심학십도 제1도에서 여헌 장현광 선생의 자연철학을 통해 보여준 것이 공간에서 수평방향과 수직 방향이 다르다는 인식이었다면, 심학십도 제2도에서 뉴턴의 자연철학을 통해 공간이 3차원으로서 모두 대등다하는 점이었습니다.

그리고 심학십도 제3도에서 아인슈타인을 따라 시간도 공간과 마찬가지로 4차원 시공간의 일부임을 밝혔고, 이것이 상대성이론의 자연철학에서 가장 핵심적인 주장임을 알았습니다.

저는 지난 2월 1일 아산 세미나에서 초끈이론이 말하는 시공간의 차원에 대해 질문을 드렸습니다. 세상의 모든 것이 실상 아주 작은 끈들(strings)의 움직임이라 주장하는 끈이론에서는 시공간의 차원이 26차원 내지 10차원이라 주장합니다.

이 글에서는 왜 그런 주장을 하는지 간단하게 메모처럼 적어 보려 합니다. 실상 이 내용을 잘 설명하고 있는 자료가 매우 드물기 때문입니다. 아주 전문적인 내용이지만, 어느 대목까지는 알아 두는 것이 나쁘지 않을 것 같기도 합니다. (다만, 어쩔 수 없이 모든 것을 친절하게 설명하기보다는 상당히 테크니컬한 전개에서 어느 대목을 갑작스런 시작점으로 선택하게 됩니다. 왜 거기에서 시작했는가 질문하면 다시 그 전으로 거슬러 올라가 설명을 시도해야 할 것입니다.)

여기에서는 왜 초끈이론에서 시공간의 차원이 $D=26$이라거나 $D=10$이라고 말하는지 정확히 그 점만을 정리해 두려고 합니다.

뉴턴 역학이나 상대성이론과 달리, 끈 이론(string theory)에서는 물질의 기본 요소가 점입자가 아니라 끈이라고 보고 매우 정교한 이론을 전개했습니다.

제가 소개하는 내용은 다음 책에서 가져온 것입니다.

Manoukian, E. B. (2016). Quantum Field Theory II Introductions to Quantum Gravity, Supersymmetry and String Theory. Springer

점입자가 시간과 공간 속에서 운동하면서 그리는 추상적인 궤적 비슷한 것을 민코프스키는 '세계선 Weltlinie, world line'이라 불렀습니다. 세계선의 궤적은 원론적으로 '고유시간'의 함수로 주어집니다. <장회익의 자연철학 강의>에서는 '고유시간'을 $t_0$로 표기했지만, 여기에서는 표준적인 관례를 따라 $\tau$라 표기하기로 합니다.

[그림 출처: Manoukian (2016)]

이와 비슷하게 끈처럼 생긴 가장 기본적인 것이 시간과 공간 속에서 운동하면서 그리는 추상적인 모양은 일종의 곡면입니다. 이것을 '세계면 world sheet'이라 부릅니다.

[그림 출처: Manoukian (2016)]


점입자의 세계선이 고유시간 $\tau$의 함수로 주어지는 것과 유사하게, 끈의 세계면은 고유시간 $\tau$와 끈의 고유 공간좌표 $\sigma$의 함수로 표현할 수 있습니다. 실상 $(\tau, \sigma)$의 의미를 꼭 그렇게 규정할 필요는 없습니다. 단지 두 개의 파라미터가 있어야 한다는 것만 중요합니다.

시공간의 차원이 $D$라고 하면, 끈 위의 한 점은 $X^\mu (\tau, \sigma)$ ($\mu=0,1, \cdots, D-1$)로 나타낼 수 있습니다. 이것은 마치 특수상대성이론에서 점입자의 위치를 $x^\mu (\tau)$ ($\mu=0,1, 2, 3$)으로 나타내는 것과 비슷합니다. 이 때 $\mu=0$은 시간좌표를 나타냅니다.




고전역학을 확장한 특수상대성이론에서 대상(점입자)의 상태를 4차원 위치와 4차원 운동량 $(x^\mu(\tau), p^\mu (\tau))$으로 나타내는 것을 <장회익의 자연철학 강의> 제3장에서 배웠습니다. 이것과 유사하게 끈이론에서는 대상(끈)의 상태를 $(X^i (\tau, \sigma), P^i (\tau, \sigma))$로 나타낼 수 있습니다.

중간 단계를 상당히 뛰어넘긴 하지만, 이 상태 좌표를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. (이것은 푸리에 변환의 한 형태입니다.)

$$\begin{align} X^i (\tau, \sigma) &= x^i + \ell^2 p^i \tau + i\ell \sum_{n\neq 0} \frac{\alpha^i (n)}{n}e^{-i n\tau} \cos n\sigma\\ P^i (\tau, \sigma) &= T \ell^2 p^i +T \ell \sum_{n\neq 0}\alpha^i (n)e^{-i n\tau} \cos n\sigma \end{align}$$
여기에서 $T$는 끈의 장력 비슷한 것이고, $\ell$은 끈의 길이 비슷한 것입니다.

상대성이론에 따르면 운동량의 4차원 크기는 질량과 같습니다. 즉 $$p^2 = \vec{p}^2 - E^2 = - M^2$$입니다. 이 조건을 이용하면 끈 이론을 양자이론으로 확장하여 질량 항을 계산할 수 있고, 그 결과는 다음과 같습니다. $$M^2 =\frac{2}{\ell^2}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \alpha^i (n)^\dagger \alpha^i (n) + \frac{D-2}{2}\sum_{n=1}^{\infty} n \right)$$

이 식을 간단하게 설명한다면 $\alpha^i (n)^\dagger \alpha^i (n)$가 입자의 갯수를 나타나내는 연산자입니다. 연산자가 무엇인지는 양자이론을 다루는 제4장에서 더 상세하게 이야기 될 겁니다.

직관적으로 설명한다면, 끈 이론에서는 아주 작고 추상적인 끈이 세상 만물의 근원인데, 이 끈의 진동에서 여러 기본입자들이 만들어진다고 봅니다. 마치 피아노의 여러 현(string, 끈)들의 진동에 따라 배음들이 생겨나고 또 이 음들이 온갖 방식으로 만나서 아름다운 선율이 되고 멋진 새소리가 되는 것과 비슷합니다.

이 식에서 $$\sum_{n=1}^{\infty} n = 1+2+\cdots = -\frac{1}{12}$$이라는 당혹스런 계산결과를 이용하면[참고: Manoukian (2016) pp. 214-215] $$M^2 =\frac{2}{\ell^2}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \alpha^i (n)^\dagger \alpha^i (n) - \frac{D-2}{24}\right)$$를 얻습니다. 이 식을 가지고 어떤 입자들이 가능한지 하나하나 알아봅니다. 상대론적 양자이론에서 입자는 비상대론적 양자이론의 에너지 준위가 같은 것으로 주어집니다.

위의 식에서 바닥상태는 질량의 제곱이 음수가 되어 부적절하고, 첫 번째 들뜬 상태를 계산하면 $$M^2 \alpha^i (1)^\dagger |0; p'\rangle =\frac{2}{\ell^2}\left(1- \frac{D-2}{24}\right)\alpha^i (1)^\dagger |0; p'\rangle\qquad \mbox{(*)}$$를 얻습니다.

시공간 차원이 $D$일 때, 이 첫 번째 들뜬 상태를 나타내는 입자는 빛알(광자)입니다. <장회익의 자연철학 강의>에서 밝힌 것처럼 광속은 시공간의 구조이므로, 빛의 속도로 움직이는 입자는 질량이 0이어야 합니다. 수식으로 말하면 다음과 같습니다.

$$ \begin{align} m &= \sqrt{\frac{E^2}{c^4} - \frac{\vec{p}^2}{c^2}} \\ \vec{p} &= \frac{E}{c^2} \vec{v} \end{align}$$에서 $v=c$를 넣으면 $p=E/c$이고 이를 위의 식에 넣으면 $m=0$을 얻습니다.

따라서 위의 (*)식이 빛알의 질량을 나타낸다면, 괄호 안에 있는 것이 0이 됩니다. $$1- \frac{D-2}{24}=0$$
그러므로$$D=26$$이 됩니다.

이것을 처음 밝힌 것은 클로드 러블리스(Claud Lovelace 1934-2012)였습니다. 15살에 혼자 물리학을 독학하고 20살에 물리학 석사학위를 하고 나서는 홀연 물리학을 그만 두고 건축 일을 하다가 다시 물리학으로 돌아가서 박사학위도 마치지 않은 채 매우 독보적인 연구를 했던 특이한 물리학자에 대한 이야기가 아래 링크에 있습니다. 평생 거의 아무하고도 만나지 않고 잉꼬새들과 함께 살았다고 합니다.
The Man Who Invented the 26th Dimension


만일 끈 이론에 초대칭성(supersymmetry)라는 성질을 지닌다고 하고 이론을 확장하면, 이것을 초끈 이론(superstring theory)이라 부릅니다. 초대칭성에 대해서는 나중에 따로 글을 올리겠습니다.

초끈 이론의 형식이론 중 하나에서 위에서 간단하게 설명한 것과 비슷한 계산을 하면 다음 결과를 얻을 수 있습니다. [참고: Manoukian (2016) p. 247] $$M^2 d^i (\frac{1}{2})^\dagger |\mbox{NS}\rangle |0; p'\rangle =\frac{1}{\alpha'}\left(\frac{1}{2}- \frac{D-2}{16}\right)d^i (\frac{1}{2})^\dagger |\mbox{NS}\rangle |0; p'\rangle$$

앞에서와 마찬가지로 이 입자가 빛알을 나타낸다고 요구하면, 괄호 안의 값이 0이 되어야 합니다. 즉
$$\frac{1}{2}- \frac{D-2}{16} = 0 $$따라서 $$D=10$$

이렇게 해서 초끈 이론의 시공간은 10차원이 되어야 함을 유도할 수 있습니다.

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관련된 내용이 있는 페이지를 아래에 그림으로 덧붙입니다.
출처: Polchinski, J. (2005) String Theory, Vol. 1. Cambridge University Press. p. 22 https://amzn.to/2ULclZO