거리함수는 영어로 metric이라 부릅니다. 미국어에서 사전적인 의미는 "미터법을 따르는"이 되기도 합니다. 미국에서는 지금도 피트나 파운드 같은 오래된 단위를 사용하기 때문에 국제표준이 된 미터법이 낯설기 때문에 특히 과학책이나 공학 관련 책에서 전체적으로 미터법을 쓴다면 아예 책 표지에 metric이라고 명시하는 게 흔합니다.

하지만 브라이언 그린이 소개하는 metric은 말 그대로 거리를 나타내는 함수입니다. 실상 흔히 생각하는 함수와는 좀 다릅니다. 1차원에서는 거리함수가 하나만 있으면 되지만, 2차원 평면으로 생각할 때, 각 위치 $(x, y)$에서 $g_{11}(x, y), g_{12}(x, y), g_{21}(x, y), g_{22}(x, y)$와 같이 네 개의 함수가 있기 때문입니다. 3차원이라면 $3\times 3 = 9$개의 함수가 있습니다. $n$차원이라면 $n^2$개의 함수가 있는데, 그 함수들이 모두 $n$개의 독립변수에 대한 함수입니다. 차원이 커질수록 기하급수적으로 복잡해집니다.

브라이언 그린도 포함되어 있는 끈이론에서는 시공간의 차원이 무척 큽니다. 보손 끈이론(bosonic string theory)은 26차원이고, 초끈이론(superstring theory)은 10차원, M이론은 11차원입니다.

리만이 다양체를 '다양함 또는 여러겹(Mannigfaltigkeit)'이라고 부른 것은 바로 이렇게 차원이 커짐에 따라 거리함수의 독립변수도 종속변수도 더 많아지기 때문이었습니다.

다양체 개념은 미분기하학뿐 아니라 위상수학(topology)에서도 가장 핵심적인 기초개념입니다. 위상수학에서는 두 점이 이웃해 있는가 구별되는가 또는 어떤 집합이 열려 있는가 닫혀 있는가 등을 따집니다. 특히 대수적 위상수학(algebraic topology)은 여러 다양체의 성질을 탐구하는 분야라 할 수 있습니다.

공간 나아가 시공간이 물질과 별도로 존재하는 실체인가, 아니면 물체들 사이의 관계인가 하는 논쟁은 라이프니츠-클라크 논쟁으로 거슬러 올라갑니다. 새뮤얼 클라크가 뉴턴의 제자였으므로 이 논쟁을 라이프니츠-뉴턴 논쟁으로 부르기도 합니다. 당시에는 시간을 빼고 공간을 놓고 논쟁을 벌였습니다. 클라크와 뉴턴의 주장은 공간이라는 것이 원래 있고 그 공간 안에 물체들이 놓여 있는 것었습니다. 라이프니츠는 물체들을 모두 빼 버리고 나면 과연 공간이라는 것이 실체로 존재하겠는가 하는 것을 의심합니다. 그리고 구별할 수 없는 것은 동일하다는 원리와 모든 것은 다 충분한 이유가 있어야 한다는 원리를 동원하여 공간이 실체가 아니라 물체들 사이의 관계임을 멋지게 논증합니다. 철학적으로 보면 (시)공간에 대한 실체론-관계론 논쟁은 사변적인 것처럼 보이지만, 물리학의 관점에서는 훨씬 더 심각합니다. 자연철학과 자연과학의 차이와 비슷합니다.

브라이언 그린은 물리학자로서 시공간 철학에서 소위 '다양체 실체론(manifold substantivalism)'이라 부르는 것을 옹호합니다. 여하간 수학적으로 볼 때 시공간은 4차원 다양체에 대한 거리함수로 나타낼 수 있으며, 그러한 다양체는 물체(물질)와 무관하게 있을 수 있기 때문에, 여하간 4차원 시공간이 실체라는 주장입니다. 하지만 이 다양체 실체론도 철학에서는 다시 반론이 나옵니다. 이 시공간 철학 이야기도 무궁무진합니다.

실체론-관계론 논쟁에 대해 비교적 쉽게 쓴 입문적인 논문으로 Shamik Dasgupta (2015) Substantivalism vs Relationalism About Space in Classical Physics. Philosophy Compass.
10(9): 601-624 [https://doi.org/10.1111/phc3.12219]를 참조할 수 있습니다. 한번 구경해 보셔도 좋을 듯 해서 논문의 pdf 파일을 첨부해 놓았습니다.