복소수는 뭔가 복잡해보이긴 하지만 복소수(複素數) 즉 두 개(複)의 요소로 이루어진 수임을 기억하면 실상 오히려 간단한 면도 있습니다.

화이트헤드의 <수학이란 무엇인가?>는 이전에 녹색아카데미에서 수학 공부 하던 모임에서 함께 읽은 책이기도 합니다.

복소수가 두 개의 실수와 거의 일대일 대응된다는 것이 바로 가우스의 '복소평면' 개념입니다. <장회익의 자연철학 강의> 3장에 상세한 이야기가 나옵니다. 수학자들이 좋아하는 기호로 쓰면 $$\mathbb{C}\simeq \mathbb{R}^2$$가 됩니다.

복소수는 두 개의 실수로 정의됩니다. $$z=(x, y)$$ 만일 $$z' = (x', y')$$이라 하면, 두 복소수의 덧셈은 $$ z+z’ = (x+x’, y+y’)$$으로 정의합니다. 이것은 그냥 정의이기 때문에 받아들여야 하는 부분입니다. 즉 유도가 되는 것은 아닙니다. 복소수의 곱하기가 좀 특이해 보입니다. 두 복소수의 곱은 $$ z \cdot z' = (xx' - yy', x'y+xy')$$으로 정의된다고 화이트헤드는 말하고 있습니다.

하지만 만일 복소수를 허수단위 $i=\sqrt{-1}$를 도입하여 표현하면, 위의 정의가 자연스러움을 알 수 있습니다. $$z=x+iy , \quad z'=x'+iy'$$이라 하면, \begin{align} z+z’ &= (x+iy) + (x’+iy’) \\ &= (x+x’) +i (y+y’)\end{align}이므로  $$ z+z’ = (x+x’, y+y’)$$으로 정의하는 것이 자연스럽습니다.

곱의 경우는 약간 더 복잡해지지만 마찬가지입니다. \begin{align} z \cdot z' &= (x+iy) (x'+iy') \\ &= x x' + iyx'+xiy'+(iy)(iy') \\ & =(xx’+i^2 yy’) + i (xy’ + x’y) \\ &= (x x' - yy') +i (x'y + xy')\end{align}입니다. 두 번째 등호는 곧이곧대로 곱한 것이고, 세 번째 등호에서 $i$가 있는 항과 없는 항을 나누어 썼습니다. 네 번째 등호에서는 $i^2 = -1$임을 이용했습니다. 일반적으로 $i$가 없는 항을 실수부분이라고 하고 $i$가 있는 항을 허수부분이라 부릅니다.

이제 이 결과를 $( , )$로 표현하면, 앞의 빈 칸에 실수부분을 쓰고 뒤의 빈 칸에 허수부분을 쓰면 됩니다. 그러면 $$z \cdot z' = (xx'-yy', x'y+xy')$$임을 알 수 있습니다.

이제 응용으로 복소수의 나눗셈은 어떻게 정의하는 게 좋을지 생각해 볼 수 있습니다.

\begin{align} \frac{z}{z’} &= \frac{x+iy}{x’+iy’} \\ &= \frac{(x+iy)(x’-iy’)}{(x’+iy’)(x’-iy’)}\\ &= \frac{xx’ +yy’ + i(x’y - xy’)}{{x’}^2 +{y’}^2} \\ &=  \frac{xx’ +yy’ }{{x’}^2+{y’}^2} + i  \frac{x’y - xy’}{{x’}^2 +{y’}^2}\end{align}이므로 $$ \frac{z}{z’}=\left( \frac{xx’ +yy’ }{{x’}^2+{y’}^2}, \frac{x’y - xy’}{{x’}^2 +{y’}^2} \right) $$임을 알 수 있습니다.

이제는 다짜고짜 복소수의 나눗셈은 $$\frac{z}{z’} =\left( \frac{xx’ +yy’ }{x’^2+y’^2}, \frac{x’y - xy’}{x’^2 +y’^2} \right)$$로 정의된다고 해도 됩니다.

이전에 함께 화이트헤드의 책을 읽을 때에는 인쇄본 중 일부가 부호가 잘못 되어 있어서 함께 이야기 나눈 적이 있습니다. 지금 것은 아마 그 오타가 수정된 듯 합니다.