<양자역학을 어떻게 이해할까?> 68쪽 12째 줄에서 $$\frac{d}{dt}\cos t = -\sin t$$를 이용하는 것이 나옵니다. 삼각함수의 개념을 이해하는 것 자체도 그리 만만하지 않은데, 그 도함수는 더 낯선 이야기일 것 같습니다.

이전에 <자연철학 강의> 세미나를 위해 neomay3님이 예쁜 글씨와 그림이 담긴 그림노트를 올려주셨습니다.

자연철학 그림노트 4 - 삼각함수의 미분 (부록 A9 & A5)

그런데 이 유도과정에는 삼각함수의 덧셈정리라 부르는 것을 이용해야 하기 때문에 조금 덜 직관적인 느낌이 있습니다. 그래서 마지막에 적혀 있는 것처럼 "<자연철학 강의> 585쪽에도 나와 있지만 여기는 잘 모르겠습니다."가 자연스럽습니다.

이 부분을 아래 그림을 이용하여 증명할 수 있습니다.

이 그림에서 초록색 원호가 포함된 곡선은 반지름이 1인 원입니다. 각은 '한 바퀴'를 360도로 놓을 수도 있지만, 반지름 1인 원의 원호의 길이를 그냥 각의 정의로 삼으면, '한 바퀴'가 $2\pi$가 됩니다. 위의 그림에서 초록선 원호, 즉 두 선분 OA, OB이 끊어내는 초록색 원호의 길이는 곧 $\theta$가 됩니다.

위의 그림을 이용하여 $$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$$임을 증명할 수 있습니다.

자주색 삼각형 밑변의 길이가 1이고 높이가 $\sin\theta$이므로 그 넓이는$\frac{1}{2} 1\cdot \sin\theta = \frac{1}{2}\sin\theta$가 됩니다. 초록색 원호와 자주색 삼각형의 두 변으로 만들어지는 부채꼴 모양의 넓이는 $\pi \cdot 1^2 \cdot (\theta /2\pi) = \frac{1}{2}\theta$입니다. 이제 보라색 삼각형의 넓이는 밑변이 1이고 높이는 $\tan\theta$이므로 넓이가 $\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \tan\theta=\frac{1}{2}\tan\theta$가 됩니다.

세 넓이를 비교하면 $$\frac{1}{2}\sin\theta \le \frac{1}{2}\theta \le \frac{1}{2}\tan\theta$$ 즉  $$\sin\theta \le \theta \le \tan\theta$$입니다. $$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$이므로 $$\sin\theta \le \theta \le \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$이고 이 부등식을 $\sin\theta$로 나누면 $$1 \le \frac{\theta}{\sin\theta} \le \frac{1}{\cos\theta}$$을 얻습니다.  $\theta$가 아주 작다면 $$1 \le \lim_{\theta \rightarrow 0}  \frac{\theta}{\sin\theta} \le \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{\cos\theta}$$이 될 겁니다. 그런데 $$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{\cos\theta}=1$$이므로, 결국 $$1 \le \lim_{\theta \rightarrow 0}  \frac{\theta}{\sin\theta} \le 1$$이 됩니다. 부등식의 양쪽이 모두 1이니까, 가운데 있는 것도 1이 되어야 합니다. 따라서 $$\lim_{\theta \rightarrow 0}  \frac{\theta}{\sin\theta}=1$$ 또는 $$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$$을 증명한 것이 됩니다.

유도 과정에서 $$1 \le \frac{\sin\theta}{\theta} \le \frac{1}{\cos\theta}$$로부터 $$\cos\theta \le \frac{\sin\theta}{\theta} \le 1$$를 먼저 얻은 뒤, 부등식의 양쪽에 극한을 취하는 방법도 있습니다.

도함수의 정의는 $$\frac{d}{dt} f(t) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$$이므로 코사인 함수의 경우에 $$\begin{align}\frac{d}{dt}\cos t &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos(t+h)-\cos t}{h} \\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ - 2 \sin (t+h/2) \sin (h/2)}{h} \\ &= - \left(\lim_{h\rightarrow 0} \sin (t + h/2)\right)\cdot \left(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \sin (h/2)}{h/2} \right)\\ &= - \sin t \left( \lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{ \sin \theta }{\theta}\right) \\ &= -\sin t \end{align}$$임을 증명할 수 있습니다. 마지막 등호에서 위에서 유도한 극한 공식을 사용했습니다. 그 직전의 등식에서는 $\theta = h/2$로 바꾸었습니다.

삼각함수의 공식 중 $$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ 또는 $$\cos (t+h)=\cos t \cos h - \sin t \sin h$$를 이용하면, 다음과 같이 유도할 수도 있습니다. $$\begin{align} \frac{d}{dt}\cos t &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos(t+h)-\cos t}{h} \\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \cos t \cos h - \sin t \sin h -\cos t}{h} \\ &=  \cos t \left(\lim_{h\rightarrow 0}  \frac{\cos h - 1}{h}\right) - \sin t  \left(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \sin (h)}{h} \right)\\ &= 0 - \sin t \cdot 1 \\ &= -\sin t \end{align}$$ 여기에서 위에서 유도한 극한 공식  $$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$$과 함께  $$\lim_{h\rightarrow 0}  \frac{\cos h - 1}{h} = 0$$을 이용했습니다. 뒤의 공식은 다음과 같이 유도할 수 있습니다. 먼저 $$\begin{align}  \frac{1-\cos h}{h} &= \frac{(1-\cos h)(1+\cos h)}{h(1+\cos h)} \\ &= \frac{1-\cos^2 h}{h(1+\cos h)} \\ &=  \frac{\sin^2 h}{h(1+\cos h)} \\ &=\frac{\sin^2 h}{h^2}\cdot \frac{h}{1+\cos h} \\ &= \left(\frac{\sin h}{h} \right)^2 \cdot \frac{h}{1+\cos h}\end{align}$$이므로, $$\begin{align} \lim_{h\rightarrow 0}  \frac{\cos h - 1}{h} &= - \lim_{h\rightarrow 0}  \frac{1-\cos h}{h} \\ &= - \left( \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \right)^2 \cdot \lim_{h\rightarrow 0} \left( \frac{h}{1+\cos h} \right) \\ &= -1^2 \cdot 0 = 0\end{align}$$

더 상세한 것은 가령 https://bit.ly/3xz8Fj5를 참조할 수 있습니다.