흔히 질량이 속도에 따라 달라진다는 말을 많이 하고, 이를 '운동질량' 또는 '상대론적 질량'이라 말합니다. 장회익 선생님도 176-177쪽에서 같은 설명을 하고 계십니다.

이를 수식으로 쓰면 다음과 같습니다. $$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}$$ 그런데 실상 이 문제는 좀 미묘한 토론거리입니다. 저는 질량이 속도에 따라 달라진다고 생각하지 않습니다. 단지 운동량이 $$ \vec{p}_{\mathrm{rel}} = \frac{m_0 \vec{v}}{\sqrt{1-\frac{\vec{v}^2}{c^2}}}$$와 같이 달라지는 것이라 이해하는 게 좋습니다. 또 이에 따라 운동에너지가 $E_K = \frac{1}{2}m_0 v^2$가 아니라 $$E_K = m_0 c^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}-1\right)$$가 되는데, 원래 운동량이나 운동에너지는 속도에 따라 달라집니다. 질량이 속도에 따라 달라지는 것이 아니라는 의미입니다.

이와 관련하여 상대성이론가인 칼 아들러가 1987년에 쓴 짧은 글이 유용합니다.
"아빠, 질량이 정말 속도에 따라 달라져?"

이 글에서 아들러의 아들이 고등학교에 입학하면서 물리학을 처음 수강하게 되었는데, 수업시간에 질량이 속도에 따라 달라진다는 말을 듣고 상대성이론 전문가인 물리학자 아버지에게 묻습니다. "아빠, 정말로 질량이 속도에 따라 달라져?"

아들러의 대답은 "아니! 그렇지 않아." 조금 뒤 "아, 맞아." 조금 뒤 "아니, 실상은 그렇지 않아. 선생님한테는 얘기하지 마라."였습니다. 안타깝게도 아들러의 아들은 이튿날 물리학 수강을 철회하고 말았습니다.

질량이 변한다는 말은 상당히 위험한 주장일 수 있습니다. 대상의 특성이 상태에 따라 달라진다는 의미이기 때문입니다. 그래서 대상의 특성을 규정하는 양을 '정지질량'이라 부릅니다. 정지질량을 $m_0$라고 흔히 표기합니다.

운동질량이라는 말은 물체가 움직이고 있다면 질량이 변한다는 뜻입니다. 상대성이론이 이를 뒷받침한다고 말합니다. 정지질량은 물체가 정지해 있을 때의 질량입니다.

이 개념구별이 상대성이론에서 가장 유명한 공식 $E=mc^2$과 관련됩니다.

샘 해리스의 유명한 삽화를 보신 적이 있을 겁니다.

누구나 어디에선가 $E=mc^2$라는 공식을 본 적이 있지만, 그 의미를 깊이 생각해 보는 경험은 그리 많지 않을 것 같습니다.

러시아의 물리학자 레프 오쿤의 논문에 나온 퀴즈를 내 보겠습니다.
[L. B. Okun, “The Concept of Mass,” Phys. Today 42(6), 31, June (1989); L. B. Okun, Sov. Phys. Usp. 32, 629 (1989).]

$E=mc^2$의 의미는 다음 중 어느 것일까요?

(a) $E_0 =m c^2$
(b) $E=m c^2$
(c) $E_0 =m_0 c^2$
(d) $E=m_0 c^2$

여기에서 첨자 ${}_0$이 붙은 것은 '정지'라는 의미입니다. (a)는 정지에너지가 질량에 광속 제곱을 곱한 것이라는 뜻이고, (b)는 질량이 있으면 거기에 광속 제곱을 곱한 값이 모두 에너지가 된다는 뜻입니다. (c)는 정지에너지와 정지질량 사이의 관계로 보는 것이고 (d)는 정지질량에 광속 제곱을 곱한 것이 에너지가 된다는 의미입니다.

상대성이론을 해설한다는 대부분의 초급의 대중서에 압도적인 것은 (b)입니다. 아예 책 제목에다 이 공식을 넣어둔 책도 있습니다.

그런데 물리학자의 논문이나 전문적인 연구에서 (b)와 (c)의 의미로 사용되는 경우는 발견하기 어렵습니다.

특히 입자물리학자의 경우에는 거의 대부분 (a)의 의미만 사용됩니다. 질량이 곧 에너지가 아니라 질량을 정지에너지 개념으로 이해할 수 있다는 것입니다. 핵분열과 핵융합에서 질량의 차이가 엄청난 에너지로 바뀐다고 말할 때에는 항상

$$\Delta E_0=\Delta m c^2$$
라는 의미로 사용됩니다. 질량의 차이가 정지에너지의 차이가 되어서 그것이 엄청난 효과를 낸다는 것입니다.

아인슈타인은 1948년 6월 19일자로 미국의 작가 링컨 바넷(Lincoln Barnett)에게 보낸 편지에서 다음과 같이 쓰고 있습니다.

"움직이는 물체에 대해 $M = \frac{m}{\sqrt{1 − \frac{v^2}{c^2}}}$이라는 질량 개념을 도입하지 않는 것이 좋겠습니다. 그에 대해 명확한 정의를 줄 수 없기 때문입니다. 정지 질량 $m$ 이외에는 아무런 다른 질량도 도입하지 않는 것이 바람직합니다. $M$을 도입하기보다는 움직이는 물체의 운동량과 에너지에 대한 표현을 언급하는 것이 더 좋습니다."

[그림 출처: L. B. Okun, “The Concept of Mass,” Phys. Today 42(6), 31, June (1989)에서 재인용]

아인슈타인이 말하는 운동량과 에너지의 표현은 무엇일까요?

<장회익의 자연철학 강의> 177-178쪽에 설명되어 있듯이, 4차원 시공간을 도입하는 것은 운동량과 에너지를 4차원 벡터(4-벡터)로 보는 것과 같습니다. $$\begin{align}(X^\mu)&=(\vec{r}, ict) \\
(P^\mu)&=(\vec{p}, i\frac{E}{c})\end{align}$$ 여기에서 중요한 개념이 로렌츠 불변량입니다. 공간이나 시간의 좌표는 어느 관성계를 기준으로 보는가에 따라 그 값이 달라지기 때문에 절대적인 의미를 갖지 않습니다. 대신 4차원 시공간에서 정의된 간격은 어느 관성계에서 보더라도 똑같습니다. 다시 말해서 $$s^2 = \vec{r}^2 - c^2 t^2 = {\vec{r'}}^2 - c^2 {t'}^2 = -c^2 \tau^2 $$ 여기에서 $\tau$는 고유시간으로서, <장회익의 자연철학 강의>에서는 $t_0$로 표기되었습니다.

마찬가지로 운동량과 에너지도 어느 관성계에서 재는가에 따라 그 값이 달라지지만, 4차원 간격과 유사한 양은 어느 관성계에서 보더라도 불변입니다. 그것이 바로 질량입니다. 다시 말해서 $$\vec{p}^2 - (\frac{E}{c})^2 = {\vec{p'}}^2 - (\frac{E'}{c})^2 = - m^2 c^2$$ 속도에 따라 변하는 질량이라는 이상한 개념은 로렌츠 대칭성 속에 들어올 수가 없습니다. 마치 시간 늦어짐이나 길이 줄어듬이라는 신비한 예측이 4차원 시공간을 가정하고 나면 당연한 것으로 보이는 것처럼, 4차원 개념을 굳게 유지하면 질량은 관성계가 달라져도 항상 같은 값을 갖는 로렌츠 스칼라로 보아야 합니다. 움직이는 관성계의 시간이 늘어난 것으로 관측되고 길이가 줄어든 것으로 관측되지만 4차원 간격이 똑같듯이, 에너지와 운동량의 값이 달라져도 질량은 모든 관성계에 대해 똑같습니다.

질량이 속도에 따라 달라진다고 할 때 가장 심각한 문제는 '속도'라는 개념이 어느 관성계에 있는가에 따라 상대적으로 항상 달라진다는 점에 있습니다. 물론 운동질량의 수식에서 '속도'는 언제나 '상대속도'라고 새롭게 규정하여 이 난점을 피할 수도 있겠지만, 여하간 어느 관성계에서 보는가에 따라 질량의 값이 달라진다면, 대상을 규정하는 근본적인 동역학적 특성으로서 자격을 의심하지 않을 수 없습니다.

무엇보다도 위에서 (a)라 표시한 식과 (b)라 표시한 식은 의미가 크게 다릅니다. 가령 빛알은 빛을 양자이론으로 이해할 때 필요한 '빛 양자'입니다. 플랑크에 따르면 빛알 하나는 $h\nu$의 에너지를 갖습니다. 만일 (b)가 옳다면, $h\nu = mc^2$가 되므로, 빛알은 $m = h\nu / c^2$라는 질량을 가져야 합니다. 그러나 빛알은 질량이 없습니다.

실상은 에너지와 운동량을 상대성이론 이전과 이후 모두에 공통된 의미로 규정하기 위해서는 다음과 같은 공통된 수식을 출발점으로 삼아야 합니다. $$\begin{align}
&E^2 - \vec{p}^2 c^2 = m^2 c^4 \qquad \mbox{(*)}\\
& \vec{p} = \frac{E}{c^2} \vec{v} \qquad \qquad\qquad \mbox{(**)} \end{align}$$ 만일 물체가 정지해 있다면 $\vec{v}=0$이므로 (**)식으로부터 $\vec{p}=0$이고, 그 때의 에너지를 $E_0$라 부르면 (*)식으로부터 $$E_0 = m c^2$$가 됩니다.

빛의 경우처럼 $v=c$이라면 (**)식으로부터 $p=E/c$가 되고, (*)식으로부터 $$ E^2 - p^2 c^2 = m^2 c^4 = 0$$을 얻습니다. 즉 광속으로 움직이는 것은 반드시 질량이 0이어야 합니다.

질량이 0이 아닌 물체에서는 (**)식을 (*)식에 넣어 더 간단한 표현을 얻을 수 있습니다. 즉 $E^2 - {p}^2 c^2 = m^2 c^4$에 $p=\frac{E}{c^2} v$를 대입하면 $$E^2 - \frac{E^2}{c^4} v^2 c^2 = m^2 c^4$$이고 왼편의 표현은 $$ E^2 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)$$가 되므로, 결국 $$E^2 = \frac{(m c^2)^2}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}$$이고, 따라서 $$E = \frac{m c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma m c^2$$를 얻습니다. 이를 다시 운동량 식에 넣으면 $$\vec{p} = \frac{\gamma m \cancel{c^2}}{\cancel{c^2}} \vec{v} = \gamma m \vec{v}$$를 얻습니다.

여기에서 $E$는 물체의 전체 에너지를 가리킵니다. $\vec{v}=0$일 때의 에너지 $E_0$를 구하면 위의 표현에 $v=0$을 대입하여 쉽게 $$E_0= mc^2$$를 얻습니다. 이것이 바로 정지에너지입니다.

물체의 운동에너지는 전체에너지에서 정지에너지를 제외한 부분으로 정의합니다. $$E_K = E - E_0 = mc^2 (\gamma - 1) = mc^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)$$

이러한 접근은 특수상대성이론에서 가장 권위를 인정받고 있는 에드윈 테일러와 존 아치볼드 윌러의 책에서도 확인할 수 있습니다.

Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992)
Spacetime Physics Introduction To Special Relativity. 2nd ed.
https://amzn.to/2GqQTUH

[이 책은 http://www.eftaylor.com/spacetimephysics/에서 책 전체 또는 챕터를 다운로드 받을 수 있도록 개방되어 있습니다.]

테일러와 윌러는 "질량 개념의 사용과 오용"이라는 특별한 질의응답을 pp. 246-252에 마련했습니다. (편리를 위해 그 부분을 pdf 파일로 만들어 첨부했습니다.) 그 중 중요한 부분을 인용하면 다음과 같습니다.

"문: 움직이는 물체의 질량이 그 물체가 정지해 있을 때의 질량보다 큰가요?

답: 아닙니다. 물체가 정지해 있거나 움직이고 있거나 상관없이 질량은 똑같습니다. 모든 좌표계에서 똑같습니다.

문: 정말요? 자유롭게 움직이는 입자들의 모임의 질량 $M$은 각 구성요소들의 질량 $m_i$들의 합이 아니라 에너지들 $E_i$의 합 (단 계의 전체 운동량이 0이 되는 계에서만)으로 주어지는 게 아닌가요? 그렇다면 $E_i$에 새로운 이름을 주어 개별 입자의 '상대론적 질량'이라 부르면 안 되나요? $$m_{i, rel} = E_i = m_i + K_i$$와 같은 기호법을 택하면 안 되나요? 이 기호법으로 $$M=\sum_{i=1}^{n} m_{i, rel}$$이라고 쓰면 안 되나요?

답: 저런! '상대론적 질량'이란 개념은 오해를 불러일으키는 주제입니다. 그렇기 때문에 그 개념을 쓰지 않습니다. 첫째, ( 4차원 벡터의 크기에 속하는) 질량이란 이름을 (4차원 벡터의 시간 성분인) 전혀 다른 개념에 적용하는 것이 됩니다. 둘째, 그 개념대로라면 물체의 속도나 운동량이 커짐에 따른 에너지의 증가가 마치 물체의 내부 구조 속에서 모종의 변화와 연결되는 것처럼 보이게 만듭니다. 실재상으로 속도에 따른 에너지의 증가는 물체에서 비롯되는 것이 아니라 시공간 자체의 기하학적 속성에서 비롯되는 것입니다." (pp. 250-251)

결론적으로 질량은 $$ m = \sqrt{\frac{E^2}{c^4} - \frac{\vec{p}^2}{c^2}}$$으로 정의되며, 이 정의는 어느 관성계에서 보더라도 똑같은 의미를 지닙니다. 운동질량이나 상대론적 질량이란 개념은 불필요할 뿐 아니라 오해를 불러일으키는 부적절한 개념이므로 문헌에서 모두 제거하는 것이 바람직합니다.

운동질량 또는 상대론적 질량이란 개념이 부적절하고, 질량은 오직 정지질량의 의미만을 갖는다는 주장은 세미나에서 더 깊이 토론해볼 주제일 것 같습니다.

비교적 최근에 나온 이와 관련된 논문을 링크해 둡니다.

On the Abuse and Use of Relativistic Mass

이 논문은 물리학교육에서 운동질량이라든가 상대론적 질량이란 개념을 도입하는 것이 초심자에게 혼동을 주고 잘못된 개념을 심어주기 쉽다면서, 적극적으로 그 개념을 모든 교과서에 책에서 제거해야 한다고 강력하게 주장하고 있습니다. 다행히 요즘 나오는 교과서에는 이 '상대론적 질량' 또는 '운동 질량'과 같은 용어가 전혀 등장하지 않고 있습니다. 더 고급 단계의 책에서는 진작 그 용어가 사라졌습니다.