 하나가 바로 라그랑주의 접근입니다. 

이탈리아 출신의 수학자 조제프 루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange 1736-1813)의 원래 이름은 Giuseppe Lodovico Lagrangia(쥬세페 로도비코 라그란지아) 또는 Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier (쥬세페 루도비코 드 라 그랑주 투르니에)였는데, 루이 16세의 초청으로 프랑스에 간 뒤 결국 프랑스로 귀화해서 조제프-루이 라그랑주라는 이름을 얻었습니다. 

프랑스 혁명이 일어나서 외국인들을 모두 강제출국(추방)시키면서, 파리에서 쫓겨나 결국 우여곡절 끝에 프로이센의 수도 베를린으로 갑니다. 바로 거기에서 <해석역학 Mécanique analytique>이 출간되었습니다. 1권은 1788년에, 2권은 1789년에 나왔습니다. 라그랑주는 다시 이를 꼼꼼하게 개정하여 1811년에 1권의 2판을 냈습니다. 라그랑주는 1813년에 세상을 떠났으니 마지막 순간까지 이 역작을 고치고 있었던 셈입니다. 또 1권 2판도 더 개정하여 원고를 완성한 상태였지만, 생전에는 출간하지 못하고 1815년에야 나왔습니다.

Lagrange, Joseph-Louis. Mécanique analytique. Courcier. (1788/1789/1811/1815)

Analytical Mechanics, Translated from the Mécanique analytique, novelle édition of 1811 by J. L. Lagrange; Auguste Boissonnade; Victor N. Vagliente. (archive.org)

여기에서 라그랑주는 힘 대신 퍼텐셜(potential)이라는 개념을 도입합니다. $$F = - \frac{dV(x)}{dx}$$와 같습니다. 공간이 3차원이라면 힘은 공간의 세 축 방향으로 각각 주어지므로 $$\vec{F}=(F_x, F_y, F_z)$$와 같이 되어야 하는데, 퍼텐셜을 이용하면 $$F_x = - \frac{\partial V}{\partial x} , \quad F_y = - \frac{\partial V}{\partial y} , \quad F_z = - \frac{\partial V}{\partial z}$$와 같아서 퍼텐셜 함수 하나만으로 3차원 공간의 힘을 한꺼번에 다룰 수 있어서 편리해집니다. 여기에서 $\partial$이라는 기호는 편미분을 나타냅니다. 둥그런 d (curly d; round d)라 부릅니다. 이것은 독립변수가 둘 이상일 때 다른 독립변수를 상수인 것처럼 생각하고 미분하라는 의미입니다. 

결국 $$\frac{d}{dt} p = - \frac{dV(x)}{dx}$$를 얻게 되는데, 이것이 <양자역학을 어떻게 이해할까?> 78쪽의 (2-21)식입니다. 

수학자이자 자연철학자로서 라그랑주는 세상의 모든 것을 목적론적인 세계상으로 이해할 수 있다고 믿었습니다. 더 정확하게 말하면, 가장 보편적이고 간단한 원리로부터 세계의 모든 변화를 알아낼 수 있다고 보았습니다. 그것이 소위 최소작용량 원리입니다. 해밀턴 원리라고도 합니다. 그 상세한 내용은 <양자역학을 어떻게 이해할까?> 91-95쪽에 소개되어 있습니다. 이것은 미분법(differential calculus)이나 적분법(integral calculus)과 직접 관련되긴 하지만, 조금 성격이 다릅니다. 이를 변분법(變分法 calculus of varation)이라 부릅니다. 애초에 라이프니츠와 뉴턴이 고안해 낸 초기 미분/적분 개념에서도 변분법이 들어 있습니다.

라그랑주는 뉴턴의 운동방정식을 일반화하여 다음과 같은 방정식을 도출했습니다. $$\boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial L}{\partial x}}$$ 변분법을 처음 꼼꼼하게 살피고 논문으로 발표한 사람이 오일러이기 때문에 그 공로를 기리기 위해 이 방정식을 '오일러-라그랑주 방정식'이라 부릅니다.

이 방정식의 의미를 이해하기 위해서는 $$K=\frac{1}{2} mv^2$$라는 양을 생각하는 것이 편리합니다. 구체적인 수학사 내지 과학사에서는 더 흥미롭고 복잡다단한 이야기가 숨어 있지만, 여하간 데카르트가 '운동의 양'이 보존된다고 하면서 질량과 속도를 곱한 값 $p=mv$를 내세우자, 나중에 라이프니츠가 데카르트의 접근이 틀렸음을 주장하면서 질량과 속도의 제곱을 곱한 값 $mv^2$가 보존된다는 새로운 주장을 펼칩니다. 그리고 여기에 형이상학적인 의미를 부여하여 '비스 비바(vis viva)' 또는 '활력(活力)'이라는 이름을 붙여줍니다. 이 개념과 용어는 꽤 오래 사용되었는데, 나중에 프랑스의 수학자/물리학자 코리올리$\frac{1}{2}$를 곱한 것이 더 편리하다는 제안을 한 뒤로는 그것이 새로운 표준이 되었습니다. 1860년대에 윌리엄 톰슨과 피터 거스리 타이트가 <자연철학론>에서 이 양을 '운동에너지(kinetic energy)'라 불렀고, 지금은 표준적인 이름이 되었습니다.

관련된 내용을 "힘의 정의와 독일 낭만주의 자연철학 (2021.12.13)"에서 더 볼 수 있습니다. 아래에는 직접 연관된 내용을 그대로 다시 적습니다.

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데카르트는 1630년쯤에 탈고한 <세계와 빛에 대한 논고 (Traité du monde et de la lumière)>와 1644년에 발표한 <철학의 원리 (Principia Philosophiae)>에서 충돌의 일반 원리를 다루면서, 임페투스와 유사한 운동의 양(quantitas motus)의 보존을 주장했다. 임페투스처럼 운동량은 물질의 양이 많을수록 그리고 물체가 빨리 움직일수록 더 크다고 보았다. 그러나 데카르트는 물체의 운동방향은 고려하지 않았다. 게다가 데카르트는 실험을 직접 하는 사람이 전혀 아니었다. 결과적으로 그 책에 등장하는 충돌의 사례들의 서술은 모두 옳지 않다.

1668년 영국 런던 왕립협회는 이 문제를 지적하면서 이를 어떻게 해결할 것인지 논문경연대회를 열었다. 그 해 11월에 존 월리스(John Wallis)의 논문이 투고되었고, 12월에는 크리스토퍼 렌(Christopher Wren)의 논문이 투고되었다. 이듬해 1월에는 네덜란드의 크리스티안 하위헌스(Christiaan Huygens)의 논문도 투고되었다. 지금의 관점과 가장 가까운 것은 하위헌스의 논문이었다. 하위헌스는 운동량을 질량과 빠르기의 곱으로 볼 때 운동의 방향을 고려해야 한다고 주장했다.
라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz 1646–1716)는 1686년 <악타 에루디토룸>이란 학술지에 낸 짧은 논문 “신이 운동의 양을 항상 보존한다는 자연법칙에 관한 데카르트의 주목할만한 오류의 간단한 증명”에서 데카르트가 ‘운동의 양(quantitas motus)’이라 부른 것이 보존되는 것이 아님을 주장했다. Gottfried Wilhelm Leibniz, "Brevis demonstratio erroris memorabilis Cartesii et aliorum circa legem naturalem, secundum quam volunt a Deo eandem semper quantitatem motus conservari; qua et in re mechanica abutuntur," Acta Eruditorum, 1686, pp. 161-163.

즉 갈릴레오의 낙하실험을 설명하기 위해서는 질량과 빠르기의 곱($mv$)이 아니라 질량에 빠르기 제곱을 곱한 양($mv^2$)을 고려해야 한다는 것이다. 라이프니츠는 이 새로운 양에 비스 비바(vis viva) 즉 ‘살아 있는 힘 (living force)’이라는 이름을 붙였는데, 그 까닭은 평형 상태에 있을 때의 힘 ‘비스 모르투아(vis mortua)’ 즉 ‘죽어 있는 힘 (dead force)’과 다르다고 믿었기 때문이다. 더 정확히 말하자면, 질량에 빠르기 제곱을 곱한 양의 중요성을 처음 지적한 것은 하위헌스였다. 지금 알려져 있는 형태는 아니지만, 충돌과 흔들이(진자) 시계의 문제를 다루면서, 이것을 다루었다. 비스 비바 논쟁은 여러 면에서 곱씹어볼 만한 흥미로운 논쟁이다. Carolyn Iltis (1971). "Leibniz and the Vis Viva Controversy". Isis, Vol. 62, pp. 21-35; George E. Smith (2006). "The vis viva dispute: A controversy at the dawn of dynamics". Physics Today 59, 10, 31-36.

토머스 영은 라이프니츠의 ‘비스 비바’라는 용어가 운동의 서술에서 오해를 불러일으킨다고 보았기 때문에, “일을 할 수 있게 하는 것”이란 의미로 그리스어의 일을 뜻하는 ergon으로부터 energy라는 신조어를 만들어냈다. 1829년 프랑스의 물리학자 귀스타브 코리올리(Gustave Coriolis)는 계산상의 편리를 위해 $mv^2$ 대신 $\frac{1}{2}mv^2$를 에너지 개념의 표준으로 제안했다.

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뉴턴의 운동방정식을 $$\frac{d}{dt} p = - \frac{dV(x)}{dx}$$의 꼴로 쓸 수 있다고 했는데, $K=\frac{1}{2}mv^2$에서 $$p=mv = \frac{d K}{d v}$$임을 알 수 있습니다. 즉 운동량이라는 것은 운동에너지를 속도로 미분한 것과 같습니다. 그러면 위의 식은 $$\frac{d}{dt} \frac{d K}{d v} = - \frac{dV(x)}{dx}$$로 쓸 수 있습니다. 함수가 $K$와 $V$ 이렇게 두 개씩 나오니까 이를 한꺼번에 쓰기 위해 $$ L(x, v)= K(v) - V(x)$$라 정의하면, $$\frac{d K}{d v} =\frac{\partial K}{\partial v} = \frac{\partial L}{\partial v}$$이고, $$- \frac{dV(x)}{dx} = - \frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial L}{\partial x}$$입니다. 여기에서 $\partial$이란 기호는 편미분을 나타내며, 둥그런 d (curly d; round d)라 부릅니다. 이것은 독립변수가 둘 이상일 때 다른 독립변수를 상수인 것처럼 생각하고 미분하라는 의미입니다. 

이제 이 새로운 함수 $ L(x, v)= K(v) - V(x)$를 이용하면 $$\frac{d}{dt} p = F$$ 또는 $$\frac{d}{dt} p = - \frac{dV(x)}{dx}$$라고 썼던 운동방정식을 $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial L}{\partial x}$$의 꼴로 쓸 수 있습니다. 대략 말하면 이 방정식의 왼편은 운동량의 시간미분(시간변화율)을 가리키고 오른편은 힘이라고 해도 틀리지 않습니다. 여기에서 $ L(x, v)= T(v) - V(x)$로 정의된 함수를 라그랑지안 특성함수(Lagrangian characteristic functional)라 부릅니다. 엄밀하게 말하면 $x$와 $v$의 함수가 아니라 $x(t)$와 $v(t)$라는 함수들의 함수이기 때문에 '범함수(functional)'이라고 하는 게 더 정확합니다. 또 자주 $x(t)$와 $v(t)$보다는 $q(t)$와 $\dot{q}(t)$를 써서 $L (q, \dot q)$ 또는 $L[q(t), \dot{q}(t)]$라고 씁니다. 그런 경우, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 모양이 됩니다. $$\boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}}$$

라그랑주 정식화는 뉴턴-오일러 정식화를 그냥 다른 방식으로 써 본 것이 아닙니다. 운동방정식을 일일이 상세하게 쓰는 대신 라그랑주 특성함수를 하나 적기만 하면, 운동방정식과 기타의 모든 것을 대표할 수 있습니다. 또 좌표계가 아주 복잡하거나 물체의 모양이 이상하거나 구성이 다양해도 모두 적용할 수 있습니다. 또 물체가 유한한 부피를 갖고 있든지 아니면 그냥 파동이나 탄성체 같은 것이든 상관없습니다. 그래서 물리학에서는 가장 자주 그리고 널리 사용되는 수학적 도구가 되었습니다. 

마당이론에 연결되는 내용이 <양자역학을 어떻게 이해할까?> 95-100쪽에 나옵니다.

유럽 쥬네브(제네바)에 있는 핵입자물리학 공동연구소(CERN)에서 만든 머그잔에 있는 식이 바로 세계 속 물질들의 기본 상호작용을 나타내는 바로 그 라그랑지안을 보여줍니다.

(출처: CERN)

나중에 7장에서 양자마당이론이 나올 때에는 라그랑지안이 가장 핵심적인 역할을 하게 됩니다. 또 이를 위해 "마당 변수 정식화: 1차원 입자 사슬의 사례"에서 라그랑지안이 상세하게 다루어집니다.