심학십도 제1도에서 여헌 장현광은 변화에 대한 근본 원리를 알아낸다면 세상의 모든 것을 알 수 있으리라는 기본 틀을 제시하긴 했지만, 그 변환의 근본 원리를 밝혀내지는 못했습니다.

심학십도 제2도에서 뉴턴의 운동방정식은 처음 상태로부터 나중 상태를 말해 주는 근본적인 변화의 원리로 제시되었습니다.

뉴턴의 역학은 놀라운 성공을 거두었기에, 이후 자연철학의 근간은 뉴턴과 같은 방식으로 세상을 이해려는 온갖 노력으로 이루어졌습니다.

18세기 말 프랑스에서 다름 아니라 피에르 라플라스가 주도하여 당시까지 미지의 세계였던 빛, 전기, 자기, 화학현상, 열 등을 뉴턴역학처럼 튼튼한 기반 위에 놓으려 많은 자연철학자들이 고군분투했습니다.

그 중 열과 화학현상은 제5도에서 다루어질 터인데, 전기와 자기와 빛의 자연철학을 물리학 수준으로 끌어올린 사람은 스코틀랜드 출신의 수리물리학자 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell 1831-1879)이었습니다. 불고 48살에 세상을 일찍 떠났지만, 역사에 길이 남는 거대한 업적을 남겼습니다.

맥스웰에 대해서는 바실 마혼(Basil Mahon)이 쓴 평전이 있습니다.

모든 것을 바꾼 사람, 제임스 클러크 맥스웰

이 책을 바탕으로 마이클 패러데이와 비교하여 쓴 책이 매우 유익합니다.

패러데이와 맥스웰 - 전자기 시대를 연, 물리학의 두 거장

19세기 초까지 작은 먼지나 머리카락을 끌어당기는 전기(정확히는 정전기)와 나침반에서 사용하던 자석의 성질인 자기는 서로 아무 관련이 없는 것으로 여겨졌고, 그 생성원인과 메커니즘에 대해 신비주의적인 아이디어가 넘치고 있었습니다.

이것을 손에 잡히는 자연철학의 문제로 끌어내린 것이 19세기의 위대한 실험물리학자 마이클 패러데이라면, 이를 바탕으로 전기와 자기에 관련된 최종적인 이론을 확립한 19세기의 위대한 이론물리학자가 바로 제임스 클러크-맥스웰입니다.

그 전까지 전기와 자기에 대해 설왕설래가 있었지만, 클러크-맥스웰은 전기와 자기를 '마당(場, field)'이라는 개념으로 탁월하게 설명해 내는 데 성공했습니다. [여담으로 제임스 클러크-맥스웰은 성이 두 개였습니다. 친할아버지의 성이 클러크였고, 외할아버지의 성이 맥스웰이었는데, 제임스의 아버지가 결혼하면서 성을 둘 다 쓰게 되었습니다. 좀 오래된 문헌들에는 Clerk-Maxwell이라 표기된 것을 흔히 볼 수 있습니다.]

맥스웰은 뉴턴 역학의 기본구조를 성찰하고 근본적으로 모든 물리량이 벡터와 스칼라로 [더 정확히 말하면 이 둘을 포괄하는 사원수로] 나타낼 수 있어야 한다는 것을 알아내고, 전기와 자기를 각각 전기장 벡터와 자기장 벡터로 나타냈습니다. 지금의 언어로 말하면 $$\begin{align} \vec{E} (x, y, z)&= (E_x , E_y, E_z)\\ \vec{B} (x, y, z)&= (B_x , B_y, B_z) \end{align}$$

그리고 전기장과 자기장이 다음과 같은 방정식을 충족시켜야 함을 밝혀냈습니다. $$\begin{align}
\nabla\cdot \vec{E} &= 4\pi\rho \\ \nabla\cdot \vec{B} &= 0 \\ \nabla\times\vec{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} &= 0 \\ \nabla\times\vec{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\vec{J} \end{align}$$

맥스웰의 이름을 따서 '맥스웰의 방정식'이라 부릅니다. 아무래도 낯설긴 하지만, 이 방정식의 의미를 조금 밝힐 필요가 있습니다.

이 방정식의 기본 형식은 $\rho (\vec{x}, t)$와 $\vec{J}(\vec{x}, t)$가 위치와 시간의 함수로 주어질 경우, $\vec{E}(\vec{x}, t)$와 $\vec{B}(\vec{x}, t)$가 어떻게 될 것인지 말해주는 미분방정식입니다. 그리스어 문자 $\rho$는 '로'라 읽습니다.

일상언어로 말하자면, 전기의 양(전하)의 분포를 나타내는 함수 $\rho (\vec{x}, t)$와 전류의 분포를 나타내는 함수 $\vec{J}(\vec{x}, t)$가 주어질 때, 전기장과 자기장을 알아내는 것입니다. 이 때 전하와 전류를 '샘(원천)'이라 부릅니다.

$\nabla\cdot$라든가 $\nabla\times$는 위치로 미분하는 기호이고 $\frac{\partial}{\partial t}$는 시간으로 미분하는 기호입니다.

이 방정식은 가장 기본적인 전기현상으로부터 발전기와 전동기와 컴퓨터와 반도체 속의 움직임까지 사실상 모든 것을 말해 줍니다.

지금은 이렇게 단 네 개의 방정식으로 표현하지만, 원래 처음 나올 때에는 최소한 21개, 확장하면 30여개의 방정식이었습니다. 아래 링크에서 1865년에 출간된 "전자기장의 동역학 이론(A dynamical theory of the electromagnetic field)" 제목의 논문에 등장하는 방정식들을 구경할 수 있습니다.

GENERAL EQUATIONS OF THE ELECTROMAGNETIC FIELD

앞에서 3-벡터와 4-벡터의 차이를 설명했습니다. 그리 간단하지 않지만 위치와 운동량을 3-벡터가 아니라 4-벡터로 나타내면, (위치, 시간) 그리고 (운동량, 에너지)로 확장된다는 것이 <장회익의 자연철학 강의> 175-178쪽의 내용입니다.

그렇다면 전기장과 자기장의 4-벡터 표현은 무엇일까요? 전기장과 자기장이 $$\begin{align}
\vec{E} (x, y, z)&= (E_x , E_y, E_z)\\ \vec{B} (x, y, z)&= (B_x , B_y, B_z)  \end{align}$$ 으로 주어지므로, 손쉽게 생각하면 $$\begin{align} (E^\mu) &= (E_x , E_y, E_z, (?)_t)\\  (B^\mu) &= (B_x , B_y, B_z, (?)_t)) \end{align}$$와 같이 네 번째 성분을 찾아내면 될 것 같습니다. 결국 전기와 자기의 로렌츠 변환을 알아내는 것이 관건입니다. 

꽤 복잡하지만, 우여곡절 끝에 얻어낸 전기장과 자기장의 로렌츠 변환은 다음과 같습니다. (이 변환의 유도과정이 1905년 6월 아인슈타인의 논문 "움직이는 물체의 전기동역학"에서 가장 핵심적인 내용이기도 합니다.) $$\begin{align} E_x ' = E_x , \quad \qquad \qquad &B_x ' = B_x \\
E_y ' = \frac{E_y - u B_z}{\sqrt{1-u^2}} , \qquad &B_y' = \frac{B_y + u E_z}{\sqrt{1-u^2}}\\

E_z ' = \frac{E_z + u B_y}{\sqrt{1-u^2}} , \qquad &B_z' = \frac{B_z - u E_y}{\sqrt{1-u^2}}  \end{align}$$

[파인만 강의 Lorentz Transformations of the Fields 참조]

이 결과를 놓고 보면, $$\begin{align} (E^\mu) &= (E_x , E_y, E_z, (?)_t)\\ (B^\mu) &= (B_x , B_y, B_z, (?)_t))  \end{align}$$라는 접근이 전혀 먹히지 않습니다.

중간 과정을 모두 설명하기는 어렵지만, 상대성이론을 적용하여 4차원에서 전기와 자기를 상세하게 살피면, 전기와 자기는 전자기라는 단일한 것의 한 측면으로 나타납니다. 마치 민코프스키의 접근에서 시간과 공간이 별개가 아니라 시공간의 한 측면(그림자)으로 나타나는 것과 마찬가지입니다.

그리고 전자기장은 벡터가 아니라 텐서로 나타납니다. 벡터는 $(V^\mu)$와 같이 성분을 나타내는 번호가 하나 있는 것을 가리키고, 텐서는 $(T^{\mu\nu})$처럼 번호가 여러 개 있는 것을 가리킵니다. 번호는 어깨번호(윗첨자)도 허용되고 무릎번호(아랫첨자)도 허용됩니다. 어깨번호(윗첨자)가 $p$개 있고, 무릎번호(아랫첨자)가 $q$개 있는 텐서를 $(p, q)$-텐서라 부릅니다. 그러면 벡터는 $(1, 0)$-텐서라 할 수 있고, 스칼라는 $(0, 0)$-텐서라 할 수 있습니다. 전자기장의 수학적 표현은 $(0, 2)$-텐서입니다.

위에 쓴 맥스웰 방정식을 4-벡터, 4-텐서로 쓰면 다음과 같은 모습이 됩니다. $$\begin{align}
&\partial_\beta F^{\alpha\beta}=\frac{4\pi}{c}J^\alpha \\ &\partial_\gamma F^{\alpha\beta}+\partial_\alpha F^{\beta\gamma}+\partial_\beta F^{\gamma\alpha}=0

\end{align}$$

여기에서 $\partial_\alpha=\frac{\partial}{\partial x^\alpha}$를 가리킵니다.

이렇게 되는 중간과정이 <장회익의 자연철학 강의> 528-531쪽에 상세하게 나옵니다. 

지금 표준적인 텐서 기호법에서는 앞에서 설명한 것처럼 $i$를 포함시키지 않고 있지만, 여전히 $i$를 따로 드러내는 것이 도움이 되는 경우도 있습니다.

아래 링크는 $i$를 포함하고 시간 성분을 4번째로 두는 정의입니다.

The Electromagnetic Field Tensor

아래 링크는 $i$를 포함하지 않고 시간 성분을 0번째로 두는 정의입니다.

Electromagnetic Energy Momentum Tensor

앞에서 전하와 전류를 각각 $\rho$와 $\vec{J}$로 나타낸다고 했는데, 4차원 형식이론에서는 이것이
$$(J^\mu)=(\vec{J},\rho)$$와 같이 4차원 벡터(4-벡터)가 됩니다.

맥스웰 방정식을 $$\partial_\mu F^{\mu\nu}=4\pi J_\nu$$로 쓸 때, 이 식은 전자기마당 $F^{\mu\nu}$가 그것을 만들어내는 샘(원천)인 4-전류 $J^\nu$에서 생겨나는 방식을 규정하는 방정식이 됩니다.

그렇다면 이렇게 만들어진 전자기장 안에 있는 전하나 전류는 어떤 식으로 움직이게 될까요? 그것을 말해 주는 것이 로렌츠 방정식입니다. (정확히 말하면 이 식을 로렌츠 방정식이라 부르지는 않고, 그냥 로렌츠 힘이라고만 부릅니다.) $$\frac{d\vec{p}}{dt}=q \vec{E} + q \frac{\vec{v}}{c}\times{\vec{B}}$$이 식이 말해 주는 것은 전기장이 있으면 거기에 평행한 방향으로 힘을 받게 될 것이고, 자기장이 있으면 그 자기장에 수직하며 동시에 전하의 진행방향에 수직한 방향으로 힘을 받게 된다는 것입니다.

그런데 4차원 형식화를 채택하면 $(\vec{E}, \vec{B})$ 대신 전자기장 텐서 $F^{\mu\nu}$를 쓰고, 속도도 4-벡터 $(v^\mu)=(\gamma\vec{v}, \gamma c)$로 써서 $$\frac{d p^\mu}{dt_0} = \frac{q}{c} F^{\mu\nu}v_{\nu}$$를 얻게 됩니다.

이렇게 보면, 일반상대성이론의 경우와 구조가 같다는 것을 알 수 있습니다.

맥스웰 방정식은 (전하, 전류)로부터 전자기장이 어떻게 만들어지는지 말해 주며, 로렌츠 방정식은 전자기장 안에 있는 전하나 전류가 어떻게 영향을 받는지 말해 줍니다.

"물질은 시공간이 어떻게 휘어질지 말해 주고(아인슈타인 방정식), 시공간은 물질이 어떻게 운동할지 말해 준다(측지선 방정식)"라는 윌러의 말이 여기에서도 비슷하게 적용됨을 알 수 있습니다.