<장회익의 자연철학 강의> 175쪽에는 그 의미가 쉽게 다가오지 않는 구절이 하나 있습니다.

"시간-공간이 4차원이라고 하는 것은 이 안에 놓인 모든 존재물들의 상태와 상태 변화의 법칙들이 4차원 물리량 곧 4차원 벡터 형태로 표현되어야 함을 의미한다."

앞에서는 모든 물리량은 스칼라이거나 벡터라는 식으로 대충 얼버무리면서 4-벡터로 이야기를 넘겼습니다만, 실상 이 문제를 제대로 이해하는 것이 <장회익의 자연철학 강의>을 깊이 소화하기 위해 중요한 관건이기 때문에 여기에 조금 더 설명을 해 보려 합니다. 이것은 3-백터라는 개념을 어떻게 받아들일 것인가 하는 문제입니다.

심학십도 제2도에 요약된 것은 단지 여러 이론 중 하나로서 뉴턴 역학이 아닙니다. 제3도와 제4도가 등장하기 전까지 세상의 모든 것을 다 말해 주는 근원적인 변화의 원리로 제시된 것입니다.

물리학이라 부르는 자연철학의 한 흐름은 세상의 변화를 '수'를 통해 이해할 수 있다는 선언입니다. 음식이든, 에너지든, 온도이든, 거리이든, 위치이든, 가속도이든, 힘이든 뭐든 다 '수'로 나타내고, 그 수의 변화(그래서 미적분학이 들어옵니다)로 모든 것을 알 수 있다는 믿음입니다.

이 '수'를 거창하게 표현하여 '물리량 physical quantities'이라 부릅니다. 제4도에 가면 이 개념에 균열이 생기고 의심이 커져 가면서 새로운 이야기가 펼쳐집니다만, 여하간 제2도에서 중요한 것은 바로 그 물리량입니다. 물리량은 물리학이라 부르는 자연철학이 세상을 바라보는 창문과도 같습니다.

그런데 그 창문은 아주 독특한 성질을 지닙니다. 사람들이 공간에 대해 가지고 있는 일종의 선험적 관념을 그대로 반영한다는 점입니다. 공간의 특별함을 이해하기 위해서는 멀리 에우클레이데스의 기하학까지 거슬러 가야 하지만, 아무래도 17세기에 데카르트가 도입한 직각좌표계를 활용하는 것이 편리합니다.

직각좌표계의 중요한 두 가지 선택이 문제입니다.



데카르트 직각좌표계는 위의 그림처럼 세 개의 축을 그리고 그 축으로부터 수직방향으로 떨어진 거리 셋을 좌표로 삼는 것입니다. 여기에서 이 세 축이 만나는 점, 즉 원점을 어디에 놓을 것인가 하는 선택지가 있고, 또 세 축의 방향을 어떻게 놓을 것인가 하는 선택지가 있습니다.

원점을 어디에 놓는가 하는 문제는 생각보다 쉽지 않지만, 가장 무난한 원칙은 어디에 두어도 좋다는 것이겠습니다. 또 세 좌표축의 방향을 어떻게 선택하는가 하는 문제도 어느 방향이든 좋다는 원칙을 내세울 수 있습니다.

앞의 것을 공간의 균질성(homogeneity)이라 부르고 뒤의 것을 공간의 등방성(isotropy)이라 부릅니다.

그렇지 않은 것도 얼마든지 생각할 수 있지만, 수학적 사유는 일단 모든 것을 똑같다고 놓은 뒤에 나중에 달라진 것을 따로 고려하는 방식을 자주 사용합니다. 즉 균질하고 등방한 공간(homogeneous and isotropic space)이 기본이고, 그렇지 않은 것은 거기에 하나씩 변화를 주는 식입니다.

이 조건을 충족하는 수학적 대상이 바로 '벡터'입니다. 흔히 크기만 있는 양이 '스칼라'이고 크기와 방향이 있는 양이 '벡터'라고 간단하게 말하지만, 사실 그보다 더 깊은 의미가 숨어 있습니다.

단지 크기와 방향이 있다면, 그냥 세 개의 숫자를 늘어 놓기만 하면 벡터가 될 것 같은데, 그보다는 조금 더 제한조건이 생깁니다. 기호로 쓰면 다음과 같습니다.
$$ \vec{V}= V \hat{V} = (V_x, V_y, V_z)$$
여기에서 $V$는 벡터 $\vec{V}$의 크기이고 $\hat{V}$은 그 방향입니다. 세 개의 성분 $(V_x, V_y, V_z)$을 써서 나타내면
$$V=\sqrt{(V_x)^2 + (V_y)^2 + (V_z)^2}, \quad \hat{V} = \frac{\vec{V}}{\sqrt{(V_x)^2 + (V_y)^2 + (V_z)^2}}$$
가 됩니다.

이 기호는 어딘가 익숙합니다. 맞습니다. 위치를 나타내는 벡터와 아주 닮아 있습니다.
$$ \vec{r}= r \hat{r} = (x, y, z)$$
여기에서 $r$은 벡터 $\vec{r}$의 크기이고 $\hat{r}$은 그 방향입니다. 세 개의 성분 $(x, y, z)$을 써서 나타내면
$$r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \hat{r} = \frac{\vec{r}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$
입니다.

초보적인 설명에서는 위치를 나타내는 벡터, 줄여서 위치벡터도 여러 벡터 중 하나인 것처럼 말하지만, 실상은 다른 벡터들이 모두 위치벡터를 닮도록 선택된 것입니다.

이제 공간의 균질성과 등방성의 의미를 더 살펴보겠습니다.

좌표계의 원점을 옮겨서 선택하는 것을 '평행이동변환(translation)'이라 부르고, 좌표축의 방향을 다르게 선택하는 것을 '회전변환(rotation)'이라 부릅니다. 3차원을 모두 쓰는 것은 좀 복잡하기 때문에 1차원만 써서 나타내면, 평행이동변환은
$$ x' = x - b, \quad y'=y, \quad z'=z$$
등과 같고, 회전변환은
$$\begin{align}
y'&= y \cos\theta - z \sin\theta \\
z'&=y\sin\theta + z\cos\theta
\end{align}$$
등과 같습니다. "...등"이라 한 것은 그와 같은 모양의 '변환'이 세 가지씩 있다는 의미입니다.

벡터는 이렇게 위치의 변환를 같은 방식으로 변환되어야만 합니다. 이를 수학용어로 '공변(covariant)'이라 부릅니다. 함께 변한다는 의미입니다.

운동량, 힘, 각운동량, 전기장, 자기장 등등 고전역학에 속하는 모든 물리량이 다 이와 같은 성질을 지닙니다. 반드시 그래야만 합니다. 물론 그 중에서는 벡터의 크기처럼 어느 좌표계에서든 어떤 변환에서든 똑같은 것도 있는데, 이것이 바로 스칼라입니다. 위의 표현과 짝을 맞추면 '불변(invariant)'입니다.

아무 것이나 크기만 있다고 해서 바로 스칼라가 되는 것은 아닙니다. 가령 $V_x+3V_y$는 분명히 일종의 크기이지만, 회전변환이나 평행이동변환을 하면 값이 달라져 버립니다. 이와 달리 가령 $\sqrt{V_x ^2 + V_y ^2 + V_z ^2}$는 회전변환이나 평행이동변환을 하더라도 그 값이 달라지지 않기 때문에 명실 공히 스칼라가 됩니다.

소위 고전역학에서 확립된 벡터는 이와 같이 공간의 균질성과 등방성을 보장하는 수학적 대상으로 확립되었습니다. 여기에 문제가 생긴 것이 바로 전자기학이었고, 이를 해결하는 과정에서 아인슈타인이 그 변환 중 소위 로렌츠 변환이라 부르는 것에 주목한 것입니다.

앞에서 본 변환 두 가지는 모두 시간과 무관합니다. 이와 달리 로렌츠 변환은 멈춰 있는 좌표계와 이에 대해 일정한 속도로 움직이고 있는 좌표계 사이의 관계입니다. 여기에 시간이 필연적으로 연관됩니다. 갈릴레오 변환이라 부르는 것은
$$ \begin{align}t' &= t , \\ x'&=x- u t \end{align}$$
와 같은 변환입니다.

여기에서 혼동하면 안 되는 것은 로렌츠 변환에 나오는 $u$는 가령 $\frac{dx}{dt}$와 같은 속도가 전혀 아니라는 점입니다. 이 기호는 물체의 속도 같은 것이 아니라 두 좌표계, 즉 멈춰 있는 좌표계와 이에 대해 일정한 속도로 움직이고 있는 좌표계를 구별하기 위한 파라미터입니다. 좌표계 사이의 상대속도입니다. 평행이동변환에서 $b$나 회전이동변환에서 $\theta$처럼 좌표계들 사이의 관계를 나타내는 파라미터입니다. 일종의 이름표나 라벨 같은 것입니다.

전자기학과 광속 문제를 해결하기 위해 임시방편으로 만들어낸 좌표변환이 로렌츠변환이고, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\begin{align}
t' &=\frac{1}{ \sqrt{1-u^2}}(t - u x) \\
x'&= \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}(x- u t)\end{align}$$
여기에서 $u$는 이 변환의 파라미터이고, 물리적으로는 두 좌표계의 상대속도를 광속을 단위로 나타낸 것에 해당합니다.

쌍곡삼각함수를 이용하여 $u=\tanh\phi$의 식을 써서 위의 변환을 다시 쓰면
$$\begin{align}
t' &= t \cosh\phi - x \sinh\phi \\
x'&= - t \sinh\phi + x \cosh\phi\end{align}$$
가 됩니다.

새로운 동역학에서 기본적인 물리량을 나타내는 것이 3차원 벡터가 아니라 4차원벡터가 된다는 말은 공간의 균질성과 등방성뿐 아니라 로렌츠 변환에 대한 공변성까지 갖추어야 한다는 뜻입니다. 로렌츠 변환에 대한 공변성이 덧붙여진 벡터가 바로 4-벡터입니다.

그러면 이제 모든 물리량은 3-벡터나 3-스칼라가 아니라 4-벡터나 4-스칼라로 서술되어야 합니다.

위치, 운동량, 힘 같은 기초 개념들이 3-벡터로 서술되어야 했다면, 이제 여기에 네 번째 성분을 덧붙인 4-벡터를 찾아내는 것이 일차 과제가 됩니다.

(위치, 시간)은 쉽게 찾아낼 수 있는데, 이것을 닮은 4-벡터의 네 번째 성분을 찾아내는 일은 실상 그리 쉽지 않습니다.

(운동량, 에너지)는 어찌어찌 알아냈는데 (힘, ?)의 경우는 좀 혼동스럽습니다. (전기장, ?), (자기장, ?), (전류, ?)도 난해합니다.

전자기학에서 4-벡터를 어떻게 찾을 것인가 하는 문제는 다음 글로 쓰겠습니다.

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(추가)
혼동을 일으킬 우려가 있어서 벡터의 정의를 정확하게 하는 것이 좋겠습니다. (이 뒤의 서술은 상당히 테크니컬한 것이기 때문에 처음 읽을 때에는 무시해도 됩니다.)

3-벡터 또는 3차원 벡터라 부른 것은 더도 덜도 아니라 평행이동변환과 회전이동변환에 대해 공변인 수학적 대상으로 정의합니다.

회전변환만 고려하면 이를 SO(3)-벡터라 부릅니다. 여기에서 SO(3)이라는 이름은 변환군의 하나로서 Special Othogonal의 앞자를 딴 것이고, 3이란 숫자는 세 축이 있다는 뜻이라서 결국 3차원을 의미합니다.

여기에 평행이동변환까지 고려하면 ISO(3)-벡터 또는 E(3)-벡터라 부릅니다. 여기에서 I는 Inhomogeneous의 I를 딴 것입니다. 이 변환들을 모두 모아 놓은 것을 유클리드 변환군이라 부릅니다.

회전변환에 로렌츠 변환까지 덧붙인 경우에 변환에 공변인 벡터를 SO(3,1)-벡터라 부릅니다. 이 변환군을 특별히 로렌츠 변환군이라 부릅니다.

로렌츠 변환군에 평행이동변환을 덧붙인 것을 푸앵카레 변환군이라 부릅니다. ISO(3,1)이란 기호를 사용합니다.

위에서 3차원 벡터 또는 3-벡터라 부른 것은 정확하게 말하면 ISO(3)-벡터를 가리키는 것이고, 4차원 벡터 또는 4-벡터는 ISO(3,1)-벡터를 가리킵니다.

일반상대성이론에서도 유사하게 벡터 개념을 확장해야 합니다. 거리함수 텐서나 곡률 텐서도 그렇게 벡터 개념을 확장한 것입니다. 그러나 여기에서는 ISO(3,1)과 같은 대단히 특수한 경우만을 다루는 것이 아니라 임의의 일반 좌표변환을 모두 다룹니다. 그렇기 때문에 '일반공변(general covariance)'이란 용어를 도입합니다.

일반상대성이론에서 나오는 스칼라, 벡터, 텐서 등은 이름은 같지만, 고전역학이나 특수상대성이론에서 나오는 스칼라, 벡터, 텐서 등과는 전혀 성격이 다른 양입니다. 유의할 필요가 있습니다.