[장회익의 자연철학 강의]의 5장은 물리학에 기반을 둔 자연철학의 전개에서 매우 중요한 열통계역학을 다루며, 6장은 이를 바탕으로 우주와 물질의 문제를 다룹니다. 그런데 제한된 공간 안에서 이야기를 펼치다 보니 어쩔 수 없이 중간 단계에 속하는 이론적 및 실증적 논의를 모두 다루기는 어려웠을 것 같습니다.

제가 6장 우주와 물질의 여는 발제에서 우주 전체에 대응하는 자유에너지를 정의하기가 어렵다고 언급한 것은 자연철학 세미나에 참여하는 구성원 전체에게 드린 말씀이라기보다는 장회익 선생님께 드린 말씀이었습니다. 그런데 상세한 배경지식을 모두 언급하지 않는 바람에 시지프스님의 질문과 같은 오해가 생길 수 있다는 것을 미처 고려하지 못했습니다. 

시인처럼님이 장회익 선생님의 2013년 저서 <생명을 어떻게 이해할까?>의 구절을 인용하면서 질문을 꺼냈습니다. 

“우리는 지금 초기 우주 전체를 그 어떤 질서가 구현될 대상계와 그 배경을 이룰 주변계로 나누고, 온도 T를 지닌 배경 부분이 우리의 관심사가 되는 대상계와 에너지 교환을 가능하게 한다고 생각할 필요가 있다(이러한 주변계의 구체적 사례로 여타의 물질계와 열적 평형을 이루어온 우주배경복사cosmic background radiation 체계를 상정할 수 있다). 이렇게 할 경우, 우리의 관심사는 이러한 주변 배경을 제외한 나머지 전체 우주의 상태이며, 특히 이것이 지닌 정연성 O가 어떻게 출현하느냐 하는 점이다. 원론적으로 이야기하자면 이를 위해 정연성 O를 에너지 E의 함수로 설정하여 자유에너지 F를 에너지 E와 온도 T의 함수로 나타내야 하는데, 이것은 실제로 신뢰할 만한 우주론의 모형 안에서 ‘양자마당 이론’으로 대표되는 동역학 이론이 해낼 수 있는 일이다.” [장회익(2013). p.136]

여기에서 언급된, 현대 우주론 모형에서 자유에너지를 다루는 양자마당이론의 한 형태를 소개하는 것이 이 글의 목적입니다.

우주론의 상전이와 관련된 현대물리학 이론은 유한온도 마당이론(finite-temperature field theory)입니다. 이것은 양자통계역학(quantum statistical mechanics)과 상대론적 양자마당이론(relativistic quantum field theory)을 통합한 성격의 이론입니다. 이에 대해 간단히 설명을 덧붙이는 것이 오해를 막을 수 있는 길이 아닌가 생각합니다.

6장에서 다루어진 열통계역학은 소위 고전통계역학으로서 기본적으로 바탕에 깔고 있는 동역학은 고전역학 특히 해밀턴 역학입니다. 해밀턴 역학은 뉴턴 역학을 매우 일반적인 수준으로 다듬은 것입니다. 여기에서 미시상태는 구성입자의 위치와 운동량으로 주어집니다. 구성입자가 $N$개 있다면 3차원 공간에서 $6N$개의 변수가 하나의 미시상태를 규정합니다. 즉 $$(x_1, y_1, z_1, p_{x1}, p_{y1}, p_{z1}, \cdots, x_N, y_N, z_N, p_{xN}, p_{yN}, p_{zN})$$으로 주어지는 한 점이 미시상태 하나가 됩니다. 이것을 뭉뚱그린 것이 거시상태를 가리키기 때문에, 거시상태는 이 점들에 대한 함수가 됩니다. 미시상태를 모두 모아 놓은 추상적인 수학적 공간을 ‘위상공간(phase space)’이라 부릅니다. 

고전통계역학에서 가장 표준적이고 잘 정립된 접근은  정준분포(바른틀 분포) 형식이론이라 부르는 것입니다. 세 종류의 분포함수가 있습니다. ‘계(system)’라는 개념은 우리가 관심을 가지고 풀어내려는 대상 전체의 테두리입니다. ‘계’의 규정은 아무나 맘대로 해도 되지만, 여하간 세 종류만 가능합니다. 고립계, 닫힌계, 열린계가 그것입니다. 고립계의 경우에는 에너지 출입도 없고 구성입자의 출입도 없습니다. 이 때 미시상태들의 확률분포를 ‘미시정준분포(microcanonical distribution)’라 부릅니다. 이를 미시 앙상블이라 부르기도 합니다.

닫힌 계는 에너지 출입은 가능하지만 구성입자의 출입은 허용되지 않는 경우입니다. 이를 ‘정준분포(canonical distribution)’ 또는 ‘정준 앙상블(canonical ensemble)’이라 부릅니다. 

정분분포에서 특정 에너지값 $\varepsilon_i$에 해당하는 확률은 $$\mathcal{P}(\varepsilon_i)\propto e^{-\varepsilon_i / k_B T}$$임을 유도할 수 있습니다. 이를 볼츠만 인수라 부릅니다. 더 상세한 것은 [장회익의 자연철학 강의] 5장에 서술되어 있습니다.

비례계수를 도입하여 $$\mathcal{P}(\varepsilon_i )=\frac{1}{Z} \sum_i e^{-\varepsilon_i / k_B T}$$라 하면, 확률을 모두 더할 때 1이 되어야 하므로 $$\sum_i \mathcal{P}(\varepsilon_i) =\sum_i \frac{1}{Z} e^{-\varepsilon_i / k_B T}= \frac{1}{Z} \sum_i e^{-\varepsilon_i / k_B T}=1$$이 됩니다. 따라서 비례계수로 도입한 $Z$는 $$Z=\sum_i e^{-\varepsilon_i / k_B T}$$가 됩니다. 이를 분배함수(partition function)라 부릅니다. 아주 편리하게도 이 함수만 구하고 나면, 다른 열역학 함수를 모두 구할 수 있습니다. 특히 분배함수를 알면, 헬름홀츠 자유에너지는 $$F (T, V) = - k_B T \log Z (T, V, N)$$이 됩니다. 

미시정준분포에서 $$S (U, V) = k_B \log W (U, V, N)$$이 가장 중심적인 공식인 것과 비교할 수 있습니다.

그런데 우주론에 응용하기 위해서는 이 두 가지 접근은 적절하지 않습니다. 구성입자들이 생겨나기도 하고 사라지기도 하고 그 수가  변하기 때문입니다. 즉 우주론과 연관된 상황에서는 고립계나 닫힌 계로는 안 되고 열린 계를 다루어야 합니다. 이 때 등장하는 것이 대정준분포(grand canonical distrubition)와 대분배함수(grand partition function)입니다. $$Q = \sum e^{-(\varepsilon_i - \mu N)/k_B T}$$입니다. 여기에서 $\mu$는 화학퍼텐셜이라 부르며, 입자 수의 변화를 표시하는 함수입니다. 

여하간에 대분배함수 $Q$를 구하고 나면, 열역학적 물리량을 모두 구할 수 있습니다. 즉 \begin{align} \Omega &= - k_B T \log Q \\ P&= - \frac{\partial  \Omega}{\partial V} \\ S &= - \frac{\partial \Omega}{\partial T} \\ N_j &= - \frac{\partial \Omega}{\partial \mu_j} \\ U&= -PV + TS + \mu_j N_j \end{align}와 같습니다.

우주론에 응용하기 위해서는 그 기본동역학이 고전역학이 아니라 양자역학이 되어야 합니다. 양자역학에서 미시 상태는 위치와 운동량이 아니라 상태함수로 규정됩니다. 그리고 거의 대부분의 경우에는 그 상태함수와 에너지 값이 대응합니다. (일대일 대응은 아니지만, 여하간 수학적으로 다루기 쉽습니다.) 그래서 양자통계역학의 미시 상태는 그냥 에너지 고유상태라 봐도 크게 틀리지 않습니다.

위에서 늘어놓은 식들도 대부분 다 그대로 맞습니다. 분배함수 $$Z=\sum_i e^{-\varepsilon_i / k_B T}$$의 정의에서 $\varepsilon_i$는 이제 고전적인 에너지가 아니라 고유상태에 대응하는 고유에너지입니다. 의미를 조금 바꾸면 위의 식들이 그대로 맞습니다. 특히 분배함수를 $$Z=\mathrm{Tr} e^{-\hat{H} / k_B T}$$이라 쓸 수 있습니다. 만일 $\beta = 1/ k_B T$라 하면 $$Z =\mathrm{Tr} e^{-\beta \hat{H}}$$가 됩니다. 관건은 대분배함수를 구하는 일입니다. 조금 더 설명이 필요하지만 대분배함수는 $$Q = \mathrm{Tr} e^{-\beta (H -\mu N)}$$로 주어집니다.

여기까지는 양자통계역학입니다. 다음으로 도입해야 하는 것은 [장회익의 자연철학 강의] 3장에서 상세하게 다룬 상대성이론입니다. 더 정확하게 말하면 3장의 상대성이론과 4장의 양자역학을 합해야 합니다. 이것이 양자마당이론입니다. 이 복잡하고 정교한 이론을 몇 마디로 요약하는 것은 불가능한 일이겠지만, 한마디로 말하려 한다면, $$ \langle \phi_\alpha | e^{-it H} | \phi_\alpha\rangle$$를 구하는 것이라 할 수 있습니다. 그리고 이를 구하기 위한 온갖 현묘한 수학적 기법이 지난 80년간 다양하게 만들어져 있습니다. 

그런데 위의 분배함수 공식을 보면 $$Z =\mathrm{Tr} e^{-\beta \hat{H}}$$ 또는 $$Q = \mathrm{Tr} e^{-\beta (\hat{H} -\mu \hat{N})}$$가 되는데, 이를 양자마당이론과 비교해 볼 수 있습니다. 

수식만을 가지고 비교하면 $e^{-i t H}$와 $e^{-\beta H}$가 같은 곳에 있습니다. 아주 과감하게 $$t \leftrightarrow -i\beta$$이라고 해 버리면, 두 수식이 거의 같은 것이 됩니다. 이렇게 시간 $t$와 온도의 역수 $\beta$를 복소수단위를 붙여서 같다고 놓으면, 양자마당이론에서 사용할 수 있는 수학적 기법을 대부분 활용할 수 있게 됩니다. 물론 그렇게 간단하지는 않고 정교한 중간단계들이 많이 들어오긴 하지만, 여하간 그렇게 함으로써 상대론적 양자통계역학이 가능해집니다. 그 중 한 가지 이론이 바로 ‘유한 온도 마당이론(Finite-Temperature Field Theory, FTFT)'입니다. 

이렇게 온도와 온도의 역수($\beta = 1/k_B T$)를 같다고 놓는 것(복소수 단위를 곱하긴 하지만)의 물리학적/자연철학적 의미는 더 곱씹어 보아야겠지만, 여하간 $$t = -i\beta$$ 또는 $$i t =\beta$$라 놓고 상대론적 상황에서 양자통계역학을 적용할 수 있게 됩니다. 여기에서 '상대론적'이라는 것은 단지 속도가 크다는 뜻이 아니라 물질이 생겨나기도 하고 사라지기도 하는 것을 가리킵니다.

이렇게 온도를 허수시간과 같은 것으로 놓는 기법은 일견 [장회익의 자연철학 강의] 3강에서 다루어진 내용과 유사하기 때문에 혼동이 될 수도 있고 오히려 그 상황을 고려하여 더 흥미로운 상상을 펼칠 수도 있습니다.

이제 이렇게 확립되어 있는 유한온도 마당이론을 우주론에 적용하게 되면, 우주에서 온도가 변화함에 따라 상전이(교차)나 기타의 상황이 어떻게 일어나는지 상세하게 해명할 이론적 도구가 갖추어진 셈이 됩니다. 그리고 이 맥락에서 우주론에서 자유에너지를 말하는 것이 나름대로 적절하고 합리적인 가정 위에서 정교하게 만들어진 이론 안에서 가능해집니다. 

정준분포에서는 헬름홀츠 자유에너지가 $$F = - k_B T \log Z$$로 주어지는데, 이를 다르게 쓰면 $$e^{-\beta F} = \sum e^{-\beta H}$$와 같습니다. 대정준분포에서 자유에너지와 같은 역할을 하는 것을 대퍼텐셜(grand potential)이라 부릅니다. 이를 $\Omega$로 나타내면 $$\Omega = - k_B T \log Q$$ 또는 $$e^{-\beta \Omega} = \sum e^{-\beta (H-\mu N)}$$이 됩니다. 

대퍼텐셜은 기브즈 자유에너지 $G (T, P, N)$을 알고 있을 때 $$\Omega (T, V, \mu) = G - PV - \mu N$$의 관계로 정의되기도 합니다. 미분으로 나타내면 $$\mathrm{d} G = - S \mathrm{d}T - P \mathrm{d} V - N \mathrm{d}\mu$$가 되고, 이로부터 $$ S = - \left(\frac{\partial \Omega}{\partial T}\right)_{V, \mu} , \quad P = - \left(\frac{\partial \Omega}{\partial V}\right)_{T, \mu} , \quad N=-\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\right)_{V, T} $$를 얻습니다.

요컨대, 우주론에 적용할 수 있는 열통계역학은 그 수학적 형식론에서 매우 복잡하고 섬세하고 정교하긴 하지만, 기본적인 것만 본다면 분배함수와 자유에너지를 통한 서술로서 큰 문제가 없습니다. 

대상계를 설정할 때에는 단지 원하는 것을 대개 임의적으로 대상계로 선택할 수 있습니다. 그것이 무엇이든 대상 중 일부를 이 물리학적 서술에서 ‘대상계(system)’로 삼겠다고 선택하는 것입니다. 그러면 나머지는 그냥 환경 내지 주변이 됩니다. 우주를 대상으로 한 열역학도 마찬가지입니다. 원하는 부분만을 대상계로 선택하는 것이 개념적으로 이상한 것은 아닙니다.

제가 의문을 제기한 것은 [장회익의 자연철학 강의] 6장의 그림 6에 있는 멕시코 모자와 같은 깔끔하고 명료한 자유에너지를 구하는 것이 쉽지 않고 물과 수증기의 상전이와는 근본적으로 다르며 무엇보다도 이와 관련된 논의가 순전히 사변적인 이론 수준에 머물러 있기 때문에 굳이 이러한 논의를 통해 자연철학을 구성해 갈 필요가 있겠는가 하는 질문이었습니다.

또 현대우주론의 표준적인 접근(모형)에서는 우주 전체의 자유에너지를 다루지 않고, 단지 전기약작용 교차(크로스오버)나 QCD 교차와 같은 문제를 순전히 이론적인 수준에서 다루는 데 그치고 있습니다. 급팽창 우주론에서 멕시코 모자와 같은 것이 나오기도 하지만, 이것은 인플라톤이라 부르는 가상의 양자마당의 퍼텐셜 에너지 밀도입니다. 자유에너지와는 무관합니다. 빅뱅 우주론 시나리오에서 나타나는 몇 가지 근본적인 난점을 해결하기 위해 다소 이상한 방식으로 도입된 급팽창 시나리오는 이론적으로는 어느 정도 정립되어 가고 있지만, 냉정하고 분명하게 말하자면, 아직은 사변의 영역에 머물러 있습니다. 그래서 우주론과 연결되는 장회익 선생님의 자연철학에서 자유에너지 개념을 강조하는 것에 의문을 제기한 것이었습니다.

그러나 그런 문제제기가 "온도가 허상"이라거나 "온도를 기준으로 우주의 진화를 설명하는 것이 부적절"하다거나 하는 생각으로 이어진다면, 이는 큰 오해입니다. 우주 전체는 아니더라도 전기약력의 교차나 QCD 교차는 분명히 유한온도 마당이론으로 서술됩니다. 이것도 실험적 확인과는 거리가 멀지만, 여하간 지금 입자물리학에서 널리 공인된 접근입니다. 그렇다면 물리학의 엄격한 기준을 넘어서서 우주 전체를 사유하는 맥락에서 이러한 세부적인 이론과 논의를 과감하게 확장하여 이야기를 펼치는 것은 자연철학으로서 충분히 해 볼 수 있는 작업입니다.

세부적으로 들어가면 저는 우주론과 관련된 논의를 자유에너지로 풀어가는 것에 이견을 가지고 있지만, 장회익 선생님의 접근이 틀렸다거나 잘못되었다는 주장을 하는 것이 전혀 아닙니다.