지난 세미나에서 우주론에서 이야기되는 상전이(phase transition)와 관련하여, 세부상으로 좀 미묘한 점이 있다는 말씀을 드렸습니다.

일반적으로 물-수증기 변화와 같은 상전이는 일차 상전이라 불리며 열역학적인 양이 특정 온도에서 불연속적으로 변화합니다. 자석을 가열하면 섭씨 1000도에 가까운 온도에서 자성이 사라지는 것은 이차 상전이라 부르며, 이 경우는 특정 온도에서의 변화가 연속적입니다. 세 번째로 ‘교차 cross-over’라 부르는 것이 있는데, 이 경우에는 열역학적 함수가 매끄럽습니다. 상전이와 성격이 좀 다릅니다.

(출처: Ricard V. Solé (2011) Phase Transitions. Princeton University Press. p. 7)

지구상에서 볼 수 있는 여러 상전이는 모두 온도를 기준으로 합니다. 또 조금 복잡한 면이 있긴 해도 여하간 자유에너지의 불연속점이나 뾰족점으로 이 상전이를 말할 수 있습니다. 불연속점(일차 상전이)도 뾰족점(이차 상전이)도 없는 교차(크로스오버)도 있습니다. 대개 질서 맺음변수(order parameter)는 임계온도의 전과 후에서 한쪽은 0이고 다른 쪽은 0이 아닙니다. 하지만 이것도 조금 복잡해서 질서 맺음변수의 값이 달라지긴 해도 0인가 아닌가 여부로 양자택일할 수 없는 경우도 있습니다.

그렇다면 우주론에서 말하는 상전이는 어떨까요? 먼저 온도라는 개념이 어떻게 들어오는지 확인할 필요가 있습니다. 빛으로 가득 차 있는 세계에서는 이것을 일종의 빛알 기체라 볼 수 있고, 슈테판-볼츠만 법칙에 따라 에너지가 온도의 네제곱에 비례합니다. 즉 $$\rho\propto T^4$$입니다. 또 우주론에서 프리드만 방정식을 풀면 에너지 밀도가 빛 우세 시대에는 $$\rho \propto a^{-4}$$과 같이 크기인수의 네제곱에 반비례합니다. 이 두 관계를 묶으면 $$ T \propto \frac{1}{a}$$라 할 수 있습니다. 현재의 온도를 $T_0$라 쓰면 $$T(t)=\frac{T_0}{a(t)}$$라 쓸 수 있습니다.

우주의 크기인수가 빛우세시대에는 $$a \propto t^{1/2}$$이고 물질우세시대에는 $$a\propto t^{2/3}$$이므로, 이를 모으면 $$\frac{T}{1.3\times 10^{10} \mathrm{K}}\sim \left( \frac{1 \mathrm{sec}}{t}\right)^{1/2}$$ 또는 $$\frac{T}{2.725 \mathrm{K}}\sim \left( \frac{4\times 10^{17} \mathrm{sec}}{t}\right)^{2/3}$$가 됩니다.

(출처: Dodelson & Schmidt (2020). Modern Cosmology)

(출처: Perlov & Vilenkin (2017))

여하간 이렇게 온도와 시간이 연결된다는 것은 알 수 있습니다.

그렇다면 상전이와 관련된 온도는 어떻게 알 수 있을까요? 흔히 볼 수 있는 아래와 같은 표에서 오른쪽 컬럼에 있는 온도와 '입자 에너지'는 어떻게 계산한 것일까요?

먼저 온도와 입자에너지 사이의 관계는 의외로 쉽습니다. 이전에 실험실 실온이 대략 1/40 전자볼트라는 말을 한 적이 있습니다. 에너지의 표준적인 단위, 즉 SI 단위계의 단위는 '줄(joule, J)'이지만, 우주론이나 고에너지 실험에서는 줄 단위가 좀 불편합니다. 오히려 전압으로 나타내는 것이 더 편리합니다. 전압 자체는 에너지와 단위가 같지 않습니다. 전압의 단위는 볼트(volt, V)입니다. 전압은 단위전하당 전기에너지입니다. 그래서 여기에서 전자의 전하량을 곱해 주어 '전자볼트(electron volt, eV)'라는 단위를 만듭니다. 전자볼트는 에너지의 단위입니다.

단위를 환산하면 전자의 전하량이 1.602176634×10⁻¹⁹ J (coulomb)이므로 1 eV = 1.602176634×10⁻¹⁹ J이 됩니다. 

그러면 온도는 어떨까요? 에너지의 단위를 온도로 환산하려면 볼츠만 상수를 곱해 주면 됩니다. 따라서

와 같은 식이 성립합니다. 관례적으로 온도 단위를 쓸 떄 볼츠만 상수를 굳이 노출시키지 않는 경우도 많습니다. 여하간 1 전자볼트는 11604.51812 켈빈입니다. 이를 역산하면 1 K(켈빈)은 $1/11604 \sim 10^{-4}$ eV가 됩니다. 차수만 생각하면 $$1 \mathrm{eV} \sim 10^4 \mathrm{K}$$이라 할 수 있습니다. 이번에는 에너지가 100 GeV (기가 전자볼트)일 때를 계산합니다. '기가'는 $10^9$이므로 100 GeV는 $10^{11}$ eV입니다.  따라서 $$100 \mathrm{GeV}\sim 10^{15} \mathrm{K}$$이고 마찬가지로 $$10^{14} \mathrm{GeV} \sim 10^{27}\mathrm{K}$$이며 $$10^{19} \mathrm{GeV} \sim 10^{32}\mathrm{K}$$이 됩니다.

즉 위의 그림에서 오른쪽 컬럼 둘은 단지 단위만 다를 뿐 같은 값을 가리킵니다.

다음으로 해결할 문제는 에너지 단위로 100 GeV나 $10^{14}$ GeV가 어떻게 나왔는가 하는 것입니다. 이것은 실상 상전이나 우주론과 아무런 직접적 관계가 없습니다. 단지 전기약력(electroweak force)을 합쳐져 있던 것이 전자기력과 약한핵력으로 갈라져 나오게 되는 에너지를 계산한 것입니다.

이를 전기약력 스케일(electroweak scale) 또는 페르미 스케일이라 부릅니다. 이것은 약한 핵력이 생겨나는 전형적인 에너지 크기로서 $F_{weak} \simeq 246 \mathrm{GeV}$입니다. 우주론에서는 246이든 100이든 같은 차수라서 그냥 100 GeV라 적은 것입니다. 컴퓨터 시뮬레이션을 이용하여 풀어낸 값이 2016년에 나왔는데, 여기에는 $F_{weak} \simeq 159.5\pm1.5 \mathrm{GeV}$로 나와 있습니다.

D'Onofrio, Michela and Rummukainen, Kari (2016). "Standard model cross-over on the lattice". Phys. Rev. D93 (2): 025003. 10.1007/978-94-011-5046-0_6

이 전기약력 스케일은 대략 이 값보다 높은 에너지에서는 전자기력과 약력이 합해져서 전기약력이 되는 반면, 이 값보다 낮은 에너지에서는 두 힘이 분리되는 에너지 값을 가리킵니다.

이렇게 대칭성이 깨지거나 깨지지 않는 두 상황을 '상전이'라고 부르려면, 뭔가 질서 맺음변수의 급격한 변화가 있어야 합니다. 연속적이지만 매끄럽지 않은 상전이를 이차 상전이라 하고, 불연속적인 상전이를 일차 상전이라 합니다. 최근에 밝혀진 바에 따르면, 전기약력에 관련한 변화는 이 두 경우 모두 해당하지 않기 때문에, 이를 상전이라 부르는 대신 교차(crossover)라 부릅니다.

(출처: Michela D’Onofrio, Kari Rummukainen, Anders Tranberg (2016). Physical parameters of the electroweak crossover. Nuclear and Particle Physics Proceedings 273-275:2363-2365
DOI: https://www.doi.org/10.1016/j.nuclphysbps.2015.09.392 )

또 다른 교차로서 QCD 교차는 대략 200 MeV 쯤인데, 다음 그림과 같은 상전이 도표로 표현됩니다.

(출처: Gert Aarts (2015) “Introductory lectures on lattice QCD at nonzero baryon number “ arXiv: 1512.05145)

이 에너지보다 더 높을 때에는 쿼크와 글루온이 플라즈마 상태로 뒤섞여 있다가 그 에너지보다 낮아지면 쿼크가 강한핵력의 특수성 때문에 속박상태가 되어 버립니다. 이 그림을 더 설명해 보겠습니다. 세로축은 온도이고 가로축은 중입자(바리온 baryon) 밀도입니다. 여기에서 ‘밀도’라 부른 것은 대략 단위부피당 몇 개가 있는가 하는 것입니다. 온도가 아주 높고 중입자의 밀도가 높은 경우는 이 그림에서 오른쪽 위입니다. 이 때 물질을 이루는 쿼크와 강한 핵력을 매개하는 글루온이 뒤죽박죽 섞여 있습니다. 이를 ‘플라즈마 상태’라 부릅니다. 

중입자가 거의 없을 때 즉 가로축 방향에서 중입자 밀도(net baryon density)가 0에 가까울 때에는 그림의 왼쪽 부분이 됩니다. 위로부터 내려온다고 생각해 보죠. 즉 온도가 아주 뜨겁다가 점차 식어서 대략 150 MeV보다 작아진다면, 쿼크와 글루온이 만나서 ‘강입자(하드론 hadron)’가 될 수 있습니다. 이와 같이 쿼크-글루온 플라즈마가 강입자로 되는 것을 QCD 교차라 부릅니다. 그런데 이것이 그리 간단하지는 않습니다. 지금의 물리학이론으로 보면 이미 바리온(중입자)들이 생겨 있는 경우에는 노란색 곡선 부분처럼 쿼크-글루온 플라즈마가 강입자로 되는 것이 일차 상전이로 나타납니다. 이는 가상실험(시뮬레이션)으로 대략 확인된 것이기도 합니다. 

이 때 상전이 또는 교차와 관련된 그림이 아래의 것입니다.

(출처: Claudia Ratti, Rene Bellwied (2021). The Deconfinement Transition of QCD: Theory Meets Experiment. Springer. p. 40)

위 그림의 왼편에는 온도의 함수로 $\Delta_{l,s}$라 부르는 양을 그렸습니다. 실제로 실험을 한 건 아니고 “격자 양자색역학”이라 부르는 이론을 써서 컴퓨터로 가상실험(시뮬레이션)을 한 것입니다. 엄청나게 빠른 슈퍼컴퓨터가 없었다면 이런 접근 자체가 어려웠을 겁니다.

온도가 200-220 MeV 근처에서 $\Delta_{l,s}$라는 양이 0이 됩니다. 이것이 질서 맺음변수입니다.

위 그림의 오른편에는 콜럼비아 그림이라는 것이 있습니다. 쿼크가 여섯 종류(더 정확하게 ‘맛 flavor’)가 있습니다. 이를 up, down, strange, charm, bottom, top이라 부릅니다. 그 중 가벼운 앞의 세 종류 쿼크만 있다고 생각합니다. up 쿼크와 down 쿼크는 질량($m_{u,d}$)이 거의 같고 strange 쿼크의 질량($m_s$)이 그보다 많이 큽니다. 그 두 질량을 맺음변수로 선택하면, 초록색으로 칠한 부분과 회색으로 칠한 부분이 나뉩니다. 각각 일차 상전이와 교차에 해당합니다. 그 경계선인 붉은색 선은 이차 상전이를 나타냅니다.

다음으로 GUT 교차는 네 가지 힘 중 중력을 제외한 나머지 세 힘, 즉 전자기력, 약한 핵력, 강한 핵력이 모두 통일되어 있다가 그 중 강한 핵력이 빠져나와서 전기약력과 분리되는 것을 가리킵니다. 여기에서 QCD는 Quantum Chromodynamics (양자색역학)의 약자입니다. 강한 핵력과 관련된 '색 전하color' 세 가지에 대한 이론이고, 현재는 강한 핵력을 서술하는 이론으로 인정되고 있습니다.

이 때의 에너지를 GUT 스케일이라 부르는데 대략 $10^{14}$ GeV 정도입니다. 아래 그림을 상세하게 설명하기 힘들지만, 대략 파란색 선과 초록색 선이 만나는 곳에서 수평축의 값을 읽은 것에 해당합니다.

(출처: Croon D, Gonzalo TE, Graf L, Košnik N and White G (2019) GUT Physics in the Era of the LHC. Front. Phys. 7:76. doi: https://doi.org/10.3389/fphy.2019.00076 )

이 그림은 조금 더 확장하여 초대칭성을 포함하게 한 것이 아래 그림입니다.

(출처: https://universe-review.ca/R15-12-QFT17.htm )

이 그래프에는 조금 더 설명이 있어서 가져왔습니다.

여하간 $10^{14}$ GeV를 온도로 환산하면 앞에서 말한 것처럼 $10^{27}$ K이 됩니다. 이 때에도 변화가 '상전이'와는 좀 다르기 때문에 그냥 GUT 교차라 부릅니다. 

우주의 역사를 여러 가지로 쉽게 설명하긴 하지만, 자연철학의 관점에서 볼 때 관측데이터로 확인된 것과 아직은 사변적인 이론에 머물러 있는 것을 구별할 필요가 있다고 생각합니다. 아래 그림이 그런 구별을 명시적으로 하고 있는 예입니다.

(출처: Cosimo Bambi, Alexandre D. Dolgov (2016) Introduction to Particle Cosmology: The Standard Model of Cosmology and its Open Problems. Springer. p. 6.)

이 표를 보면 소위 빅뱅 핵합성(BBN, Big Bang Nucleosynthesis) 이후는 관측 데이터가 있지만, 그 이전의 내용들을 모두 관측상의 증거가 없고 단지 알려져 있는 현재의 물리학이론에 기반을 둔 예측임을 명시하고 있습니다. 특히 급팽창 시나리오뿐 아니라 전기약력 교차와 QCD 교차도 그렇다는 점에 유념할 필요가 있습니다.