앞에서 거리함수 텐서가
$$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2 dt^2$$
로 주어지는 4차원 시공간을 민코프스키 시공간이라 부르고, 이 때에는 (확장된) 피타고라스 정리가 성립한다고 했습니다. "(확장된)"이란 말을 붙인 이유는 시간 좌표 앞의 부호가 -라서 보통의 피타고라스 정리와는 다르기 때문입니다.

그런데 좌표변수 앞에 숫자만 있는가, 아니면 좌표에 따라 달라지는 함수가 있는가 여부가 공간이 휘어있는가, 곡률이 있는가 여부와 일치하지는 않습니다.

가령 만일 좌표계를 데카르트 직각좌표계 $(x, y, z)$가 아니라 구면좌표계 $(r, \theta, \phi)$로 선택하면 위의 4차원 거리는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ ds^2 = dr ^2 + r^2 d\theta ^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 - c^2 dt ^2 $$
여기에서 거리함수 성분들을 읽어내면 다음과 같습니다.

$g_{rr}=1$, $g_{\theta\theta}=r^2$, $g_{\phi\phi}=r^2 \sin^2\theta$, $g_{tt}=-c^2$ (나머지는 모두 0)

이 때에는 거리함수 성분들이 상수도 아닌데도 여전히 민코프스키 시공간이고, 곡률은 없습니다. 앞에서 데카르트 직각좌표계로 썼던 것을 단지 다른 좌표계로 고쳐 쓴 것이기 때문입니다.

여기에서 의문이 듭니다. 거리함수 표현에서 $g_{\mu\nu}$가 1 또는 상수인 것이 피타고라스 정리가 성립하는 유클리드 공간이란 뜻인데, 왜 거리함수 성분들이 좌표에 따라 달라지는데도 여전히 유클리드 공간일까 하는 것이죠.

이 의문은 쉽게 풀립니다. 비교를 위해 시간 부분을 빼고 3차원 공간만 생각하기로 하죠.
3차원 유클리드 공간의 거리함수는 다음과 같습니다.
$$ ds^2 = dr ^2 + r^2 d\theta ^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 $$
그런데 여기에서 반지름 방향을 생각하지 않기로 한다면, 거리함수 텐서를 그냥
$$ ds^2 = r^2 d\theta ^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 $$
라 쓰는 것이 됩니다. 여기에서 $r$는 좌표 중 하나가 아니라 그냥 하나의 파라미터입니다.

이 2차원 거리함수는 2차원 구면을 나타냅니다. 2차원 구면은 분명하게 곡면이고 거기에서 피타고라스 정리가 성립하지 않습니다.

처음에는 혼동하는 경우가 많은데, 구면은 3차원 공간 속에 있지만 구면 자체만 보면 면이니까 2차원입니다. 이 때 2차원 구면이 3차원 공간 안에 매장(embed)되어 있다고 말합니다.

2차원 평면의 거리함수는
$$ ds^2 = dx^2 + dy^2$$
와 같이 주어지기 때문에, 명백하게 피타고라스 정리가 성립합니다.

이제 구면에서 피타고라스 정리가 성립하지 않는다는 것을 확인할 차례입니다. 다시 말해 구면이 휘어 있다는 것을 정말로 확인해 보는 것입니다.

공간이 휘어 있는지 평평한지 판가름하는 것은 거리함수 텐서가 아니라 곡률입니다. 가령 리치 텐서나 스칼라 곡률을 계산해야 합니다.

정의에 따라 크리스토펠 기호를 계산하면 다음과 같습니다.
$$\begin{eqnarray}
\Gamma^{\theta}_{\phi\phi} &=&-\sin\theta\cos\theta \\
\Gamma^{\phi}_{\theta\phi} &=& \Gamma^{\phi}_{\phi\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} =\cot\theta
\end{eqnarray}$$
나머지는 모두 0입니다.
(https://bit.ly/3aBhb4w 참조)

이를 이용하여 리치 텐서를 계산하면 0이 아닌 성분은
$$
R_{\theta\theta}=1 , \quad R_{\phi\phi}=\sin^2\theta
$$
이고, 이로부터 스칼라 곡률을 계산하면
$$ R = \frac{2}{r^2}$$
를 얻습니다.
(https://bit.ly/30KAofy 참조)

구면의 곡률이 구의 반지름의 역제곱인 것이 자연스럽죠. 왜냐하면 곡률(curvature)이란 것이 평평한 것에 비해 얼마나 휘어 있는가를 말해 주는 양인데, 반지름이 아주 크면 휘어진 정도가 작을 터이고 반지름이 아주 작으면 많이 휘어 있을 터이기 때문입니다.

이와 대비하여
$$ ds^2 = dx^2 + dy^2$$
일 때 크리스토펠 기호와 리치 텐서와 스칼라 곡률을 계산하면, 어떤 결과를 얻을 수 있을까요? 크리스토펠 기호가 거리함수의 미분으로 정의되어 있는 것을 기억하면, 거리함수가 모두 상수일 때에는 당연히 모든 크리스토펠 기호가 0임을 짐작할 수 있습니다. 그 다음 또 미분으로 정의되는 리치 텐서나 스칼라 곡률도 말할 필요 없이 모두 0입니다.

즉 2차원 평면은 휘어 있지 않습니다.

좋은 연습문제가 되기 때문에 이 계산을 한번 쭈욱 해 보는 것이 유익합니다. 사실은 저도 오랜만에 계산을 쭈욱 해 보았는데, 오래 전의 느낌이 되살아와서 즐거웠습니다. 수식을 조작하는 일은 마치 자전거 타는 것처럼 말로 할 수 있는 것도 아니고 또 눈으로만 읽어서는 경험할 수 없는 영역에 있는 듯합니다. 계산이라고 하지만 사실은 미분 몇 번 해 보는 것이 중심이라 어렵지 않습니다. 대신 그렇게 함으로써 추상적으로 적혀 있는 정의와 수학 개념들이 직관적으로 느껴지게 됩니다. 또 그 과정에서 전체적인 것이 맞아 떨어질 때의 미묘한 쾌감과 시원스러움도 경험할 수 있습니다.

----------------

(추가) 아무래도 세미나 시간에 모일 때 이 계산을 해 보는 것은 쉽지 않을 듯 하여, 구체적인 계산 과정을 아래에 적어보겠습니다.

$$ds^2 = r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2$$
에서 거리함수 텐서의 값을 읽으면
$$\begin{align}
g_{\theta\theta}\equiv&=g_{11}=r^2 , \qquad g_{12}=g_{21}=0 \\
g_{\phi\phi}\equiv&=g_{22}=r^2\sin^2\theta
\end{align}$$
이며, 그 역행렬을 구하면
$$\begin{align}
g^{\theta\theta}\equiv&=g^{11}=\frac{1}{r^2} , \qquad g^{12}=g_{21}=0 \\
g^{\phi\phi}\equiv&=g^{22}=\frac{1}{r^2\sin^2\theta}
\end{align}$$
가 됩니다.

편미분을
$$g_{ab,c}\equiv \frac{\partial g_{ab}}{\partial x^c}$$
와 같이 쉼표로 나타내면 수식을 쓰기가 아주 편리해집니다.

크리스토펠 기호는
$$\Gamma_{ab}^c =\frac{1}{2}g^{cd}
\left(g_{bd,a}+g_{da,b}-g_{ab,d}\right)$$
로 정의되므로, 위의 거리함수 텐서로부터 크리스토펠 기호를 차례로 계산할 수 있습니다.
$$\Gamma_{11}^1 = \frac{1}{2}g^{11} (g_{11,1}+g_{11,1}-g_{11,1})
+\frac{1}{2}g^{12} (g_{12,1}+g_{21,1}-g_{11,2})=0$$
여기에서 $g_{12}=g^{12}=0$을 이용하면 편리합니다. 또 $\Gamma_{ab}^c = \Gamma_{ba}^c$임을 이용하면 계산의 양이 줄어듭니다. 또 $\phi$로 미분하면 0이므로 $A_{ab,2}=0$임을 이용합니다.
$$\begin{align}\Gamma_{12}^1&=\frac{1}{2}g^{11}(g_{11,2}+g_{21,1}-g_{12,1})+\frac{1}{2}\cancel{g^{12}}(...)=0\\
\Gamma_{22}^1&=\frac{1}{2}g^{11}(\cancel{g_{21,2}}+\cancel{g_{12,2}}-g_{22,1})+0 \\
&=\frac{1}{2}\frac{1}{\cancel{r^2}}\left[-\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cancel{r^2}\sin^2\theta\right)\right] = -\sin\theta\cos\theta \\
\Gamma_{12}^2&=\frac{1}{2}g^{22}(\cancel{g_{12,2}}+g_{22,1}-\cancel{g_{12,2}})+0\\
&=\frac{1}{2}\frac{1}{\cancel{r^2}\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cancel{r^2}\sin^2\theta\right) = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta
\end{align}$$
이렇게 계산한 크리스토펠 기호를 사용하여 리치 텐서를 계산할 수 있습니다.

리치 텐서는 위에서 언급한 쉼표 기호를 이용하면 다음과 같이 정의됩니다.
$$R_{ab}=\Gamma_{ab,c}^c - \Gamma_{cb,a}^c +\Gamma_{cd}^c \Gamma_{ab}^d - \Gamma_{ad}^c\Gamma_{cb}^d$$
미리 준비해서 계산하면
$$\begin{align}
\Gamma_{c1}^c &= \Gamma_{11}^1+\Gamma_{21}^2=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta\\
\Gamma_{c2}^c &=\Gamma_{12}^1+\Gamma_{22}^2 = 0
\end{align}$$
입니다. 그러면
$$\Gamma_{c1,1}^c =\frac{\partial \cot\theta}{\partial\theta}=-\csc^2\theta = -\frac{1}{\sin^2\theta}$$
이제 이 계산결과를 써서 리치 첸서를 계산할 수 있습니다.
$$\begin{align}
R_{11}&=\cancel{\Gamma_{11,1}^1}+\cancel{\Gamma_{11,2}^2}-\Gamma_{c1,1}^c
+\Gamma_{c1}^c \Gamma_{11}^1
+\cancel{\Gamma_{c2}^2}\Gamma_{11}^2\\ &-\left(\cancel{\Gamma_{11}^1\Gamma_{11}^1}+\cancel{\Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2}+\cancel{\Gamma_{11}^2\Gamma_{21}^1}+\Gamma_{12}^2\Gamma_{21}^2\right)\\
&=\frac{1}{\sin^2\theta}-\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1-\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta}=1\\
R_{12}&=\cancel{\Gamma_{12,1}^1}+\cancel{\Gamma_{12,2}^1}-\Gamma_{c1,2}^c + \Gamma_{c1}^c\cancel{\Gamma_{12}^1}+\cancel{\Gamma_{c2}^2}\Gamma_{12}^2 \\
&-\left(\Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^1+\Gamma_{12}^1\Gamma_{12}^2+\Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^1+\Gamma_{12}^2\Gamma_{22}^2 \right)=0\\
R_{22}&=\Gamma_{22,1}^1+\cancel{\Gamma_{22,2}^1}-\cancel{\Gamma_{c1,2}^c} + \Gamma_{c1}^c\Gamma_{22}^1+\cancel{\Gamma_{c2}^2}\Gamma_{22}^2 \\
&-\left(\cancel{\Gamma_{21}^1}\Gamma_{12}^1+\Gamma_{22}^1\Gamma_{12}^2+\Gamma_{21}^2\Gamma_{22}^1+\Gamma_{22}^2\cancel{\Gamma_{22}^2} \right)\\
&=\frac{\partial (-\sin\theta\cos\theta)}{\partial\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}(-\sin\theta\cos\theta)
-2(-\sin\theta\cos\theta)\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\\&=\sin^2\theta-\cos^2\theta-\cos^2\theta+2\cos^2\theta \\
&= \sin^2\theta
\end{align}$$
요약하면
$$R_{\theta\theta}=1 , \qquad R_{\phi\phi}=\sin^2\theta$$
이 됩니다. 이로부터 스칼라 곡률을 계산하면
$$R=g^{ab}R_{ab}=\frac{1}{r^2}\cdot 1 + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\cdot \sin^2\theta = \frac{2}{r^2}$$
를 얻습니다.


---------------
(추가) 이 꼭지에 올려 놓은 글은 웬만한 물리학이나 수학 전공 대학생들도 따라가기 어려운 내용입니다. 이 내용을 적어 놓은 이유는 <장회익의 자연철학 강의> 556-563쪽에 이 내용이 상세하게 나오기 때문입니다. 정확히 말하면 우주론과 관련된 일반상대성이론 계산 과정의 일부가 나와 있는 것인데, 이렇게 중간과정이 아주 상세하게 나와 있는 책은 찾아보기 어렵습니다. 그 책에 인용되어 있는 C.G. Böhmer (2017). Introduction to General Relativity and Cosmology에도 중간 계산과정은 나와 있지 않습니다. 제가 위에 올려 놓은 내용은 <장회익의 자연철학 강의> 556-563쪽에도 빠져 있는 중간 과정입니다.

위의 계산에서
\[ \Gamma^{1}_{22} = - \sin\theta \cos\theta , \quad \Gamma^{2}_{12}= \frac{\cos\theta}{\sin\theta}= \cot\theta \]
를 얻었는데, 이것은 <장회익의 자연철학 강의> 558쪽에 있는
\[ \Gamma^{2}_{33} = - \sin\theta \cos\theta , \quad \Gamma^{3}_{23}= \cot\theta \]
와 정확히 일치합니다.

우주론을 정확히 이해하기 위해서 이 계산을 해 보는 것이 의미가 있는지 더 이야기해 볼 거리가 있습니다만, 딱 한번은 그래도 한번 이 계산을 따라가 보는 것도 나쁘지 않으리라는 생각이 듭니다.