앞에서 일반상대성이론에서 가장 큰 관심을 거리함수 $g_{a b}$라고 했는데, 이 함수는 $a, b$가 각각 4개이기 때문에 16개의 함수가 됩니다.

다행히 $g_{a b}=g_{b a}$이기 때문에 16개 중 10개만 독립입니다. 즉 10개의 함수만 구하면 끝납니다.

아인슈타인 방정식은 이 10개의 함수 $g_{a b}$에 대한 미분방정식입니다. 서로 이리저리 얽혀 있으므로, 연립미분방정식입니다.

거리함수 $g_{a b}$의 독립변수는 네 개이므로, 일반적인 미분으로 안 되고 '편미분 partial derivative'이란 개념을 도입해야 합니다. 네 개의 독립변수 중 하나에 대해 미분할 때 나머지 독립변수는 상수로 간주한다는 의미입니다.

보통의 미분을 $\frac{d}{dx}$처럼 쓰는 것과 달리 편미분은 $\frac{\partial}{\partial x}$와 같이 씁니다. $\partial$는 둥그런 d라고 해서 rounded d라고 읽는데, 그냥 줄여서 '라운드'라고 흔히 읽습니다. 좀 이상해 보이지만 실상은 아일랜드 게일어에서 쓰는 d를 변형한 것입니다. 반지의 제왕을 보면 이와 비슷한 글자가 자주 나오죠. 1770년에 프랑스의 콩도르세가 이 기호를 처음 도입했고 나중에 독일의 야코비 덕분에 편미분 기호로 널리 사용되게 되었다고 합니다. ( http://jeff560.tripod.com/calculus.htmll 참조)

아인슈타인 방정식은 다음과 같습니다.
$$R_{a b}-\frac{1}{2}R g_{ a b} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{a b}$$
여기에서 $R_{a b}$는 다음과 같이 정의됩니다.
$$R_{a b} = \frac{\partial\Gamma^{c}_{ab}}{\partial x^c} - \frac{\partial\Gamma^{c}_{c b}}{\partial x^a} + \Gamma^{c}_{c d}\Gamma^{d}_{a b} - \Gamma^{c}_{a d}\Gamma^{d}_{c b} $$
$$ R= R_{a b} g^{a b}$$
여기에서 크리스토펠 기호 $\Gamma^{n}_{a b}$는 다음과 같이 정의됩니다.
$$\Gamma _{a b}^{c} = \frac{1} {2} g ^{c d} \left( \frac{\partial g _{b d}} {\partial x ^{a}} + \frac{\partial g _{d a}} {\partial x ^{b}} - \frac{\partial g _{a b}} {\partial x ^{d}} \right)$$

따라서 $g_{a b}$를 적어놓고 그 안에 아직 구하지 못한 함수 모양을 써 놓은 뒤, 이 모양을 그대로 $\Gamma^{c}_{a b}$의 정의에 넣어 크리스토펠 기호를 구합니다. 실상은 각 어깨번호(윗첨자)와 무릎번호(아랫첨자)가 모두 1부터 4까지 가니까, 모두 64개나 됩니다.

또 어깨번호와 무릎번호가 같은 문자로 된 것은 그 문자에 대한 합을 의미하므로 항이 더 많아집니다.

이 계산결과를 그대로 리치 텐서 $R_{a b}$의 정의에 넣습니다. 이번에도 어깨번호와 무릎번호로 반복되는 문자는 그 문자에 대한 합산임을 기억합니다.

아인슈타인 방정식을 풀기 위해서는 오른쪽에 있는 항 $T_{a b}$도 알아야 하는데, 이 복잡한 텐서(이름은 에너지-변형력 텐서)도 실상은 거리함수 텐서로 표현됩니다.

여하간 결국 아인슈타인 중력장 방정식은 거리함수 텐서 10개에 대한 연립편미분방정식이 됩니다.