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녹색아카데미

더 나은 앎으로 푸른 미래를 가꾸는 사람들의 공부모임

새 자연철학 세미나

우주론을 위한 FLRW 거리함수의 유도

자료
우주와 물질
작성자
자연사랑
작성일
2022-06-17 15:52
조회
3199

현대우주론의 표준모형을 이해하기 위해 중요한 출발점은 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 거리함수를 이해하는 것입니다.

거리함수는 두 사건 사이의 거리를 나타내는 함수로서, 아주 작은 양을 미분량으로 나타내면 $$\mathrm{d} s^2 = -c^2 \mathrm{d} t^2 + a(t)^2 \left(\frac{\mathrm{d} r^2}{1-kr^2} + r^2 \mathrm{d} \theta^2 + r^2\sin^2\theta \mathrm{d} \phi^2 \right)$$가 됩니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker_metric

이 거리함수를 유도해 보기로 합니다. 이는 곧 <장회익의 자연철학 강의> 306-308쪽에 서술된 내용을 따라 (6-2)식을 유도하는 것입니다.

출발점은 다음의 가정입니다.

(1) 시간과 공간은 분리되어 있다.

(2) 공간은 어느 위치나 어느 방향이나 대등하다. 즉 공간은 균질하며 등방적(homogeneous and isotropic)이다.

이 두 가정 중 두 번째를 먼저 생각합니다. 공간의 어느 위치나 대등하고 또한 어느 방향이나 대등하다면, 거리함수에도 그것이 나타나야 합니다. <장회익의 자연철학 강의> 300-301쪽에는 다음과 같이 서술되어 있습니다.

"... 우주의 물질분포는 어느 위치에서나 그리고 어느 방향으로나 거의 동일하며, 우주의 모든 위치는 모두 대등하다는 가정이다. 후에 '우주론적 원리'라고 불리게 될 이 가정은 우주의 중심이 따로 없다는 것을 함축한다. ... 우주의 공간이 4차원의 구면을 형성한다면 가능한 일이다. 예를 들어 4차원 [공간에 있는] 공의 표면은 3차원 구면을 이루는데, 이 공의 표면 위에 있는 모든 위치는 서로 대등함을 알 수 있다. [보통의] 공의 표면은 물론 2차원 공간이지만, 4차원 구의 표면은 3차원 공간이면서 여전히 모든 위치가 대등할 수 있다."

더 정확하게 말하면 우주의 물질분포와 무관하게 공간의 대칭성(불변성)을 가정하는 것으로 충분합니다. 균질하고 등방적인 공간의 가장 쉬운 예는 유클리드 공간입니다. 이는 $$\mathrm{d} \ell^2 = \mathrm{d} \mathbf{x}^2 \equiv \mathrm{d}x^2+ \mathrm{d}y^2+ \mathrm{d}z^2 $$으로 나타낼 수 있습니다. 어느 방향으로 회전이동하든, 어느 점으로 평행이동하든 거리는 같은 값(불변량)이므로 공간의 균질성과 등방성을 충족시킵니다.

그 다음으로 4차원 유클리드 공간에서 정의된 구의 표면을 생각하면 이것도 균질하고 등방적입니다. 4차원 구의 표면은 3차원이기 때문에 이를 수학에서 $S^3$이라 나타내고 '3차원 구면'이라 부릅니다. (수학자들과 물리학자들의 용어법이 좀 다릅니다. 기하학자는 4차원 공간 안에있는 구면을  4차원 구면이라고 부르기도 하고, 물리학자들도 이런 약속을 따르는 경우가 흔합니다. https://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html 참조)

4차원 구의 표면 $S^3$에서의 거리함수는 $$\mathrm{d}\ell^2 = \mathrm{d} \mathbf{x}^2 +\mathrm{d}w^2 , \quad w^2 + \mathbf{x}^2 = a^2$$으로 쓸 수 있습니다.

$S^3$을 상상하기가 그리 쉽지는 않으므로, 3차원 구의 표면 즉 직관적으로 볼 수 있는 공 표면을 생각하면 조금 낫습니다. 공 표면은 2차원이므로 이를 수학에서는 $S^2$라 표기합니다. 3차원 유클리드 공간에서 거리가 피타고라스 정리에 따라 주어진다면 $$\mathrm{d} {\ell_3}^2 =\mathrm{d}x^2+ \mathrm{d}y^2+ \mathrm{d}z^2$$이지만, 세 위치좌표 $(x, y, z)$는 서로 독립적이지 않습니다. 공 표면에 있기 때문에 $$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$$이라는 조건을 충족시켜야 합니다. $$\mathrm{d} {\mathbf{x}_2}^2 = \mathrm{d}x^2+ \mathrm{d}y^2$$라 쓰기로 하면, 위의 거리함수는 $$\mathrm{d}{\ell_3}^2 = \mathrm{d} {\mathbf{x}_2}^2 +\mathrm{d}z^2 , \quad  {\mathbf{x}_2}^2 + z^2= a^2$$라 쓸 수 있습니다.

이것은 3차원 유클리드 공간 안에 매장된(embedded) 2차원 구면의 거리함수입니다.

3차원 구면, 즉 4차원 유클리드 공간 안에 매장된(embedded) 일반화된 구면은 여기에 공간좌표를 하나 덧붙여서 차원을 늘리면 됩니다. 그래서 4차원 구의 표면 $S^3$에서의 거리함수는 $$\mathrm{d}\ell^2 = \mathrm{d} \mathbf{x}^2
+\mathrm{d}w^2 , \quad w^2 + \mathbf{x}^2 = a^2$$으로 쓸 수 있습니다.

그 다음은 수학적으로 약간 더 들어가야 하지만, $$\mathrm{d}\ell^2 = \mathrm{d} \mathbf{x}^2 - \mathrm{d}w^2 , \quad  w^2 - \mathbf{x}^2 = a^2$$인 경우도 균질성과 등방성을 갖는 3차원 공간임을 증명할 수 있습니다.

이 때 네 번째 좌표의 제곱과 나머지 세 좌표의 제곱 사이에 마이너스가 있어서 이를 쌍곡면과 비슷한 것으로 볼 수 있기 때문에, 이를 3차원 쌍곡면이라 부릅니다. 요약하면 균질성과 등방성을 가정하면, 가장 일반적인 공간의 거리함수는 다음 세 가지 중 하나가 됩니다.

\begin{align} \mathrm{d} \ell^2 &= \mathrm{d} \mathbf{x}^2 \equiv \mathrm{d}x^2+ \mathrm{d}y^2+ \mathrm{d}z^2 \\ \mathrm{d}\ell^2 &= \mathrm{d} \mathbf{x}^2 +\mathrm{d}w^2 , \quad w^2 + \mathbf{x}^2  = a^2 \\ \mathrm{d}\ell^2 &= \mathrm{d} \mathbf{x}^2 - \mathrm{d}w^2 , \quad w^2 - \mathbf{x}^2  = a^2 \end{align}

좌표의 스케일을 $$\mathbf{x}'\equiv a \mathbf{x} , \quad w'\equiv aw$$로 재정의한 뒤 프라임 기호를 떼고, 거리함수를 다시 쓰면,

\begin{align} \mathrm{d} \ell^2 &= a^2 \mathrm{d} \mathbf{x}^2  \\ \mathrm{d}\ell^2 &=
a^2 \left(\mathrm{d} \mathbf{x}^2 +\mathrm{d}w^2 \right), \quad w^2 + \mathbf{x}^2  = 1 \\ \mathrm{d}\ell^2 &= a^2\left(\mathrm{d} \mathbf{x}^2 - \mathrm{d}w^2\right) ,
\quad w^2 - \mathbf{x}^2  = 1 \end{align}이 됩니다. $w^2 \pm \mathbf{x}^2 = 1$로부터 $w \mathrm{d}w = \mp \mathbf{x}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x}$이므로, $$\mathrm{d}w^2 = \frac{(\mathbf{x}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x})^2}{w^2} = \frac{(\mathbf{x}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x})^2}{1\mp \mathbf{x}^2}$$이 됩니다.

위의 세 경우를 한꺼번에 쓰면 $$\mathrm{d} \ell^2 = a^2 \left[ \mathrm{d}\mathbf{x}^2 + K \frac{(\mathbf{x}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x})^2}{1 - K \mathbf{x}^2}\right]$$라 할 수 있습니다. 여기에서 $K=+1$은 구면, $K=0$은 평면, $K=-1$은 쌍곡면입니다. 이를 각각 타원적(elliptic), 포물선적(parabolic), 쌍곡선적(hyperbolic)이라고 부르기도 합니다.

직각좌표계(데카르트 좌표계) 대신 구면좌표계를 써서 \begin{align} x &= r
\sin\theta\cos\phi \\ y&= r \sin\theta\sin\phi \\ z&=r\cos\theta  \end{align}로 나타내면, $$\mathrm{d} \ell^2 = a^2 \left(\frac{\mathrm{d}r^2}{1-Kr^2}+ r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2\right)$$임을 보일 수 있습니다.

더 상세하게 쓰면 다음과 같습니다. 구면좌표계의 정의로부터
\begin{align} \mathrm{d} x &= \sin\theta\cos\phi\mathrm{d}r + r\cos\theta\cos\phi\mathrm{d}\theta-r\sin\theta\sin\phi\mathrm{d}\phi \\
\mathrm{d}y &= \sin\theta\sin\phi\mathrm{d}r + r\cos\theta\sin\phi\mathrm{d}\theta+r\sin\theta\cos\phi\mathrm{d}\phi \\
\mathrm{d}z&=\cos\theta\mathrm{d}r - r\sin\theta\mathrm{d}\phi\end{align}이므로,
&nbsp;\begin{align}\mathrm{d}\mathbf{x}^2 & = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 +\mathrm{d}z^2 \\ & = \mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2 \end{align}이고,
\begin{align}\mathbf{x}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x} = & x \mathrm{d}x+y\mathrm{d}y+z\mathrm{d}z \\ = & r\sin\theta\cos\phi (\sin\theta\cos\phi\mathrm{d}r +r\cos\theta\cos\phi\mathrm{d}\theta -r\sin\theta\sin\phi\mathrm{d}\phi) \\ & +r\sin\theta\sin\phi (\sin\theta\sin\phi\mathrm{d}r + r\cos\theta\sin\phi\mathrm{d}\theta + r\sin\theta\cos\phi\mathrm{d}\phi) \\ & +r\cos\theta(\cos\theta\mathrm{d}r -r\sin\theta\mathrm{d}\theta) \\= & r\mathrm{d}r (\sin^2\theta\cos^2\phi +\sin^2\theta\sin^2\phi+\cos^2\theta) \\ &+r^2\mathrm{d}\theta(\sin\theta\cos\theta\cos^2\phi +\sin\theta\cos\theta\sin^2\phi -\sin\theta\cos\theta)\\ &+r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi (-\cos\phi\sin\phi+\sin\phi\cos\phi) \\ = & r\mathrm{d}r \end{align}입니다.

이를 대입하면 \begin{align} \mathrm{d}\ell^2 &= \mathrm{d}r^2 +r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2 +\frac{K r^2\mathrm{d}r^2}{1-Kr^2} \\ &= \left(1+\frac{Kr^2}{1-Kr^2}\right)\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2 \\ &= \frac{1-\cancel{Kr^2}+\cancel{Kr^2}}{1-Kr^2}\mathrm{d}r^2 +r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2 \\ &= \frac{\mathrm{d}r^2}{1-Kr^2} +r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2\end{align}이 됨을 알 수 있습니다.

로버트슨-워크 시공간은 위와 같은 공간 거리함수에 시간 거리함수 항을 더한 것입니다. 즉 $$\mathrm{d}s^2 = -c^2 \mathrm{d}t^2 +\mathrm{d} \ell^2 = -c^2 \mathrm{d}t^2 +a^2 \left(\frac{\mathrm{d}r^2}{1-Kr^2}+ r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2\right)$$

이 때 스케일 인수 $a$는 일반적으로 $a(t)$와 같이 시간에 따라 변할 수 있습니다. 요약하면, 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 거리함수는 다음과 같이 주어집니다.$$\mathrm{d}s^2 = -c^2 \mathrm{d}t^2 +\mathrm{d} \ell^2 = -c^2 \mathrm{d}t^2 +a(t)^2 \left(\frac{\mathrm{d}r^2}{1-Kr^2}+ r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2\right)$$

네 사람의 이름이 붙어서 조금 긴 느낌이 있습니다만, 프리드만(1922), 르메트르(1927), 로버트슨(1935-36), 워커(1937) 이 네 명이 서로 독립적으로 이 거리함수를 유도하고 이를 사용하여 우주의 변화에 대한 가장 근본적인 이론을 펼쳤기 때문에, 네 명의 이름을 모두 적어주는 게 옳을 것입니다.

* Friedmann, Alexander (1922), "Über die Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A, 10 (1): 377–386.
* Friedmann, Alexander (1924), "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A, 21 (1): 326–332.
* Lemaître, Georges (1927), "Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, A47: 49–56.
* Lemaître, Georges (1931), "Expansion of the universe, A homogeneous universe of constant mass and increasing radius accounting for the radial velocity of extra-galactic nebulæ", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 91 (5): 483–490.
* Lemaître, Georges (1933), "l'Univers en expansion", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, A53: 51–85.
*  Robertson, H. P. (1935-36), "Kinematics and world structure", Astrophysical Journal, 82: 284–301; 83: 187–201; 83: 257–271.
* Walker, A. G. (1937), "On Milne's theory of world-structure", Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 42 (1): 90–127.

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N <양자역학을 어떻게 이해할까?> 19쪽에 언급된 "추가적 관측을 겹실틈 바로 뒤에서가 아니라 식별 스크린 바로 앞에서 수행하는 실험"을 더 정교하게 할 수도 있겠지만, 제 의견에는 이미 기존의 겹실틈 실험 특히 위에 인용한 Bach et al. (2013)에서 어느 정도는 이미 한 셈이라고 생각합니다. 왜냐하면 실험의 에너지 규모를 조절하여 방출되는 전자가 하나씩 나올 수 있도록 한 것이라서, 스크린 바로 앞에서 전자의 위치를 관측한 것과 비슷한 효과가 있기 때문입니다. 아마 이 아이디어를 적용한다면, 실제로 스크린 바로 앞에서 아주 약하게 전자의 위치를 관측하는 실험을 해 볼 수 있을 것입니다. 첨부한 그림은 Bach et al. (2013) 실험의 보충자료에 있는 실험세팅입니다.
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N "겹실틈 실험의 실제 실험과 올바른 해석"(https://bit.ly/3ZeRBNv)에 인용한 Bach et al. (2013)의 실험은 겹실틈을 만든 뒤 가림막을 만들어 이동시킵니다. 그렇게 함으로써 두 실틈에 대해 (1) 둘 다 닫힌 경우 (2) 첫 번째 실틈만 열린 경우 (3) 두 실틈 모두 열린 경우 (4) 두 번째 실틈만 열린 경우 (5) 다시 두 실틈 모두 닫힌 경우에 차례로 스크린에 찍히는 점들의 분포를 보여줍니다. Bach, R. et al. (2013) Controlled double-slit electron diffraction. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/15/3/033018 "In 1965, Richard Feynman presented a thought experiment to show these features. Here we demonstrate the full realization of his famous thought experiment. By placing a movable mask in front of a double-slit to control the transmission through the individual slits, probability distributions for single- and double-slit arrangements were observed. Also, by recording single electron detection events diffracting through a double-slit, a diffraction pattern was built up from individual events." 리처드 파인만이 1965년에 이 이야기를 할 때만 해도 그냥 사고실험이었지만, 이제는 직접 실험해서 확인할 수 있는 시대가 되었습니다. 위에 인용한 실험도 발표된 지 벌써 12년이 지났습니다.
15:27
불편을 드려서 죄송해요. 최근 정비에 들어가서 짬짬이 홈페이지에 불필요한 파일들을 덜어내고 있어요. 여유를 좀 확보해서 편하게 이용하시도록 해볼께요. 참, 당분간 게시판 글에 첨부되었던 파일과 사진이 잘 보이지 않을 수 있습니다. 용량 확보 작업을 하면서 일부 파일들을 옮겨두어서 그런 건데요, 소실된 것 아니고 잠시 옮겨두어서 그런 거니 당분간의 의도된 에러라는 점 양해해주세요~.
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^^;; 꼭 필요한 문서는 첨부하셔야지요. 책 원문 파일은 용량이 커서 그렇게 말씀드렸어요. 링크를 달면 좋은데 그게 안 되는 경우도 있고 그러네요. 양해 부탁드려요. ㅎㅎ;;;
2025.05.12
전화, 라디오, TV 등에 사용되는 전자기파는 매질이 없어도 존재하는 파동입니다. 파동이 항상 '무엇인가'의 파동이어야 하는 것은 아닙니다. 여기에서 말하는 '무엇인가'를 파동의 매질이라 부릅니다. 매질이 없어도 파동이 존재할 수 있다는 것은 신기한 일입니다. 2015년에 처음 검출된 중력파도 매질 없이 존재하는 파동입니다. 빛의 파동도 매질 없이 존재합니다. 19세기에는 빛의 매질을 '에테르'라고 부르면서 당연한 것으로 여겼지만, 대략 1905년 아인슈타인의 논문 이후로는 빛의 매질로 여겨졌던 '에테르'는 존재하지 않는다는 것이 주류의 이론입니다.
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