(2) 큐비트, 블로흐 구, 양자정보

양자정보와 관련하여 가장 중요한 개념은 큐비트라 할 수 있습니다.

제임스 글릭의 책 <인포메이션>에서 아주 간단하게 소개되는 양자정보는 다음과 같습니다. [더 상세한 것은 https://greenacademy.re.kr/archives/16150를 참조할 수 있습니다.]

"큐비트(qubit)는 최소의 양자계이다. 큐비트는 고전적 비트처럼 0 혹은 1이라는 두 가지 가능한 값, 다시 말해서 확실하게 구분할 수 있는 두 가지 상태를 지닌다. 물리학자들은 이런 양자 상태들을 기하학적인 방식으로 생각한다. 다시 말해 공간 속에서의 방향들, 그리고 이 방향들이 수직인지 혹은 ‘직교하는지’에 따라 달라지는 계의 구별 가능성으로 생각하는 것이다. … 물리학자는 큐비트가 상태들이 ‘중첩’, 즉 확률 진폭의 조합이라고 말한다. 큐비트는 불확정성의 구름 내부에 살고 있는 결정적인 대상이다."

고전적 정보로서 '비트(bit)'라는 말을 처음 도입한 것은 클로드 섀넌입니다. binary digit의 약자로 이 말을 사용했습니다. 모든 수는 0과 1을 써서 나타낼 수 있습니다. 십진수는 10개의 기호를 사용하지만 이진수를 쓰면 두 개의 기호만 있으면 되고, 대표적으로 0과 1을 이용합니다. 숫자만이 아니라 세상의 모든 정보를 그렇게 "온/오프" 또는 "켜짐/꺼짐" 또는 "있음/없음" 또는 "참/거짓" 등의 양자택일들의 결합으로 나타낼 수 있으리라는 것이 섀넌의 믿음이었습니다. 컴퓨터 CPU의 연산이든, 대용량 SSD 메모리이든 결국은 가장 밑바탕에 바로 이 양자택일들의 결합이 놓여 있습니다. 이것이 비트 개념의 놀라운 점입니다.

두 개의 기호(특히 0과 1)로 모든 정보를 나타낼 수 있으리라 여겨진 비트와 마찬가지로 양자 비트도 두 개의 '기호'로 모든 양자 정보를 나타냅니다.

양자 비트(quantum bit)의 약자로 도입된 qubit이란 말을 처음 쓴 것은 미국의 이론물리학자 벤저민 슈마허(Benjamin Schumacher)입니다.

 B. Schumacher (1995). "Quantum coding". Physical Review A. 51 (4): 2738–2747. doi:10.1103/PhysRevA.51.2738

이 논문의 감사의 글에 qubit라는 말을 윌리엄 우터스(William Wooters)와 가볍게 이야기하던 중에 농담처럼 만들었다는 이야기가 나옵니다. ("The term "qubit" was coined in jest during one of the author's many intriguing and valuable conversations with W. K. Wootters, and became the initial impetus for this work.")

고전 비트가 0과 1의 조합이라면, 양자 비트는 $|0\rangle$과 $|1\rangle$의 조합입니다. 여기에서 $| \ \ \rangle$이라는 독특한 괄호 표기의 의미를 세세하게 따지고 들 필요는 없어 보입니다. 뭔가 특별한 두 개의 기호가 있고 이것을 조합한 것이 양자정보를 이룬다고 하면 될 듯 합니다. 굳이 올바른 수학 용어를 가져온다면, $| \ \ \rangle$은 선형대수학에 나오는 ’벡터‘입니다. $|0\rangle$과 $|1\rangle$을 기저(基底, basis)라 부릅니다. 정보를 고려하면 기저라는 용어 대신 정보의 ‘단위(unit)’라는 용어가 더 적합할 수도 있겠는데, 여하간 수학에서는 ‘기저’라는 용어가 정립되어 있습니다. 

양자역학과 연결시키고자 한다면, 바로 $| \ \ \rangle$가 양자역학에 나오는 그 상태함수를 표기하는 방식 중 하나임을 말하면 되겠습니다. 일반적인 큐비트는 $$ c_0 |0\rangle + c_1 | 1\rangle \quad ( |c_0|^2 + |c_1|^2 = 1 , \ c_0 , c_1 \in \mathbb{C})$$와 같이 나타낼 수 있습니다. 이 수식은 일견 좀 복잡해 보이지만, 특별한 것은 아닙니다. 두 개의 기호 $|0\rangle$과 $|1\rangle$이 있고, 그 앞에 숫자를 곱합니다. 여기에서 두 기호 앞에 곱하는 숫자는 대개 실수이면 충분한데, 양자역학을 제대로 적용하려면 복소수까지 확장해야 합니다. 이를 $c_0 , c_1 \in \mathbb{C}$이라고 나타냅니다. $\alpha |0\rangle + \beta | 1\rangle$라는 표현도 많이 사용됩니다.

큐비트 표현의 흥미로운 점은 $|0\rangle$과 $|1\rangle$의 개연성이 다양하다는 사실에 있습니다. 기준을 어떻게 선택하는가에 따라 사실상 무한한 $|0\rangle$과 $|1\rangle$이 가능합니다. 이를 '기저의 선택(choice of bases)'이라 부릅니다. 표준적으로 널리 알려진 것은 마침 $|0_z\rangle$과 $|1_z\rangle$와 같이 $z$ 방향의 $|0\rangle$과 $|1\rangle$이라 부릅니다. 그뿐 아니라 $|0_x\rangle$과 $|1_x\rangle$나 $|0_y\rangle$과 $|1_y\rangle$나 아무 방향이든 $|0; \hat{r}\rangle$과 $|1; \hat{r}\rangle$이 다 허용됩니다.

이를 수식으로 표현하면 알아보기 힘들기 때문에 이를 그림으로 나타낸 것이 바로 블로흐 구(Bloch sphere; Bloch-Kugel)입니다. 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

[그림 출처: Jürgen Audretsch (2004). Verschränkte Systeme: Die Quantenphysik auf neuen Wegen. Wiley-VCH. p. 50]

블로흐 구는 스위스 태생의 물리학자 펠릭스 블로흐(Felix Bloch, 1905-1983)의 이름을 딴 것입니다. 블로흐는 하이젠베르크의 제자였고, 핵자기 정밀 측정의 공로로 노벨물리학상을 받았습니다. 취리히 연방공과대학을 다녔는데, 슈뢰딩거가 파동방정식에 대해 세미나 발표를 했던 그 자리에 있었습니다. 1925년에 물리학 세미나에서 슈뢰딩거가 드브로이의 물질파에 대해 소개했는데, 드베이어가 파동방정식 없는 파동은 부적합하다고 했고 그 다음 세미나에서 파동방정식을 보여주었다는 식의 이야기가 표준적인 일화로 남았습니다. 블로흐의 구술자료 외에는 다른 사료가 없기 때문에 역사적 진위를 더 따져들 수는 없습니다.

여기에서 세 가지 방향($x$, $y$, $z$)의 $|0\rangle$과 $|1\rangle$뿐 아니라 위의 그림에 있는 $|\psi\rangle$와 $|\chi\rangle$처럼 아무 방향의 두 벡터도 충분히 양자 정보의 기본 단위로 역할을 합니다. 이런 것을 모두 모아 놓으면 $$ c_0 |0\rangle + c_1 | 1\rangle \quad ( |c_0|^2 + |c_1|^2 = 1 , \ c_0 , c_1 \in \mathbb{C})$$처럼 쓸 수 있습니다. 수학으로 너무 들어가는 느낌이지만 $|c_0|^2 + |c_1|^2 = 1$이라는 조건 때문에 상태를 나타내는 점이 모두 구면 위에 있게 되고, 구면 뒤의 대극점이 모두 $|\psi\rangle$와 $|\chi\rangle$의 역할을 할 수 있습니다. 말 그대로 무한한 가능성이 열리는 셈입니다.

수식을 빼고 설명하면, 큐비트는 결국 고전 정보의 비트를 양자역학에서 배운 것을 이용하여 확장한 것이 됩니다. 고전 컴퓨터, 즉 튜링-섀넌의 정보 처리 장치가 0과 1의 양자택일을 기술적/기계적으로 구현한 것이라면, 양자컴퓨터는 양자비트 즉 큐비트를 기술적/기계적으로 구현한 것입니다.

양자계산이라는 분야가 그리 쉽고 편한 내용을 다루는 것은 당연히 아닙니다. 하지만 약간의 수학으로 기초적인 것은 이해할 수 있으리라 생각합니다. 고등학생 정도의 수학만 알고 있으면 아래 책을 통해 양자계산을 배울 수 있습니다.

     Chris Bernhardt (2020) Quantum Computing for Everyone. MIT Press.
      (https://amzn.to/3YIWGew)

말 그대로 모든 사람을 위한 양자계산입니다. 한국어 번역판도 출간되어 있습니다.

     양자 컴퓨터 원리와 수학적 기초. (http://aladin.kr/p/0NxBo)

고전 비트가 아니라 양자 비트, 즉 큐비트를 이용하면, 고전적인 튜링-섀넌 정보처리기계에서 할 수 없었던 아주 많은 일들을 대단히 빠르게 처리할 수도 있지 않을까 믿는 사람이 많습니다. 양자암호니 양자전송이니 양자알고리즘 같은 것이 지난 20년 사이에 급격하게 발전하고 있습니다. 동시에 그런 주장들이 허울뿐이거나 과대광고라고 비판하는 사람도 많습니다. 2022년에 양자정보와 관련된 업적이 노벨물리학상을 수상하면서 이와 연관된 분야가 크게 늘어나고 있습니다.