자연철학 세미나의 아주 소중한 자료는 다름 아니라 대담과 그 녹취록입니다. COVID-19 상황에서 경희대 강의 <철학자를 위한 물리학>과 연관하여 다소 불가피하게 선택된 것이 대담이었던 것으로 알고 있습니다. 그런데 그 대담은 정말 소중한 자료가 되었습니다. 장회익 선생님의 설명과 논평을 직접 대화 속에서 들을 수 있다는 것은 무척 귀한 일입니다. 대담을 진행하신 최우석 박사님과 황승미 박사님의 질문도 매우 의미심장합니다.

"[대담] 장회익의 자연철학이야기 7-1. 우주와 물질 : 역사지평"

이 대담과 그 녹취록을 여러 번 듣고 또 여러 번 읽었는데, 다시 볼수록 훌륭합니다. 다만 몇몇 구절은 정확하지 않은 것도 있고 설명을 단순화하는 경우도 있긴 하지만, 전체 틀을 잡는 데 도움이 많이 되리라 생각합니다.

그 중에서 아래의 질문에 제가 조금 더 보충설명을 할 수 있을 것 같습니다.

"그런데 람다항을 곱셈이 아니라 덧셈을 했는데 어떻게 우주가 팽창하는 것으로 바뀌는지 조금 이해가 안 됩니다."

이 질문은 매우 중요하고 동시에 또 대답하기가 그리 쉽지 않은 질문입니다. 교과서에서는 쉽게 "아인슈타인의 우주공간이 시간에 따라 변화한다는 것을 받아들일 수 없어서 우주상수를 도입했다."라고 서술하지만, 이 과정의 논변과 근거 만들기가 그리 녹록한 것은 아닙니다. 아인슈타인 자신이 논문에서 펼친 논변을 따라가기도 쉽지 않은 점이 있지만, 그 뒤로 오랜 시간이 지나면서 이와 관련된 논의도 그만큼 더 심화되었기 때문입니다. 또 알버트 아인슈타인이라는 한 사람이 어떤 동기로 또 어떤 믿음으로 우주 상수를 도입했는가 하는 문제는 꽤 어려운 과학사의 연구과제입니다.

다만 우리가 여기에서 해 볼 수 있는 것은  "그런데 람다항을 곱셈이 아니라 덧셈을 했는데 어떻게 우주가 팽창하는 것으로 바뀌는지 조금 이해가 안 됩니다."라는 질문을 적절하게 수정하는 것입니다. 우주항을 덧붙였더니 우주가 팽창하는 것으로 바뀐 것은 아닙니다. 오히려 반대입니다. 그냥 곧이곧대로 아인슈타인 방정식을 풀면 우주가 팽창하는 바람에 얼른 '람다항'을 추가하여 팽창하지 않도록 막은 겁니다.

우주 상수가 없는 원래의 중력장방정식 $$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$을 곧이곧대로 풀면 우주가 팽창하거나 수축한다는 풀이를 얻을 수 있습니다.

(출처: https://skyserver.sdss.org )

이것이 1922년과 1924년에 러시아의 물리학자/수학자 알렉상드르 프리드만의 풀이입니다. 아인슈타인이 뛰어난 것은 이 풀이를 상세하게 구하기도 전에 우주공간의 수축이나 팽창이 가능할 수 있음을 1917년에 알았다는 점입니다. 그래서 서둘러 중력장 방정식에 우주 상수를 덧붙인 것입니다.

그렇다면, 더 적절한 질문은 "중력장 방정식에 우주 상수(람다 항)을 더하니까 팽창하거나 수축하는 동적 우주가 시간에 따라 변하지 않는 정적 우주가 되었다는 말이 무슨 뜻인가?"가 될 것입니다.

현대우주론이 정립된 초기 과정은 대략 다음과 같이 요약됩니다.

(a) 중력의 상대론적인 이론에서 등가[동등성]원리가 갖는 의미를 이해한 것 (1907)
(b) 중력장은 4차원 리만기하학의 거리함수 텐서로 표현된다는 인식 (1912)
(c) 중력장의 샘과 거리함수 텐서를 연관짓는 중력장 방정식의 최종형태를 유도한 것 (1915)
(d) 중력장 방정식을 우주론의 문제에 적용할 수 있다는 제안 (1917)

그런데 1917년 논문에는 1916년 논문에 없던 새로운 항을 더했습니다.

(출처: Einstein, A. (1917). "Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie". Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften. Berlin. Bd. 1: 142–152. 위의 캡처는 151쪽.)

아인슈타인은 $-\lambda g_{\mu\nu}$항을 기존의 중력장 방정식을 덧붙여 새로운 방정식을 제안하면서 이것이 프와송 방정식과 비슷하다고 언급합니다.

뉴턴 중력 이론를 중력장으로 쓰면 $$\nabla^2 \Phi =4\pi G \rho$$라 쓸 수 있습니다. 중력이 거리의 제곱에 반비례한다면 $$F=\frac{GMm}{r^2}$$이 되는데, 이 힘을 $$\Phi (r) = -\frac{GM}{r} , \quad \vec{F}=-\nabla \Phi$$와 같이 중력 퍼텐셜으로 나타낼 수 있습니다. 중력을 만들어내는 질량 $M$을 $$M=\int \rho (\vec{r'}) \mathrm{d}^3 r'$$과 같이 질량 분포 $\rho(\vec{r'})$로 나타내면, 뉴턴의 보편중력 법칙은 곧 $$\nabla^2 \Phi =4\pi G \rho$$와 같은 프와송 방정식과 같음을 증명할 수 있습니다.

아인슈타인은 이 논문의 앞부분에서 이렇게 방정식의 모양을 바꿀 때 경계조건의 문제가 심각하게 대두한다는 것에서 이야기를 풀어가기 시작합니다. 이것은 우주가 무한히 먼 곳에서 어떤 경계조건을 충족시키는가 하는 것과 연관됩니다. 조금 다른 문제이긴 하지만, 이것은 우주에 적용한 뉴턴 중력 이론의 근원적인 문제점으로 이어집니다. 여하간 뉴턴의 중력 이론의 핵심은 보편중력, 즉 만유인력, 다시 말해 모든 물체가 거리의 제곱에 반비례하는 원격작용으로 서로 끌어당기고 있다는 주장입니다. 흔히 말하는 '만유인력 법칙'을 처음 들었을 때, 세상의 모든 것이 서로 끌어당긴다면, 아주 오랜 시간이 지난 뒤에는 모두가 철썩철썩 다 붙어 버려서 세상이 한 점으로 오그라들지 않을까 무서운 느낌을 받은 적이 있다면, 이는 소위 '만유인력 법칙'을 제대로 이해한 것입니다. 중력이란 것이 다름 아니라 서로 끌어당기는 힘이라고 말하는 것은 무책임한 주장입니다. 우주 전체에 이 이야기를 적용한다면, 이 세상이 존재하는 것 자체가 불가능하기 때문입니다. 모두가 언젠가는 서로서로 끌어당겨 한덩어리로 오그라들고 그마저도 중력 붕괴 같은 것으로 더 오그라들어 버릴 터이기 때문입니다.

아인슈타인은 이 문제를 해결하기 위해 프와송 방정식을 수정해 보자고 제안합니다. 만일 프아송 방정식의 왼편을 수정하여 $$\left(\nabla^2 -\lambda \right) \Phi =4\pi G \rho$$라 하면, 어떤 일정한 상수 밀도 $\rho_0$에 대하여 $$\Phi =- \frac{4 \pi G}{\lambda} \rho_0$$가 이 방정식의 풀이가 됩니다. 왜냐하면 $\nabla^2$는 미분을 나타내는데, 상수를 미분하면 0이 되기 때문입니다. 이와 같이 일정한 상수 $\lambda$를 더하는 것이 우주 전체의 모습과 거동에서 큰 차이를 가져옵니다.

기본 방정식(상태변화의 원리)에 항 하나를 더하거나 빼는 것이 이렇게 근본적인 차이를 보인다는 것이 신기한 일이기도 합니다.

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우주상수를 더하는 것이 우주의 수축이나 팽창을 막을 수 있음을 보기 위해 [장회익의 자연철학 강의] 311쪽에 (6-8)식과 (6-9)식으로 정리된 우주론의 기본방정식을 들여다 볼 수 있습니다. \begin{align} \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{kc^2}{a^2}-\frac{c^2 \Lambda}{3} &= \frac{8\pi G}{3}\rho \\  \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{kc^2}{a^2}- c^2 \Lambda &= -\frac{8\pi G}{c^2}p \end{align}

여기에서 $\dot{a}$, $\ddot{a}$는 시간으로 미분한 도함수를 가리킵니다. 즉 $$\dot{a}\equiv\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t} , \quad \ddot{a}\equiv\frac{\mathrm{d}^2a}{\mathrm{d}t^2}$$

아인슈타인 우주라 부르는 것은 빛(상대론적 물질)은 고려하지 않고 물질이 먼지(비상대론적 물질)로만 되어 있는 완전유체라 가정하는 것입니다. 이 때 $p=0$입니다. 먼지만 있다면 압력이 없습니다. 우주가 수축이나 팽창을 하지 않는다는 것을 다르게 말하면 크기 인수(척도 인수) $a(t)$를 시간으로 미분한 양이 모두 0이라는 말과 같습니다. 즉 $$\dot{a}=\ddot{a}=0$$입니다. 이 조건을 위의 기본방정식에 넣으면 \begin{align} \frac{kc^2}{a^2}-\frac{c^2 \Lambda}{3} &= \frac{8\pi G}{3}\rho \\  \frac{kc^2}{a^2}- c^2 \Lambda &= 0\end{align}이 됩니다. 이 두 식을 풀면 $$a=\sqrt{\frac{1}{\Lambda}} , \quad \rho=\frac{c^2 \Lambda}{4\pi G}$$입니다. 이것은 물질의 밀도가 일정하고 또한 우주의 크기 인수(척도 인수)가 변하지 않는다는 것을 의미합니다.

아인슈타인 중력장 방정식에 우주항을 더하지 않았다면 이런 식을 얻지 못했을 것입니다.

또 제곱근이 의미를 가지려면 우주의 외재적 곡률 $k$는 $k=+1$과 같이 양수이어야 합니다. 따라서 닫힌 3차원 구면과 같습니다.

우주항의 의미를 더 살펴보기 위해 [장회익의 자연철학 강의] 309쪽의 (6-7)식과 308쪽 (6-6)식을 비교해 볼 수 있습니다. (6-6)식을 $$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} - \Lambda g_{\mu\nu}$$와 같은 꼴로 쓴 뒤에, 완전유체의 에너지-변형력 텐서 $T_{\mu\nu}$와 비교해 보면, 우주항이 음의 압력과 비슷한 역할을 함을 볼 수 있습니다.  진공의 경우 압력과 밀도의 관계가 $$p=-\rho c^2$$가 되기 때문에 이것이 더 분명합니다. 이 조건을 312쪽에 있는 식을 변형한 $$\frac{\dot{\rho}}{\rho}=-3(1+w)\frac{\dot{a}}{a}$$와 비교하면 $w=-1$이므로 $$\dot{\rho} = \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=0$$이라서 결국 $\rho(t)=\rho_0$가 됩니다. 

즉 우주항은 음의 압력 또는 진공에너지와 같은 역할을 하며, 이를 통해 물질의 밀도가 상수가 되게 만드는 역할을 합니다.