위에서 링크를 달아놓은 글에 상세하게 있긴 합니다만, 슬라이드 중에서는 여기 첨부하는 그림이 Stella님이 원하시는 수식이 아닐까 싶습니다. 맞나요?

지난 번에 보여드린 것("현대 우주론의 기본 얼개"에 있는 그림들)보다 조금 더 알아보기 쉬운 그림이 있어서 파일로 첨부했습니다.

이 그래프는 수직축이 밀도이고 수평축이 시간(ABB, After Big Bang)입니다. 처음에는 파란색 선에서 보이듯 빛(복사)의 밀도가 가장 높습니다. 시간이 흐름에 따라 그 밀도는 점점 작아집니다. 물질도 있지만 물질의 밀도는 빛의 밀도보다는 작습니다. 이것도 시간에 따라 점점 작아집니다. 그러다가 주황색으로 나타낸 물질의 밀도가 빛의 밀도보다 커지는 순간이 있습니다. 그 뒤로는 물질의 밀도가 더 큽니다. 초록색으로 나타낸 진공에너지의 밀도는 시간과 무관하게 일정합니다. 물질의 밀도가 점점 줄어들다가 결국 진공에너지의 밀도보다 더 작아지는 시점 이후에는 진공에너지의 밀도가 지배합니다. 지금은 진공의 시대입니다.

"'빛의 시대'가 '물질의 시대'가 되고 다시 '진공의 시대'가 되었다"라고 말하면 천문학이나 우주론이 아니라 어딘가 문학적인 느낌도 듭니다.

(출처: Delia Perlov, Alex Vilenkin (2017) Cosmology for the Curious. Springer. p. 170)

어느 수식을 말씀하시는 걸까요? 아마 [장회익의 자연철학 강의] 311-312쪽에 있는 내용을 질문하시는 걸지도 모르겠습니다.

우주론에서 물질은 완전 유체로 서술됩니다. 완전 유체는 에너지밀도와 운동량으로 상태가 모두 정해집니다. 에너지 밀도와 압력의 관계를 $p=w\rho c^2$라 하면 세 가지 종류[먼지($w=0$), 복사($w=\frac{1}{3}$), 진공($w=-1$)]가 가능합니다. 이를 'https://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_state_%28cosmology%29" target="_blank" rel="noopener">우주론의 상태방정식'이라 부릅니다.

제 쓴 글 "현대 우주론의 기본 얼개"에도 관련 내용이 나와 있습니다.

진공에너지가 암흑에너지였군요. 결국 현대과학은 진공이 완벽한 진공이 아니라는 결론에 도달한 걸까요? 올려주신 수식과 그래프도 감사합니다. 찬찬히 살펴보겠습니다. ‘우리가 세상을 이해하길 멈출 때’란 책을 넋을 빼놓고 읽느라 이제야 답글을 봤네요. 감사합니다 ?

염승희님이 질문을 주시길, 진공에너지와 암흥에너지가 꼭 같은 것은 아닌데, 왜 둘을 같다고 하는지 이유를 설명해 달라고 하셨습니다. 미묘하지만 진공에너지라 할 때에는 $w=-1$일 때입니다.

프리드만 방정식을 정리하면 $\ddot{a}/a=-{4\pi G}/{3}\left(\rho + {3p}/{c^2}\right)$이므로, $w\le -\frac{1}{3}$이면 크기인수(척도인수)의 시간 2계도함수가 음수가 되어서 가속팽창이 됩니다.

이와 같이 암흑에너지는 더 넓게 보아 $w\le-\frac{1}{3}$인 경우라고 정의할 수 있습니다. 그렇게 보면 진공에너지는 암흑에너지의 일종으로 여길 수 있습니다. 현실에서는 대부분의 암흑에너지에 해당하는 것이 $w\approx -1$인 경우라서 암흑에너지는 사실상 진공에너지라 할 수 있지만, 그렇지 않은 경우도 있을 수 있습니다. 그래서 진공에너지가 곧 암흑에너지라고 말하면 어폐가 있게 됩니다.

진공에너지가 아니면서 암흑에너지를 주는 가상의 물질을 가령 quintessence나 molui와 같은 이름으로 부릅니다. 이것은 온 우주를 가득 채우고 있으며서 $w\le-\frac{1}{3}$를 충족시키지만, 암흑물질과는 성격이 전혀 다릅니다.

첨부하는 표는 2017년에 나온 '암흑에너지'에 대한 w 값의 범위입니다.

A. Tripathi et al JCAP06 (2017) 012 "Dark energy equation of state parameter and its evolution at low redshift" (https://doi.org/10.1088/1475-7516/2017/06/012" target="_blank" rel="noopener">https://doi.org/10.1088/1475-7516/2017/06/012)

세 가지 데이터 집합 SNIa, BAO, H(z)을 분석하여, 이를 합하여 $-1.13\le w \le -0.95$를 얻었고, 가장 잘 맞는 값으로 $w=-1.03$을 계산했습니다.

관측데이터 집합은 다음과 같습니다.

SNIa: type Ia supernova data,[Supernova Cosmology Project collaboration, Supernova Search Team collaboration, SDSS collaboration]
BAO: Baryon Acoustic Oscillation data [BOSS collaboration]
H(z): Hubble parameter data