<장회익의 자연철학 강의>의 184-189쪽의 "일반상대성이론"은 읽어나가가기 상당히 어렵습니다. 꽤 많은 내용이 축약되어 있기 때문입니다.

이 내용이 포함된 것은 나중에 제6장에서 "아인슈타인의 우주방정식"(306-315쪽)의 내용을 다루기 때문일 것 같습니다. 결국 우주가 어떻게 생겨나고 어떻게 흘러가는지 말해 주는 가장 중요한 변화의 원리가 바로 일반상대성이론 또는 아인슈타인 방정식이기 때문입니다.

부록 556-564쪽에는 아인슈타인 방정식으로부터 우주가 어떻게 변화해갈지 말해 주는 프리드만 방정식을 얻는 과정을 상세하게 소개하고 있습니다.

전체적인 과정을 따라가기 위해서는 일반상대성이론을 조금 학습할 필요가 있습니다. 시간이 허락하는 대로 <장회익의 자연철학 강의>에 보충이 될만한 내용을 올리겠습니다.

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첫 번째 관문은 '거리함수' 또는 '메트릭 텐서'라 부르는 양의 의미를 이해하는 것입니다. 일본어로는 "計量テンソル"(https://bit.ly/2TRg8rc)라 하고, 중국어로는 度量张量라 합니다. 한국어로는 '계량텐서' '메트릭 텐서' 등도 있지만, 표준용어는 '거리함수 텐서'입니다.

인터넷 상에서 가장 간명하게 설명되어 있는 것은 아마 위키피디어일 겁니다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor_(general_relativity)

1차원, 2차원, 3차원, 4차원 유클리드 공간에서 거리의 제곱은 각각
$$ \begin{eqnarray}s^2 &=& (x_1 - x_2 )^2 \\
s^2 &=& (x_1 - x_2 )^2 + (y_1 - y_2 )^2 \\
s^2 &=& (x_1 - x_2 )^2 + (y_1 - y_2 )^2 + (z_1 - z_2 )^2\\
s^2 &=& (x_1 - x_2 )^2 + (y_1 - y_2 )^2 + (z_1 - z_2 )^2 + (w_1 - w_2 )^2 \end{eqnarray}$$등으로 주어집니다.

일일이 쓰기 번거로우니까 $x_1 - x_2$ 대신 $\Delta x$라고 쓰고, 두 좌표값의 차(difference)라고 읽습니다. 그러면 위의 식은 다음과 같이 더 간단하게 표현됩니다.
$$ \begin{eqnarray} s^2 &=& (\Delta x)^2 \\ s^2 & =& (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 \\
s^2 &=& (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2+ (\Delta z)^2 \\ s^2 &=& (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2+ (\Delta z)^2 + (\Delta w)^2 \end{eqnarray}$$
이제 $(x, y, z, w)$와 같이 일일이 새로운 문자를 도입하기가 번거로우니까, $(x^1, x^2, x^3, x^4)$와 같이 하나의 문자를 가지고 어깨번호(윗첨자)로 좌표를 나타내기로 합니다. 여기에서 가령 $x^4$는 $x$의 네제곱이란 뜻이 아니라, $x$라는 문자로 대표되는 4차원 공간에 있는 점의 네 번째 좌표라는 뜻입니다.

상대성이론을 4차원 시공간의 이론으로 이해한다는 것은 곧 시간을 4차원 시공간의 네 번째 좌표로 선택하는 것입니다.$$x^4 = i c t$$와 같게 됩니다.
어깨번호로 좌표를 나타내면 위의 식은 $$ s^2 = \sum_{i=1}^{n} (\Delta x^i )^2 $$로 한꺼번에 쓸 수 있습니다. 여기에서 $n$이 1, 2, 3, 4, ...등이 되면, 그에 따라 1차원, 2차원, 3차원, 4차원, ...등이 됩니다.

이렇게 거리함수가 피타고라스 정리에 따라 제곱의 합(의 제곱근)으로 주어지는 공간을 유클리드 공간이라 부릅니다.

그런데 여기에서 아인슈타인은 놀라운 발상을 하게 됩니다. 중력이란 것이 다름 아니라 유클리드 공간에서 벗어난 정도, 즉 4차원 시공간의 휘어진 정도라는 겁니다. 왜 그런 이상한 생각을 하게 되었는지 설명하는 글과 책은 엄청나게 방대합니다만, 여하간 그 특이한 발상이 아인슈타인을 일약 천재 스타 물리학자로 만들어 버렸습니다.

문제는 그렇게 시공간이 휘어지는 정도가 각 점에 따라 조금씩 다르다는 것에 있습니다. 그래서 위의 식을 그대로 사용하지 않고 어떤 점 근처의 아주 작은 부분에 대해서만 적용합니다. 가령 구면 위처럼 휘어있는 곡면에서도 아주 작은 부분만 본다면 평면이라고 볼 수 있죠. 옛날 사람들이 지구가 둥글다고 생각하지 않고 평평하다고 믿은 이유나 우리가 지금 살아가는 일상에서는 평지에 살고 있다고 해도 무방한 이유가 바로 그것입니다. (물론 어떤 사람들은 그 경험적 근거를 가지고 땅이 평평하다고 믿고 주장하기도 합니다. Flat Earth Society가 그런 집단이죠.)

그렇게 전체적으로는 휘어져 있지만, 아주 작은 부분만 보면 유클리드 기하학이 성립하는 반듯한 공간이 되는 것을 '다양체 manifold'라 부릅니다. 곡률이 있을 수도 있는 공간을 그냥 멋을 내어 부르는 이름이라고 봐도 됩니다.

그러면 위의 $\Delta x^i$ 대신 $dx^i$라 표기하기로 합니다. 이것은 미적분에서 나오는 바로 그 아주 작은 양 $dx$과 같은 의미입니다. 이런 방식으로 전개되는 기하학을 '미분기하학'이라 부릅니다.

이제 위의 거리 공식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$ (ds)^2 = \sum_{i=1}^{n} (dx^i )^2 $$

4차원일 경우 풀어쓰면$$ (ds)^2 = (dx^1 )^2 + (dx^2 )^2 + (dx^3 )^2 + (dx^4 )^2 $$가 됩니다. 이를 보통의 표현 $(x, y, z)$와 시간좌표 $x^4 = i c t$로 나타내면
$$ (ds)^2 = (dx )^2 + (dy )^2 + (dz )^2 - c^2 ( dt )^2 $$이 됩니다. 괄호를 일일이 쓰기가 번거로우니까 과감하게 없애도 혼동이 되지 않습니다.

$$ ds^2 = dx ^2 + dy ^2 + dz ^2 - c^2 dt ^2 $$
1911년 무렵에 아인슈타인은 중력을 포함시키면 시간 성분 앞에 있는 계수 즉 $c^2$이 위치나 시간에 따라 달라질 수 있다는 이론을 만들어 봅니다. 광속이 불변하다고 해 놓고 이제 와서 다시 광속이 위치에 따라 달라진다고 하는 이론인 셈입니다. 그 이론은 실패합니다.

그러다가 모교인 취리히 공과대학에 교수 자리를 얻게 되고 동창 마르셀 그로스만의 도움을 받아 리만 기하학이라는 미분기하학을 알게 되고, 이것을 독학하다시피 해서 결국 그 앞이 계수들이 죄다 좌표에 따라 달라지는 아주 일반적인 식을 제안합니다.

$$ (ds)^2 = A (dx^1 )^2 + B (dx^2 )^2 + C (dx^3 )^2 + D (dx^4 )^2 $$

여기에서 네 개의 문자 $A, B, C, D$는 모두 $(x^1 , x^2 , x^3, x^4)$의 함수입니다. 즉 $(x^1 , x^2 , x^3, x^4)$의 값에 따라 달라집니다.

심지어 더 일반적인 것도 가능하죠. 즉 가령 $ dx^1 dx^2$ 같은 항도 가능하다고 보는 겁니다. 그런데그렇게 하면 도입해야 하는 문자가 너무 많아지니까 두 개의 번호(아랫첨자)를 붙이는 것이 편리합니다.

4차원 시공간에 대해 풀어쓰면 $$ \begin{align}ds^2 = & g_{11} (dx^1 )^2 + g_{12} dx^1 dx^2+ g_{13} dx^1 dx^3 + g_{14} dx^1 dx^4 \\&+ g_{21}dx^2 dx^1 + g_{22} (dx^2 )^2 + g_{23} dx^2 dx^3 + g_{24} dx^2 dx^4 \\&+ g_{31} dx^3 dx^1 + g_{32} dx^3 dx^2 + g_{33} (dx^3 )^2 + g_{34} dx^3 dx^4 \\&+ g_{41} dx^4 dx^1 + g_{42} dx^4 dx^2 + g_{43} dx^4 dx^3 + g_{44} (dx^4 )^2 \end{align}$$

너무 복잡해 보이지만, 이 식을 $$ ds^2 = \sum_{i=1}^{4} \sum_{k=1}^{4} g_{ik} dx^i dx^k $$
와 같이 간단하게 쓸 수 있습니다. 심지어 앞의 합 기호도 그냥 없이 씁니다. (이것을 아인슈타인 약속이라 부릅니다. 정말 편리합니다. 안 그러면 합 기호를 수없이 달고 다녀야 하거든요.)

아인슈타인은 로마자 알파벳 $i, k$를 썼지만, 이후에 4차원의 경우는 그리스문자를 쓰는 것이 관례가 되었습니다.

$$ ds^2 = \sum_{\mu=1}^{4} \sum_{\nu=1}^{4} g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu} $$
$\mu$는 '뮤'라 읽고, $\nu$는 '뉴'라 읽습니다.

아인슈타인 약속을 적용하면 $$ ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu} $$가 됩니다. 더 정확하게 쓰면 $g_{\mu\nu}(x^1, x^2, x^3, x^4)$와 같이 시공간 좌표의 함수가 됩니다.

여기에서 $g_{\mu\nu}(x)$를 거리함수라 합니다. 영어로 metric tensor라서 한국어 표기로 '메트릭 텐서'라고도 합니다. '텐서'라고 부르는 이유는 번호(첨자)가 두 개 있기 떄문입니다. $x^\mu$처럼 번호가 하나만 있으면 '벡터'라 부르고, 번호가 없으면 '스칼라'라고 부릅니다.

휘어진 것이 없는 평평한 4차원 민코프스키 시공간의 경우에는 4차원 거리$$ (ds)^2 = (dx )^2 + (dy )^2 + (dz )^2 - c^2 ( dt )^2 $$에서 $g_{11}=1$, $g_{22}=1$, $g_{33}=1$, $g_{44}=-c^2$ (나머지는 모두 0)임을 읽어낼 수 있습니다.

여기에서 특기할 점은 좌표로 선택한 $x^1, x^2, x^3, x^4$를 사실상 뭐든지 선택해도 된다는 점입니다. 데카르트 직각좌표계 대신 구면좌표계 같은 것을 써도 무방합니다.

구면좌표계의 경우라면 $$x^1 = r, x^2 = \theta, x^3=\phi, x^4=t$$가 됩니다.

조금 혼동스러울 수 있는데, 1970년대 이래로 시간좌표를 네 번째로 놓지 않고 0번째에 두는 약속이 훨씬 더 많아졌습니다. 즉 $1, 2, 3, 4$가 아니라 $0, 1, 2, 3$이 되고, 시간성분이 0번째 성분이 되는 것입니다. 그 경우에는 $$x^0=t, x^1 = r, x^2 = \theta, x^3=\phi$$이 됩니다.

태양 주변과 블랙홀 같은 것을 서술해 주는 거리함수 텐서는 슈바르츠쉴트가 계산에 성공해서 "슈바르츠쉴트 시공간"이라고 부릅니다.

$$ds^2 = - \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)c^2 dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\phi^2$$

우주론의 표준모형에 연결되는 르메트르-로버트슨-워커 시공간은 다음과 같습니다.
$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left( \frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\phi^2\right)$$
여기에서 $k$는 0, 1, -1이 모두 가능합니다.

일반상대성이론에서 가장 핵심적인 개념이 $g_{\mu\nu}$(지뮤뉴)라는 거리함수라는 사실에서 생각나는 에피소드가 하나 있습니다. 리처드 파인만이 "농담도 잘하시네요"에서 언급한 일화입니다.
1957년 노스캐롤라이나 대학 (채플 힐 캠퍼스)에서 열린 "물리학에서 중력의 역할"이란 제목의 학술대회는 일반상대성이론의 역사, 더 넓게는 물리학의 역사에서 대단히 중요한 학술대회였습니다. 리처드 파인만도 여기에 초대되었죠. 공항에 내려 택시 안내원에게 "노스캐롤라이나 대학에 가려고 합니다." 했더니 안내원이 "어디 말하는 거요? 레일리에 있는 노스캐롤라이나 주립대학(State University of North Carolina at Raleigh)인가요, 아니면 채플힐에 있는 노스캐롤라이나 대학(University of North Carolina at Chapel Hill)인가요?" 했다는 겁니다. 하나는 북쪽 끝에 있고, 다른 하나는 남쪽 끝에 있으니 학술대회 시작 전에 도착하려면 시간이 촉박했습니다.

파인만이 기지를 발휘하죠. "어제도 학술대회가 있었어요. 혹시 머리모양은 부시시 해 가지고 어디로 가는지 전혀 관심도 두지 않은 채 '지뮤뉴, 지뮤뉴' 하던 다른 사람들이 없었나요?"라고 물었습니다. 눈치 빠른 안내원이 대답했습니다. "있었죠. 그럼 채플힐로 가야겠군요."

중력에 관한 학술대회에 참석하는 사람들은 중력에 관해 말할 때 계속해서 "지뮤뉴, 지뮤뉴($g_{\mu\nu}$)"를 말한다는 에피소드였습니다.