시지프스님의 질문에 대한 답이 될 수 있을 것 같아서 이전에 <물리학과 첨단기술>에 실었던 글의 일부를 가져옵니다. 이 글은 녹색아카데미 홈페이지에도 "막스 플랑크와 양자불연속 논쟁"(https://greenacademy.re.kr/archives/7325)이란 제목으로 올려져 있는데, neomay3님의 탁월한 편집으로 멋진 시각자료가 포함된 글이 되었습니다. (아래 부분은 그 글에는 빠져 있습니다.)

또 "[대담녹취 5-1] 장회익의 자연철학 이야기. 4장.양자역학 (1)"(https://greenacademy.re.kr/archives/6328)에도 관련 내용이 있습니다.

----------------------------------

10월 25일에 베를린에서 열릴 예정이었던 독일물리학회를 앞두고 당시 제국물리기술연구소(Physikalisch-Technische Reichsanstalt, PTR)와 샤를로텐부르크 공과대학에 있던 루벤스(Heinrich Rubens, 1865-1922)와 쿠를바움(Ferdinand Kurlbaum, 1857-1927)은 흑체의 열복사가 복사선의 파장에 따라 어떻게 분포하는지 매우 정밀하게 측정한 결과를 10월 19일에 플랑크를 비롯하여 몇 명만 모인 작은 모임에서 발표했다. 이를 위해 루벤스와 쿠를바움은 모임이 열리기 며칠 전에 플랑크에게 새로운 측정결과의 데이터를 미리 주고 상세한 논평(Diskussionsbemerkung)을 부탁했다. 제국물리기술연구소에 있던 빌헬름 빈(Wilhelm Wien, 1864-1928)은 기존의 파셴(Friedrich Paschen, 1865-1947)의 실험과 잘 일치하도록 기체분자운동론을 써서 실험식 $$u(\lambda, T) = c_1 \lambda^{-d} \exp\left(-\frac{c_2}{\lambda T}\right) \quad ( d\approx 5)$$을 유도해 발표했다. 그런데 장파장 영역에서는 빈의 실험식이 맞지 않는다는 것이 루벤스와 쿠를바움의 실험결과였다.

(그림 출처: https://commons.wikimedia.org/ )

플랑크는 이 새로운 데이터를 설명하기 위한 논평을 준비하는 중에 올바른 흑체복사 공식 $$u(\nu, T) =\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1}$$을 얻었다.

플랑크의 논변은 다음과 같다.

[M. Planck, “Über eine Verbesserung der Wienschen Spektralgleichung”, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 202-204 (1900).]

흑체복사를 공동 안의 공명(cavity resonance)이라고 보면, 복사 에너지 밀도 $u(\nu, T)$와 진동자의 에너지가 $$u(\nu, T) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} U$$와 같은 관계를 가짐을 유도할 수 있다. 만일 맥스웰-볼츠만의 등분배정리를 만족한다면 $U = kT$이므로 흑체복사의 에너지 분포가 $$u(\nu, T)=\frac{8\pi\nu^2}{c^3} kT$$로 주어진다. (이는 레일리와 진즈의 유도 결과와 같다.) 이렇게 에너지가 온도에 비례한다면, 온도와 엔트로피의 도함수 사이에 $$\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial U}$$의 관계가 있으므로, $$\frac{\partial^2 S}{\partial U^2} = -\frac{\alpha}{U^2}$$가 되어야 한다. (여기에서 $\alpha$는 임의의 상수이다.) 하지만 빈의 실험식을 얻기 위해서는 엔트로피의 식이 $$S = \frac{U}{a\nu}\log\frac{U}{eb\nu}=\frac{U}{a\nu}\left(\log\frac{U}{b\nu}-1\right)$$라고 가정해야 하며, 이 때 $$\frac{\partial^2 S}{\partial U^2} =  \frac{\alpha'}{U}$$가 된다. ($\alpha'$은 임의의 상수)

이 두 경우의 절충으로 엔트로피의 에너지에 대한 도함수가 그 중간 형태인 $$\frac{\partial^2 S}{\partial U^2} = - \frac{a b}{U (U+b)}$$와 같은 관계를 만족한다고 가정해 볼 수 있다. ($a$, $b$는 앞의 식에 나오는 것과 무관한 임의의 상수)  이 식을 적분하면 $$\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial U}= a \log\frac{U+b}{U}$$이므로 이를 정리하면 $$U=\frac{b}{e^{1/aT} -1}$$를 얻는다. 빈의 변위법칙을 이용하면 $$U = \nu f(\nu/T)$$와 같이 온도 의존이 항상 $\nu/T$의 함수로 주어진다. 따라서 $$U=\frac{A \nu}{e^{B \nu/T}-1}$$을 얻을 수 있다. ($A$, $B$는 재조정된 상수) 이제 $A$ 대신 $h$라 쓰고, $A/B=k$라 하면, 이 식은 $$U=\frac{h \nu}{e^{h \nu/kT}-1}$$라 쓸 수 있다.

따라서 이로부터 복사에너지밀도를 구하면 $$u(\nu, T)=\frac{8\pi\nu^2}{c^3} \frac{h \nu}{e^{h\nu/kT}-1}$$를 얻는다. 이렇게 하여 빈의 실험식을 개선하면 루벤스와 쿠를바움의 새로운 실험결과를 잘 설명할 수 있다는 것이었다. 실험결과를 이용하여 아직 확정되지 않은 상수 $h$, $k$를 구하면 이것이 다름 아니라 각각 플랑크 상수와 볼츠만 상수가 된다.

----------------------------------

이 글은 온도를 $$\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial U}$$로 정의하는 것과 흑체복사공식 $$u(\nu, T) =\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1}$$의 온도가 수식 상에서 아무 충돌이 없도록 잘 맞아떨어질 뿐 아니라 온도를 그렇게 정의하는 것이 필수적임을 보여줍니다.

열역학 나아가 통계역학을 써서 흑체복사와 같은 현상을 설명하려면, 여하간 이렇게 수식 전개에서 문제가 없도록 해야 한다는 것은 당연한 일입니다. 막스 플랑크과 흑체복사에 대해 연구할 때 사용한 기본 이론이 바로 열통계역학이었기 때문입니다.

온도를 엔트로피와 내부에너지의 도함수로 정의하면, 이를 관측데이터에 적용하여 온도를 구하기는 어렵습니다. 흑체복사를 이용한다면 아래 그림처럼 복사의 세기를 각 파장별(또는 각 진동수별)로 정밀하게 측정한 뒤 이를 가장 잘 연결하는 그래프를 '피팅(fitting)'하여 거기에 대응하는 온도를 구합니다.

아래 그림은 루벤스와 쿠를바임이 얻은 데이터의 한 예입니다.

(출처: https://bit.ly/3zYKL33  H. Rubens and F. Kurlbaum (1900). Über die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch den schwarzen Körper bei verschiedenen Temperaturen, in: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1900, Gesamtsitzung vom 25. Oktober, 929-941; H. Rubens and F. Kurlbaum (1901). "Anwendung der Methode der Reststrahlen zur Prüfung des Strahlungsgesetzes". Annalen der Physik 4, 649-666.)

위의 그림은 수평축이 파장으로 되어 있는데, 파장과 진동수가 반비례하므로 파장 대신 진동수를 수평축에 놓아 그래프를 그릴 수도 있습니다.

(그림 출처: https://www.spectralcalc.com/blackbody/planck_blackbody.html )

우주배경복사의 경우 아래와 같은 데이터를 얻을 수 있습니다.

(그림 출처: Big Bang Duke University )

이 관측데이터를 피팅하여 우주배경복사의 온도를 구한 것이 2.72548±0.00057 K이 되는 것입니다. 따라서 온도의 정의와 사용에 별 문제가 없습니다.