앞에서 상대성이론에 따르면 뉴턴 운동방정식, 흔히 $F=ma$라 쓰는 것이 달라집니다.

구체적으로 계산해 보면
$$F=\gamma^3 ma = \gamma^3 m\frac{dv}{dt} = \frac{ma}{(1-\frac{v^2}{c^2})^{3/2}}$$
가 됩니다.

이번에는 이 식을 증명해 보겠습니다. 미분을 잘 하는 게 핵심입니다.

4-벡터를 써서 상태변화의 법칙을 쓰면 다음과 같습니다.
$$\begin{align}
F&=\frac{d}{dt}\left(\frac{mv}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}\right) \\
&=\frac{d}{dt}\gamma mv \\
&=\frac{d\gamma}{dt}\cdot mv +\gamma m \frac{dv}{dt}
\end{align}$$
여기에서 $$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}$$이고, $\frac{dv}{dt}=a$라 쓸 수 있습니다.

그런데
$$\begin{align}
\frac{d\gamma}{dt}&=\frac{dv}{dt} \frac{d\gamma}{dv} \\
&=\frac{dv}{dt}\frac{d}{dv}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}\\
&=\frac{dv}{dt}\cdot (-\frac{1}{\cancel{2}})
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2}\cdot (-\frac{\cancel{2}v}{c^2}) \\
&=\frac{dv}{dt}\cdot \frac{v}{c^2}\cdot
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2}\\
&= a \frac{v}{c^2}\gamma^3
\end{align}$$
이므로
$$\begin{align}
F&=\frac{d\gamma}{dt}\cdot mv +\gamma m a \\
&=ma\left(\gamma^3 \frac{v^2}{c^2} +\gamma\right) \\
&=\gamma^3 ma\left( \frac{v^2}{c^2} +\frac{1}{\gamma^2}\right)
\end{align}$$
입니다. 그런데
$$\frac{1}{\gamma^2}=1-\frac{v^2}{c^2}$$
이므로
$$\frac{v^2}{c^2} +\frac{1}{\gamma^2} = 1$$
입니다. 그러므로
$$F=\gamma^3 ma = \gamma^3 m \frac{dv}{dt}$$
를 얻습니다.

이상한 점이 하나 있습니다. 로렌츠 변환 방향으로, 즉 두 관성계가 상대속도를 갖는 방향 말고 거기에 수직인 방향으로는 작용하는 힘의 모양이 달라집니다.
$$F_{\perp}=\gamma ma_{\perp} $$

상세한 유도 과정은 좀 복잡하기 때문에 여기에서는 생략합니다.

이번에는 상대론적 운동에너지를 유도하겠습니다.

정의로부터
$$\begin{align}
E_K &= \int_{x(0)} ^{x(v)} F dx \\
&= \int_{x(0)} ^{x(v)} \gamma^3 m \frac{dv}{dt} dx \\
&= m \int_0 ^v \gamma^3 \frac{dx}{dt} dv \\
&= m \int_0 ^v \gamma^3 v dv \\
&=m \int_0 ^v \frac{ v dv}{(1-v^2 / c^2 )^{3/2}}
\end{align}$$
여기에서
$$1-\frac{v^2}{c^2}=:b$$
라 하면
$$-\frac{2v}{c}dv=db$$
또는
$$v dv = -\frac{c^2}{2}db$$
이므로
$$\begin{align}
\int_0 ^v \frac{ v dv}{(1-v^2 / c^2 )^{3/2}}
&=-\frac{c^2}{2}\int_1 ^b b^{-3/2}db \\
&=-\frac{c^2}{2}\cdot (-2) \left[b^{-1/2}\right]_1 ^b \\
&=c^2 (b^{-1/2} -1) \\
&=c^2 (\gamma - 1)
\end{align}$$
입니다. 그러므로
$$E_K = m c^2 (\gamma - 1)
= m c^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}-1\right)$$
을 얻습니다. 여기에서
$$b=1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{\gamma^2}, \quad b^{-1/2}=\gamma$$
를 이용했습니다.

이를 그림으로 그리면 아래와 같습니다.


(출처: https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/5-9-relativistic-energy)

고전역학에서는 운동에너지가
$$E_{K, cl}=\frac{1}{2}m v^2$$
이므로, 속도에 제한이 없고 속도가 커짐에 따라 운동에너지도 한없이 커질 수 있습니다. 그러나 특수상대성이론에 따르면, $v\rightarrow c$이면 $E_K \rightarrow\infty$가 되어, 속도는 결코 광속을 넘어설 수 없습니다.

고전적인 운동에너지 표현은 상대성이론의 운동에너지 표현의 일차어림(근사)으로 주어짐을 쉽게 보일 수 있습니다.

머클로린 급수를 쓰면
$$(1-x)^n \approx 1 - nx + \frac{1}{2}n(n-1) x^2 - \frac{1}{6}n(n-1)(n-2) x^3 + \cdots$$
이므로
$$(1-x)^{-1/2}\approx 1+\frac{1}{2}x +\frac{3}{8}x^2 + \cdots$$
이기 때문에
$$\begin{align}
E_K &= mc^2 \left( \cancel{1}+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}+\cdots-\cancel{1}\right)\\
&=\frac{1}{2}mv^2 + \frac{3}{8}m \frac{v^4}{c^2}+\cdots
\end{align}$$
를 얻습니다. 상대성이론을 적용하지 않는 고전역학의 경우는 상대성이론에서 정확히 맞는 식의 일차근사(어림)임을 알 수 있습니다.