미시상태와 정규분포곡선

벌써 지난 달이로군요. 김정구 교수님께서 볼츠만의 엔트로피 식이 무엇인지, 클라우지우스의 엔트로피와 비교하면서 친절하게 (그러나 어렵게 ㅠㅠ) 설명해 주셨습니다.

예시로 입자가 여럿 있을 때의 미시상태의 수를 계산해 주셨는데, 

그 그래프는 정규분포곡선과 꼭 닮았습니다.

미시상태를 설명할 때, 각 미시상태는 모두 같은 가능성이라고 합니다. 

이렇다면, 엔트로피 는 실은 미시상태의 정규분포곡선이고, 

그 곡선을 적당히 잘라 나눈 것이 거시상태가 아닌가 싶네요.

(박동훈 박사님의 자문을 못 받아서 거칠은 생각이긴 합니다만... )

만약 미시상태의 수가 정규분포곡선을 따른다면, 여기에서 바로 열역학 2법칙으로 연결이 어렵지 않을까 싶습니다.

정규분포곡선에서 가장 많은 값은 평균값이지만, 평균값 부근으로 자르기에 따라 전체에서 차지하는 비율이 달라집니다.

유명한 경험칙으로는 68-95-99.7 rule 이 있다고 합니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/68%E2%80%9395%E2%80%9399.7_rule#Table_of_numerical_values

평균을 기준으로 양옆으로 표준편차 만큼의 범위를 잡는다면, 전체에서 약 68%가 이 범위에 들어온다는 것이지요. 그 밖으로는 약 32%나 있다는 것입니다.

평균 부근으로 더 좁히면, 당연히 전체에서 차지하는 범위는 줄어듭니다. 평균에서 plus, miuns 0.5 sigma 를 한다면, 38% 로 대폭 줄어듭니다. 

68% 나 38% 나, 무시하기 힘든 범위가 그 밖에 있습니다.

이런데 꼭 평균값으로만 간다고 할 수 있을까요?

다음 슬라이드에서는 입자의 숫자를 기준으로 계산을 해 주셨습니다.

소금분자가 10 다음은 100 으로 점프를 합니다.

100 일 때의 미시상태의 수가 제일 많지만, 99 일때, 98 일때 와는 그렇게 까지 엄청난 차이를 보이지는 않겠지요.

10 일 가능성보다 100 일 가능성이 훨~씬 크지만, 99 일 때, 95 일 때, 아니, 70 일 때 비교해서, 그 격차가 크니까 무시할 만하다고 쉽게 얘기할 수 있을까요?

그러나 열역학 2법칙은 최대값으로 향해야만 합니다. 

최대값보다 살짝 작은 값에서 머무를 수 있을까요? 확률상으로는 무시할 수 없는 값이지만, 2법칙은 그러면 안된다고 하는 것이 아닐까요?

<자연철학강의> 책에 나온 비유를 보면 더욱 명확해 집니다.

윷놀이로 엔트로피의 예를 들어 주셨습니다.

모든 경우의 수는 16 이고, 가장 흔한 개 의 경우는 6 입니다.

도 나 걸 은 4/16 씩 이고, 모 나 윷은 1/16 씩 입니다. 

(실제의 윷가락은 원통의 절반보다 조금 더 치우쳐서 잘려 있습니다. 그래서 실제 윷놀이에선 걸이 도보다 잘 나오고, 윷이 모보다 잘 나옵니다. 책의 예시는 동전 4개를 동시에 던져서 앞 뒤가 몇 개씩 나오냐는 것과 동일한 것 같습니다. )

개는 다른 윷보다는 큰 수이지만, 전체로 보면, 6/16 입니다. 반도 안됩니다 !

이 때 열역학 2법칙에 의해서 결국 개만 나올 것이다라고 쉽게 얘기할 수 있을까요?

확률 계산으로는 개가 안 나올 가능성이 10/16 으로 되려 더 큽니다 ! 

이 상황에서는 열역학 2법칙과는 달리, 엔트로피가 감소할 수도 있다고 해야 겠지요.