지난 주에 Event Horizon Telescope 공동연구팀이 두 번째 블랙홀 이미지를 발표했습니다. 제가 이와 관련하여 올린 글에 neomay3님이 블랙홀의 엔트로피에 대해 언급해 주셨습니다. 

질문이 나오면 여하간 대답을 해야 한다는 강박관념이 있는 탓에 글을 올리려 하니까 현실의 시간이 너무 없어서 우선 2018년에 다른 곳(길담서원 시민과학모임 게시판)에 썼던 글을 올리면 어떨까 생각을 했습니다.

2018년 3월 14일에 스티븐 호킹이 세상을 떠났습니다. 이 날은 알버트 아인슈타인이 태어난 날이기도 하고 원주율의 값과 같아서 소위 원주율의 날(파이 데이)이라고도 합니다. 제가 쓴 글은 그 직후에 KTX에 앉아서 순전히 제 기억만으로 스티븐 호킹의 과학적 성취에 대해 적은 것입니다.

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스티븐 호킹(Stephen Hawking 1942-2018)은 이론물리학자입니다. 20대에 루게릭 병이 발병하여 오래 살지 못할 거라고 했던 물리학 전공의 대학원생이 76세 향년으로 이론물리학에 많은 성과를 남기고 떠났으니, 그것만으로도 어려움에 처해 있는 많은 사람들에게 위로가 될 수 있지 않을까 싶습니다.

이론물리학자로서의 호킹의 역할과 성취에 대해서 짧게 적어보려 합니다.

호킹의 전공분야는 이론물리학 중에서도 일반상대성이론, 중력이론, 통일장이론, 휜 시공간의 양자장이론입니다. 하나하나 짧게나마 설명을 해 보겠습니다.

호킹의 박사학위논문과 그 뒤의 후속 논문들에서 아주 엄밀하게 증명된 것이 소위 ‘특이점 정리’입니다. 이것은 아인슈타인의 이름과 함께 등장하는 일반상대성이론에서 필연적으로 발생하는 이론적 결과 중 하나입니다.

블랙홀 또는 검은 구멍은 아주 고약한 녀석입니다. 아주 오래 전 뉴턴 세대보다 조금 나중에 속하는 존 미첼(John Michell 1724-1793)이 이미 중력이 아주 강하다면 빛조차 빠져 나올 수 없는 경우도 있지 않겠는가 하는 이야기를 남겨 놓았습니다. 무거운 공을 던져 올리면 점점 느려져서 언젠가는 최고점에 이르러 멈춘 뒤 다시 지구 중심을 향해 떨어집니다. 그 던져 올리는 속력이 크면 클수록 더 멀리까지 갈 수 있습니다. 그래서 아주 빠르게 공을 던져올린다면 그 공이 지구의 중력을 벗어나서 우주로 날아가 버릴 수도 있습니다. 이것을 탈출속도라 합니다. 지구의 경우는 초속 11킬로미터 남짓이 넘으면 지구 중력장을 벗어날 수 있습니다. 바로 이 탈출속도를 넘어선 것이 여러 번에 걸치 아폴로 프로젝트였습니다. 그래서 달까지 갈 수 있었던 것이구요. 그 뒤에 보이저나 마리너나 여러 인공위성들이 지구 중력장을 벗어날 때 이 탈출속도를 넘어섰습니다.

탈출속도는 공을 잡아당기는 지구의 질량이 클수록, 즉 지구가 그 공을 당기는 중력이 클수록 더 커집니다. 태양계를 벗어나려면 태양의 중력장을 벗어나야 하는데, 이번에는 지구가 아니라 태양의 탈출속도를 넘어서야 합니다. 이런 식으로 더 무거운 별일수록 그 별에서 벗어나기 위해 필요한 탈출속도가 커집니다.

존 미첼의 상상을 바탕으로 하면 아주 엄청나게 무거운 별이 있어서 그 탈출속도가 초속 30만 킬로미터쯤 되는 경우도 생각해 볼 수 있습니다. 이 속력은 바로 빛의 속력입니다. 따라서 아주 엄청나게 무거운 별에서는 빛도 밖으로 빠져나올 수 없다는 이야기가 나올 수 있습니다.

아인슈타인이 중력에 관한 일반 이론으로 일반상대성이론을 제안한 것이 1916년인데, 그 뒤로 이 이론에서 나오는 방정식을 엄밀하게 풀어서 무거운 별 주위의 시공간을 알 수 있게 되었습니다. 1960년대에는 존 아치볼드 윌러(John Archibald Wheeler 1911-2008)라는 미국의 물리학자가 그런 별들 중에 질량이 너무나 커서 빛도 빠져 나올 수 없는 것을 가리켜 ‘검은 구멍 Black Hole’이라 이름붙였습니다.

블랙홀의 난점 중 하나는 반지름이 0인 곳, 즉 블랙홀의 중심에 대응하는 부분에서 밀도며 질량이며 압력이며 모든 것이 무한대가 된다는 이상한 결론이었습니다. 방정식을 풀어서 나온 결과이지만, 이 무한대를 도무지 피할 도리가 없었습니다. 이것을 블랙홀의 특이점이라고 부릅니다. 다행히 특이점은 소위 사건의 지평면이라는 보호막 안에 있기 때문에 블랙홀의 바깥에서는 이 부끄러운 부분을 볼 수가 없습니다. 그래서 이를 “우주 검열 가설 Cosmic Censorship Hypothesis”라 부릅니다.

사건의 지평면은 일반통행의 경계선입니다. 이 면을 넘어 블랙홀 안으로 들어가면 결코 다시 밖으로 되돌아나올 수 없습니다. 앞에서 위로 던져 올린 공을 언급했는데, 블랙홀 안에서 보자면 빛을 위로 쏘았을 때 올라갈 수 있는 최대 높이가 바로 이 사건의 지평면입니다. 빛보다 빠른 것은 없으므로 이 사건의 지평면 밖으로는 아무 것도 나올 수 없는 셈입니다. 반대로 블랙홀 바깥에서 어쩌다 이 면을 넘어서 버리면 돌아올 수 없는 황천길이 되어 버립니다.

그 다음 사람들이 기대한 것은 혹시나 문제를 잘못 풀어서 그런 이상한 특이점이 나타난 것이 아닌가 하는 점이었습니다. 이 기대를 깨 버린 것이 바로 스티븐 호킹의 첫 번째 연구였습니다. 블랙홀에서는 특이점이 반드시 나온다는 것을 미분 위상수학이라는 아주 독특한 수학적 방법을 써서 엄밀하게 증명해 버린 것입니다.

그 뒤로도 스티븐 호킹의 연구는 블랙홀에 대한 엄밀한 수학적 연구에 집중되었습니다. 그 중 하나가 “호킹 복사”입니다. 이것은 휜 시공간의 양자장이론에 속하는 주제입니다. 양자역학도 이상하지만 양자장이론은 더 이상한 면이 있습니다. 그 중 하나는 질량 곱하기 광속 제곱의 두 배($2 m c^2$)가 되는 에너지가 있으면 그 에너지로부터 질량이 m인 입자와 반입자가 동시에 생겨날 수 있다는 것입니다. 이것을 “입자-반입자 쌍생성”이라 부릅니다.

호킹의 상상은 이러한 입자-반입장 쌍생성이 마침 블랙홀의 사건의 지평면 근처에서 일어난다면 어떻게 될까 하는 쪽을 향했습니다. 상상도 어렵고 아이디어도 놀랍지만, 더 황당한 것은 이 아이디어를 의미 있는 것으로 전개하기 위해서는 일반상대성이론과 양자장이론을 적절하게 결합한 “휘어진 시공간의 양자장이론”이라는 매우 난해하고 복잡한 이론을 써야 한다는 것입니다. 호킹은 이것을 종이와 펜으로 계산한 게 아니라 머리 속에서 계산해 냅니다. 저도 대학원생일 때 이 계산을 상세하게 따라가며 공부를 했었는데, 복잡한 수식을 50여쪽 이상 풀어야 간신히 답이 나올 정도로 복잡합니다. 그나마 호킹과 여러 다른 사람들이 이미 해 놓은 계산이기 때문에 후학으로서 계산법과 개념을 배우기 위해 숙제로 계산한 것이었으니 그 정도로 멈췄을 겁니다. 그런 계산을 아무도 하지 않은 상태에서 처음 계산을 시작한 호킹은 대단한 계산능력을 지녔음에 틀림없습니다. (더 정확하게 말하면 루게릭 병(ALC) 때문에 종이와 펜을 쓰기가 어렵게 되면서 계산을 가장 빠른 지름길로 해 내는 능력을 키웠고 또 다른 사람들이 쓰지 않는 기하학적 모형을 이용했다고 합니다.)

그런데 그렇게 계산을 하고 보니 아주 이상한 결과가 나왔습니다. 입자와 반입자가 동시에 생겨나는 곳이 정확히 사건의 지평면이라면 그 두 입자 중 하나가 블랙홀로 빨려들어갈 때 나머지는 사건의 지평면 밖으로 튕겨져 나오게 됩니다. 아무 것도 빠져나올 수 없다는 사건의 지평면을 넘어 대탈출이 가능하다는 이야기가 됩니다. 질량이 있는 입자의 경우는 실질적으로 그런 일이 더 일어나기 어렵지만, 빛의 입자 즉 빛알 (또는 광자)은 그보다 조금 더 쉽습니다.

결국 검은 구멍이 완전히 검은 것이 아니라는 전혀 새로운 이야기가 나옵니다. 양자이론을 고려하지 않은 일반상대성이론만을 가지고 풀어내면 특이점은 피할 도리가 없고 사건의 지평면은 결토 되돌아 나올 수 없는 지옥의 관문이라는 결론을 얻습니다. 하지만 여기에 양자장이론을 결합시켜 풀어 보니 블랙홀이 갖고 있는 에너지를 빛알로 바꾸어 그 빛알이 사건의 비평면 밖으로 튀어나올 수 있다는 가능성이 나온 겁니다. 그렇게 나온 빛알들은 마치 난로 주위에 열선이 퍼져나가듯이 밖으로 뻗어나갑니다. 이것을 복사(radiation)이라 합니다. 양자이론이 처음 나오게 된 계기 중 하나가 온통 검기만 한 물체(흑체) 주변의 복사 에너지가 빛의 파장(진동수)에 따라 어떻게 달라지는가 하는 것을 계산하는 데 성공한 막스 플랑크 덕분이었다는 이야기는 종종 들으셨을 겁니다.

호킹이 계산한 결과는 블랙홀 주변에서 입자-반입자 쌍생성으로 생겨난 빛알들의 복사가 바로 그 흑체복사의 한 형태를 이룬다는 것이었습니다. 이를 ‘호킹 복사’라 부릅니다. 팽창하는 대폭발(빅뱅) 우주에서 흔히 나오는 우주배경복사도 일종의 흑체복사인데, 그 경우에 대응하는 온도는 약 3 켈빈, 즉 영하 270도 정도입니다.

이론적으로 계산하면 호킹 복사의 온도는 블랙홀의 질량에 반비례합니다. 블랙홀이 태양 정도 질량이라면 호킹 복사의 온도는 60 나노켈빈, 즉 절대온도로 1억분의 6도 정도가 됩니다. 이것은 실질적으로 결코 측정할 수 없는 온도입니다. 지금 사람들이 믿고 있는 블랙홀들의 질량은 태양 질량보다 10배 내지 10억배 정도 더 무겁습니다. 호킹 복사의 온도가 질량에 반비례하므로 호킹 복사의 온도는 훨씬 더 작은 값이 됩니다.

따라서 호킹 복사를 경험적으로 관측할 수는 없습니다. 이론적으로만 계산할 수 있을 뿐이고, 이를 실증적으로 확인하는 것은 원천적으로 불가능합니다.

호킹의 계산을 통해 블랙홀이 실상 그다지 검지 않다는 것을 알게 되었는데, 여러 가지로 의미심장한 결과였습니다. 실증적으로 확인할 방법은 전혀 없지만, 가뜩이나 온갖 상상을 불러일으키는 블랙홀에서 뭔가가 빠져나올 수 있다니 더 흥미로운 이야기가 된 셈입니다.

그런데 문제는 그 다음입니다. 이렇게 블랙혹 주변에서 빛알들이 빠져나와 호킹 복사를 이루기 위해서는 블랙홀의 에너지를 소모해야 합니다. 블랙홀의 에너지는 결국 블랙홀의 질량에서 나옵니다. 이렇게 블랙홀 주변에서 빛이 복사된다면, 시간이 흐를수록 점점 더 블랙홀의 에너지가 소모되고 그만큼 질량도 줄어듭니다. 블랙홀이 점점 증발해 버리는 겁니다.

더 심각한 문제는 그렇게 아주 오랜 시간 동안 블랙홀이 복사를 방출하며 증발하다가 결국 질량이 다 소실되는 상황입니다. 블랙홀이 다 증발해 버리면 무엇이 남을까 하는 것은 이론물리학자들에게 아주 좋은 먹이감이었고, 호킹은 돈 페이지, 존 프리스킬 등과 같은 다른 일반상대성이론의 전문가들과 내기를 합니다.

이와 관련된 상세한 이야기가 스탠퍼드 대학의 물리학자 레너드 서스킨드의 책 [블랙홀 전쟁 The Black Hole War]의 주제입니다. 이 책은 한국어로도 번역되어 있습니다.

지금 적은 것은 모두 전적으로 제 기억에 의존해 쓴 것이라서 중간중간 더 정확한 것을 찾아볼 필요가 있는데, 일단은 여기에 올려 봅니다. 나중에 다시 더 정확한 것을 찾아서 개정판을 올리겠습니다.

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(추가) 블랙홀의 열역학

1973년 바딘-카터-호킹은 블랙홀 역학의 네 법칙을 제안합니다. 

Bardeen JM, Carter B, Hawking SW. (1973) The Four Laws of Black Hole Mechanics. Commun. Math. Phys. 31: 161–170. doi: 10.1007/BF01645742

블랙홀은 일반적으로 매우 무거운 천체가 자체 중력을 이기지 못하고 붕괴해 버려서 만들어진다는 것이 표준적인 이론입니다. 시간이 지남에 따라 블랙홀의 질량이 어떻게 변화하는지 살펴본 것이 블랙홀 역학의 네 법칙입니다. 블랙홀은 일종의 천체이므로 회전과 관련된 각운동량 $J$를 가질 수 있습니다. 블랙홀은 실상 특이점에 불과할 수도 있지만, 대부분의 경우 이 특이점 주변에는 매우 특별한 공간적 경계가 만들어집니다. 이것을 사건의 지평면(event horizon)이라 부릅니다. 지평면이라고 한 것은 이 경계를 넘어서고 나면 되돌아나올 방법이 없기 때문입니다. 이 사건의 지평면의 넓이 $A$도 블랙홀의 잘량과 연관됩니다. 

실제 계산은 매우 복잡하고 어렵지만, 결과만을 쓴다면 $$\delta M = \frac{1}{8\pi}\kappa \delta A + \Omega \delta J$$와 같이 쓸 수 있습니다. 여기에서 $\kappa$(카파)라고 쓴 것은 사건의 지평면에서 나타나는 표면중력이고, $\Omega$는 블랙홀의 회전각속도입니다.  

바딘-카터-호킹은 블랙홀등이 서로 충돌하여 병합하거나 이러저러한 이유로 분리되거나 할 때, 시간이 흐름에 따라 사건 지평면의 넓이는 항상 늘어나거나 그대로임을 증명하여 이를 둘째 법칙으로 부릅니다. 즉 $$\frac{dA}{dt} \ge 0$$입니다.

이 두 법칙이 마치 열역학에서 $$dE = \delta Q - \delta W = T dS - P dV$$와 비슷한 모양이기 때문에, 비유(metaphor) 또는 유비(analogy)로서 블랙홀의 열역학 법칙 같은 느낌을 줍니다.

그런데 1974년 호킹이 블랙홀의 사건 지평면에서 양자마당이론을 적용하여 입자-반입자가 생겨날 수 있다는 이론을 만들고, 그렇게 해서 블랙홀에서 빠져나오는 복사의 에너지를 계산하고, 이를 흑체복사 공식과 비교하여 그 복사의 온도를 정하고 보니 $$ T_H = \frac{\kappa}{2\pi}$$가 됨을 유도해 냈습니다. 즉 호킹 복사의 온도가 블랙홀 사건 지평면의 표면중력에 비례한다는 것입니다.

하지만 이미 1972년에 미국의 야콥 베켄스타인이 블랙홀의 엔트로피가 사건지평면의 넓이에 비례한다는 주장을 발표했습니다. 호킹이 거의 같은 생각을 했으면서 한발 늦은 셈입니다. 호킹은 이를 무척 안타까워 했습니다.

Bekenstein, A. (1972). "Black holes and the second law". Lettere al Nuovo Cimento. 4 (15): 99–104. doi:10.1007/BF02757029  

블랙홀 역학의 네 법칙을 호킹 복사 및 베켄슈타인 엔트로피와 연결시키면 $$\delta M = \frac{1}{8\pi}\kappa \delta A + \Omega \delta J = T \delta S + \Omega \delta J$$가 됩니다. 여기에서 블랙홀과 연결된 온도는 $$ T = \frac{\kappa}{2\pi}$$이고, 엔트로피는 $$S_{bh}=\frac{A}{4}$$가 됩니다. 이렇게 보면 공식이 간단해 보이지만, 실상은 $G=\hbar=c=k_B =1$인 단위계를 썼기 때문이고, 이를 모두 나타내면 $$S_{bh}=k_B \frac{c^3}{4 G\hbar} A$$가 됩니다. 여기에서 "bh"는 black hole일 수도 있고 Bekenstein-Hawking일 수도 있습니다.

이 마지막 공식은 플랑크 길이(Planck length) $$\ell_P =\sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\approx 1.6\times 10^{-35}\mathrm{m}$$을 도입하면, $$S_{bh}=\frac{1}{4}k_B \frac{A}{ {\ell_P}^2}$$라고 쓸 수 있습니다. 

위의 지평면 넓이 관련 법칙은 이제 $$\frac{d S_{bh}}{dt}\ge 0$$이 되어서, 열역학 둘째 법칙과 진짜로 비슷한 모양이 됩니다.

이렇게 해서 블랙홀의 엔트로피 공식이 완성되었습니다. 그러면 이 공식과 볼츠만의 공식 $$S = k_B \log W$$는 어떻게 연결될까요?